◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
結果はこちらです。
【問題２】
A B C D E F G H I
1) 1 9 6 8 2 4 5 7 3
2) 1 9 8 6 4 2 5 3 7
3) 1 6 9 5 2 7 8 4 3
4) 1 8 9 5 4 3 6 2 7
5) 2 9 7 6 5 1 4 3 8
6) 2 7 9 4 5 3 6 1 8
7) 3 7 4 8 2 6 5 9 1
8) 3 4 7 5 2 9 8 6 1
9) 3 8 7 5 6 1 4 2 9
10) 3 7 8 4 6 2 5 1 9
11) 4 9 3 8 5 1 2 7 6
12) 4 3 9 2 5 7 8 1 6
13) 6 7 1 8 5 3 2 9 4
14) 6 1 7 2 5 9 8 3 4
15) 7 3 2 6 4 8 5 9 1
16) 7 2 3 5 4 9 6 8 1
17) 7 6 3 5 8 1 2 4 9
18) 7 3 6 2 8 4 5 1 9
19) 8 3 1 6 5 7 4 9 2
20) 8 1 3 4 5 9 6 7 2
21) 9 2 1 5 6 7 4 8 3
22) 9 4 1 5 8 3 2 6 7
23) 9 1 2 4 6 8 5 7 3
24) 9 1 4 2 8 6 5 3 7
プログラムを組んで解きました。【おまけの問題】
もし与式が収束して極限値を持つとした場合その極限値をＳとする。
Ｓ＝１＋ＳＱＲＴ（１＋Ｓ）
Ｓ2−３Ｓ＝０
Ｓ（Ｓ−３）＝０
Ｓ＞０であるから Ｓ＝３
収束条件がわかりません。
４０項までコンピュータで計算したところでは間違いはないと思いますが、、、。
◆大阪府 上原 宏之 さんからの解答
【問題１】
ａ〜ｉ の和は４５．
よって
a+b+c=d＋e+f+=g+h+i＝15
1から9を使って和が15となる組み合わせは以下のの8通り
（1,5,9）（1,6,8）（2,4,9）（2,5,8）
（2,6,7）（3,4,8）（3,5,7）（4,5,6）
ここで 題意を満たすのは
（1,5,9）（2,6,7）（3,4,8）・・・パターンT
もしくは
（1,6,8）（2,4,9）（3,5,7）・・・パターンU
を使ったとき。
よって
1+5+9=2+6+7=3+4+8
もしくは
1+6+8=2+4+9=3+5+7
【問題２】
ACD,BEF,GHIを頂点とする三角形を問題１のパターンTを使って作るなら
ABG,CEH,DFIを頂点とする三角形はパターンUを使うことになる。
すると、DEGを頂点とする三角形は 和が15となる８つの組み合わせのうち、パターンT、Uで使わなかった
（２，５，８）か（４，５，６）を使い、作ることになる。
ここで DEGを（2,5,8）を使って 作ってみる。
適当に D=2 E=5 G=8 とする。
D=2より Aは 三角形ACDはパターンTを使うので、6か7となるが、
三角形ABGをみたときにA=7とすると、B=0となり不可。
よって、A=6 となる。
ここまで出きると 後は和が15を使ってどんどん埋まっていく。
A=6よりC=7．
三角形AGBをみると残りのB=1．
三角形BEFにおいて残りのF=9
三角形CEHでは残りのH=3．
三角形GHIでI=4
よって
(A,B,C,D,E,F,G,H,I)=(6,1,7,2,5,9,8,3,4)
ちなみに、三角形DEGを（4,5,6）を使ったときも出来ました。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
1+6+8＝2+4+9＝3+5+7
1+5+9＝2+6+7＝3+4+8
2,5,8を1辺に集める(2+5+8にする)とできない。
【問題２】
A＝1、B＝9、C＝6、D＝8、E＝2、F＝4、G＝5、H＝7、I＝3
4つの小さな二等辺三角形
A+C+D＝1+6+8＝15
B+E+F＝9+2+4＝15
D+E+G＝8+2+5＝15
G+H+I＝5+7+3＝15
3つの大きな二等辺三角形
A+B+G＝1+9+5＝15
C+E+H＝6+2+7＝15
D+F+I＝8+4+3＝15
【問題２】
プログラムにより求めました。
A B C D E F G H I 1 6 9 5 2 7 8 4 3 1 8 9 5 4 3 6 2 7 1 9 6 8 2 4 5 7 3 1 9 8 6 4 2 5 3 7 2 7 9 4 5 3 6 1 8 2 9 7 6 5 1 4 3 8 3 4 7 5 2 9 8 6 1 3 7 4 8 2 6 5 9 1 3 7 8 4 6 2 5 1 9 3 8 7 5 6 1 4 2 9 4 3 9 2 5 7 8 1 6 4 9 3 8 5 1 2 7 6 6 1 7 2 5 9 8 3 4 6 7 1 8 5 3 2 9 4 7 2 3 5 4 9 6 8 1 7 3 2 6 4 8 5 9 1 7 3 6 2 8 4 5 1 9 7 6 3 5 8 1 2 4 9 8 1 3 4 5 9 6 7 2 8 3 1 6 5 7 4 9 2 9 1 2 4 6 8 5 7 3 9 1 4 2 8 6 5 3 7 9 2 1 5 6 7 4 8 3 9 4 1 5 8 3 2 6 7
(感想)
上記がすべてかどうかは検証する術がありませんが、確かに最初解答した答えもこの中にはあります。
最初作成したプログラムではまる１日(２４時間)たっても検索終了しませんでした。
それから、２日間アルゴリズムを改良して３時間足らずで検索終了できるようになりました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題２】
８ １
３ ４ ５ ９
６
７ ２
【感想】
さすがアインシュタイン！とても美しい。
１減じて、３進数の各位ごとに考えれば良いことに気が付いたので、結構エレガントに解けた。
【おまけの解答】
３
【概略解】
エレファントにしか解けず、書くのが大変なので大筋だけ。
【感想】
このような複雑な式が、一般的（ｍで）に整数に収束するとはとても面白い。
◆神奈川県 いわし さんからの解答
【問題２】
| Ａ | Ｂ | Ｇ |
| Ｃ | Ｅ | Ｈ |
| Ｄ | Ｆ | Ｉ |
または
| Ｆ | Ｉ | Ｄ |
| Ｂ | Ｇ | Ａ |
| Ｅ | Ｈ | Ｃ |
または
| Ｈ | Ｃ | Ｅ |
| Ｉ | Ｄ | Ｆ |
| Ｇ | Ａ | Ｂ |
という魔方陣を作ればよく、3×3の魔方陣は本質的に
| ８ | １ | ６ |
| ３ | ５ | ７ |
| ４ | ９ | ２ |
の1通りで、回転・裏返しを考えて8通りですから、
全部で24通りの答えがあることになります。
【問題３】
x≧0, n≧0, a≧0, kを負でない整数として
f(k) = (x＋kn)＋(n＋a)
とおきます。
f(k)2
= (x＋kn)2＋2 (n＋a) (x＋kn)＋(n＋a)2
= a (x＋kn)＋(n＋a)2＋(x＋kn) f(k＋1)より
です。これを
f(0) = x＋n＋a
に再帰的に代入すると
ここでx=2, n=1, a=0とおけば、
(与式)=3を得ます。
次の関係式も、ラマヌジャンが発見したものだそうです。
◆滋賀県 CsR さんからの解答
【問題２】
AからIまでの総和は45であること、そしてそれぞれ9以下の異なる自然数であることから、足して15になる組み合わせを考える。
まず、１、２，３はそれぞれ別の組に入ることは自明。
＜１の組＞
1+5+9 →a
1+6+8 →b
＜２の組＞
2+4+9 →c
2+5+8 →d
2+6+7 →e
＜３の組＞
3+4+8 →f
3+5+7 →g
以上の組み合わせが考えられる。
同じ数が入らない組み合わせは、aとeとfの組、そして、bとcとgの組であることがわかる。
よって、
1+5+9
=2+6+7
=3+4+8
=15
また、
1+6+8
=2+4+9
=3+5+7
=15ということがわかった。
ここで、問題の図を式であらわすと、
A+B+G
=C+E+H
=D+F+I
=15 →@
A+C+D
=B+E+F
=G+H+I
=15 →A
D+E+G=15 →B
となり、先ほど求めた組み合わせに@かAのどちらかがそれぞれ入ることになる。
照らし合わせると、
まずA=1、E=2、I=3であることがわかるので、
@より、
B+G=14
C+H=13
D+F=12
Aより、
C+D=14
B+F=13
G+H=12
Bより、
D+G=13
が成立。これを連立方程式（ひとつ余計だけど）として解くと、
A=1
B=9
C=6
D=8
E=2
F=4
G=5
H=7
I=3
が求められる。
これを図に挿入すれば、答えになる。
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