数学の部屋へもどる◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１】
自宅から公園まで歩くのにかかる時間を、ｔ１≪分≫、
公園の時計の時刻から自宅の時計のそれを引いた誤差を、
凾s１≪分≫、とする。
ｔ１＋凾s１＝１７
ｔ１−凾s１＝１３
計算すると、
ｔ１＝１５
凾s１＝２
公園と友達の家に着いても同様に、
ｔ２≪分≫、凾s２≪分≫、とすると
ｔ２＋凾s２＝４
ｔ２−凾s２＝１０
計算すると、
ｔ２＝７
凾s２＝−３
よって、公園の時計は２分進んでいて、友達の家の時計は１分遅れている。
【問題２−１】
長針が目盛上にある事から、求めるべき時刻の秒の数は０である。
短針が目盛上にある事から、求めるべき時刻の分の数は１２の倍数である。
分の数が ０のとき、解無し。
分の数が１２のとき、解無し。
分の数が２４のとき、解無し。
分の数が３６のとき、７：３６。
分の数が４８のとき、解無し。
７時３６分。
【問題２−２】
同様にして、４時２４分。
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答
【問題２−１】
短針は１時間で５目盛り進むから，丁度目盛りの上にあることから，
分は１２（60/5）の倍数である。
したがって時刻は，
ａ時１２ｂ分（ｂ＝0，1，2，3，4）ということになり，普通の時計の１２の位置を基準として，
短針は ５ａ＋ｂ，長針は１２ｂの位置にいる。
（５ａ＋ｂ）−１２ｂ＝２ を整理して
５ａ＝１１ｂ＋２
右辺が５の倍数になるのは，ｂ＝３。
このとき，ａ＝７
よって， ７時３６分
【問題２−２】
同様にして，５ａ＝１１ｂ−２を満たすのは，
ａ＝４，ｂ＝２
４時２４分
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
高岡さんは８時に家を出て９時１４分に帰っているから、その間の時間は７４分。
その内３０分間おしゃべりしているので、歩いた時間は４４分間。
往復で４４分だから片道は２２分間歩いたことになる。
８時に家を出て２２分間で友達の家に着いたことになるから、到着時刻は８時２２分。
そのとき友達の家の時計は８時２１分であるから、１分遅れていることになる。
行きの公園から友達の家までは４分間で、帰りのそれは１０分間になっている。
このことから、公園の時計が進んでいることがわかる。
正確な時間は（４＋１０）÷２＝７（分）
８時２２分から７分前は８時１５分、そのとき公園の時計は８時１７分であるから、２分進んでいることになる。
帰りは８時５９分であるところが９時１分であるから、２分進んでいることに間違いない。
答え 公園の時計は２分進んでいる。友達の家の時計は１分遅れている。
【問題２−１】
短針が文字盤をちょうどさすのは、
０分、１２分、２４分、３６分、４８分のときである。
| ５Ｘ＋ |
Ｙ ――― １２ | ＝Ｙ＋２ |
Ｘ＝０，１，２，３，．．．．，１１
Ｙ＝０，１２，２４，３６，４８
| Ｙ＝１２× |
５Ｘ−２ ―――――― １１ |
Ｘ、Ｙが条件を満たすのは、
Ｘ＝７でＹ＝３６
答え ７時３６分
【問題２−２】
| ５Ｘ＋ |
Ｙ ――― １２ | ＋２＝Ｙ |
| Ｙ＝１２× |
５Ｘ＋２ ―――――― １１ |
Ｘ，Ｙが条件を満たすのは、
Ｘ＝４でＹ＝２４
答え ４時２４分
◆滋賀県 twotrees さんからの解答
【問題１】
8:00出発−友達の家にて30分−9:14着であることより、
（７４−３０）／２＝２２
したがって、友達の家まで片道２２分を要していることになる。
つまり、正確には8:22に友達の家に着いたことになる。
よって、友達の家の時計は１分遅れている。
公園の時計は、往時に8:17、復時に9:01であることから、
［公園−友達の家］間で要した時間は、
（４４−３０）／２＝７
友達の家まで２２分、公園→友達の家に７分要していることから、
往時における公園での正確な時刻は、8:15となる。
よって、公園の時計は２分早い。
答え：友達の家は１分遅い、公園の時計は２分早い
【問題２−１】
長針は１目盛が１分、短針は１目盛が１２分（６０／５）となる。
短針の指す目盛に対応する、長針の目盛（時刻）は以下のようになる。
| 短針の目盛 | 長針の目盛（時刻） |
| １ | ２ （１２） |
| ２ | ４ （２４） |
| ３ | １ （３６） |
| ４ | ３ （４８） |
| ５ | ０ （０） |
したがって、短針と長針との目盛差が２で短針が先に進んでいるケースは、
短針の目盛が３、長針が３６分を指しているときである。
よって、７時３６分のときとなる。
【問題２−２】
２−１より、短針と長針との目盛差が２で長針が先に進んでいるケースは、
短針の目盛が２、長針が２４分を指しているときである。
よって、４時２４分のときとなる。
◆東京都 小林 祐介 さんからの解答
【問題１】
公園の時計がx分進んでいたとすると、高岡さんの歩く速さは一定なので
17−x＝13＋x
x＝2
また上の結果より、高岡さんが行きに公園を通過したのは8:15であり、帰りに通過したのは8:59とわかる。
友達の家を出たのは友達の家の時計で8:51なので、その時計がy分進んでいたとすると、
6−y＝8＋y
y＝-1
答…公園の時計は２分進んでおり、友達の家の時計は１分遅れていた。
【問題２】
短針が60等分された目盛り上にあるということは、
分針は12,24,36,48,00分のいずれかをさしている。
分針が12分をさしている時
…2:12 長針が１目盛り先行 3:12 短針が４目盛り先行
分針が24分をさしている時
…4:24 長針が２目盛り先行 5:24 短針が３目盛り先行
分針が36分をさしている時
…6:36 長針が３目盛り先行 7:36 短針が２目盛り先行
分針が48分をさしている時
…8:48 長針が４目盛り先行 9:48 短針が１目盛り先行
分針が00分をさしている時
…0:00 長針と短針は重なる
以上より
問題２−１の答…７：３６
問題２−２の答…４：２４
◆愛知県 ノースダウン さんからの解答
【問題１】
友達の家：１分遅れ
公園：２分進み。
高岡さんは８：００に家を出て、９：１４に帰ってきたので、外出していた時間は、７４分。
３０分話をしていたので、歩いていた時間は４４分。
よって、友達の家に着いた時間は８：２２分。
→友達の家の時計は、１分遅れ。
高岡さんの家〜公園に要した時間は見た目で、行きが１７分で帰りが１３分。
よって、高岡さんの家〜公園に要した正味の時間は１５分
→公園の時計は２分進み。
【問題２−１】
７時３６分
【問題２−２】
４時２４分
【問題２】の解き方
短針は１２分間に１目盛り動く。
よって、短針が目盛り上にあるのは、
各時間の０、１２、２４、３６、４８分の時である。
ｎ時０分に短針が０から数えて何目盛り目にあるかをＸを使ってあらわすと、
５×ｎ目盛りである。
同様に、
ｎ時１２分：５ｎ＋１
ｎ時２４分：５ｎ＋２
ｎ時３６分：５ｎ＋３
ｎ時４８分：５ｎ＋４
１）短針が２目盛り進んでいるのだから
５ｎ（＋１、２、３、４）−２＝０
（１２、２４、３６、４８）
を満足する関係を求めると、
５×７＋３−２＝３６
のみであり、時間に換算すると７時３６分となる。
２） １）と同様に、
５×ｎ（＋１、２、３、４）＋２＝０
（１２、２４、３６、４８）
５×４＋２＋２＝２４であり、
時間に換算すると、４時２４分になる。
◆新潟県 PORCO さんからの解答
【問題１】
問題を以下のように読み替える
| 家 | ８：００ | ８：４４ |
| ↓ | ↑ | |
| 友達 | ８：２１ | ８：２１ |
家を基準に考えると、家と友だちの家の往復にかかるのは４４分。
片道に直すと２２分かかる。
家の時計は正しいので、友だちの家に着いたのは正確には８：２２。
よって友だちの家の時計は「１分進んでいる」ことになる。
同様にして、問題を読み替えて、
| 家 | ８：００ | ８：３０ |
| ↓ | ↑ | |
| 公園 | ８：１７ | ８：１７ |
家を基準に考えると、家と公園の往復にかかるのは３０分。
片道に直すと１５分かかる。
家の時計は正しいので、往きに公園を通ったのは正確には８：１５。
よって公園の時計は「２分遅れている」ことになる。
【問題２】
どちらの問題も、短針が目盛り上にあるのだから、分は１２の倍数。
よって、０、１２、２４、３６、４８。
【問題２−１】
短針が２目盛り先...という条件を満たすのは、
００分 => １２：２４ ×
１２分 => ２：４８ ×
２４分 => ５：１２ ×
３６分 => ７：３６ ○
４８分 => １０：００ ×
よって解答は「７：３６」
【問題２−２】
長針が２目盛り先...という条件を満たすのは、
００分 => １１：３６ ×
１２分 => ２：００ ×
２４分 => ４：２４ ○
３６分 => ６：４８ ×
４８分 => ９：１２ ×
よって解答は「４：２４」
◆東京都 あ こ さんからの解答
【問題１】
| 自宅 出発 | 公園 | 友だち の家着 | 友だち の家発 | 公園 | 自宅着 | |
| 自宅の 時計 | 8:00 | 9:14 | ||||
| 公園の 時計 | 8:17 | 9:01 | ||||
| 友だちの 家の時計 | 8:21 | 8:51 |
自宅の時計より
9:14 - 8:00 = 1:14
（すべての行程にかかった時間）
(1:14 - 0:30) ÷2 = 0:22
（自宅から友だちの家までにかかった時間）
公園の時計より
9:01 - 8:17 = 0:44
(44-30)÷2=7
（公園から友だちの家までにかかった時間）
以上のことより、公園の時計は２分進んでいる。
友だちの家の時計は１分遅れている。
【問題２−１】
短針は１時間に５目盛り、長針は１分に１目盛りそれぞれ進む。
求める時間がａ時ｂ分とすると
（２ー１）短針が２目盛り進んでいる
| ５ａ＋ |
５ ―――― ６０ | ｂ＝ｂ＋２ |
ｂ＝（６０ａー２４）÷１１
０≦ａ≦１２の範囲でｂが整数になるのは
ａ＝７ ｂ＝３６のときだけ
よって答は７時３６分
【問題２−２】
長針が２目盛り進んでいる
| ５ａ＋ |
５ ―――― ６０ | ｂ＝ｂ−２ |
ｂ＝（６０ａ＋２４）÷１１
０≦ａ≦１２の範囲でｂが整数になるのは
ａ＝４ ｂ＝２４のときだけ
よって答は４時２４分
◆神奈川県 ＹａｓｕＰｒｅ さんからの解答
【問題１】
高岡さんが家を出てから、家に着くまでの時間は１時間１４分かかっています。
この所要時間の中には往復の移動に費やした時間と友達とのおしゃべりの時間が含まれています。
(行きの所要時間)＋(友達とのおしゃべりの時間)＋(帰りの所用時間)＝１時間１４分友達とのおしゃべりは３０分であることと、行きも帰りも歩く速さが同じだったことから、片道の所用時間は２２分と計算できます。
つまり友達の家に着いた時の本当の時間は８：２２分だと分かります。
よってこれより、友達の家の時計は１分遅れていたと言えます。
次に公園の時計についてですが、ｘ分進んでいたとすると、
(この仮定でｘの解が負の数として算出された場合、ｘ分遅れていたことになる)
行きでの公園での本当の時間は
８：１７−ｘ、帰りでは９：０１−ｘと表せます。
これらの時間と家の出発時刻・到着時刻とのそれぞれの差が、
行き・帰りの家〜公園間の所要時間になります。
行き：（８：１７−ｘ）−８：００＝０：１７−ｘ
帰り：９：１４−（９：０１−ｘ）＝０：１３＋ｘ
行きも帰りも所要時間は同じハズなので、次の式が成り立ちます。
０：１７−ｘ＝０：１３＋ｘ
これを解くと ｘ＝２と出ます。
Ａｎｓ．公園の時計は２分進んでいた。友達の家の時計は１分遅れていた。
【問題２−１】
次の式が成り立つ時が答えになります。
(短針がある目盛りの値)−(長針がある目盛りの値)＝２・・・(1)
短針は１時間に５目盛り分進み、それと同時に長針は６０目盛り分(一周)進みます。
短針５目盛りに対し長針６０目盛りですから、短針１目盛りに対しては長針は１２目盛りとなります。
つまり短針が目盛り上にある時、
長針は００分・１２分・２４分・３６分・４８分のいずれかにあることになります。
さて、長針が００分の位置にある時、短針は必ず５の倍数の目盛りの位置にありますから、その目盛りの値を
５ｙと置くことにします。
目盛りの値は６０を超えないことと、００分と６０分は同じであることを考えると
ｙは０≦ｙ≦１１である整数しか入りません。
ここで００分と５ｙを(1)式に代入すると
５ｙ−０＝２
ｙ＝２／５となり、整数ではない解が出てくるので、これを答えとすることは出来ません。
では、同様に長針が１２分の位置にある時を考えますと、
短針の位置は(５ｙ＋１)と書けますから
(５ｙ＋１)−１２＝２
ｙ＝１３／５で、これも不適
同様に２４分・３６分・４８分の場合を以下に示します。
２４分の場合)
(５ｙ＋２)−２４＝２
ｙ＝２４／５ →不適
３６分の場合)
(５ｙ＋３)−３６＝２
ｙ＝７
４８分の場合)
(５ｙ＋４)−４８＝２
ｙ＝４６／５ →不適
以上より長針が３６分の位置にある時に条件に合う針の位置があることがわかります。
この時の短針の位置は(５ｙ＋３)にｙ＝７を代入すればよく、
３８分の位置であることになります。
短針が３８分の位置にあるのは７時台なので、
答えは７時３６分ということになります。
Ａｎｓ．７時３６分
【問題２−２】
問題２−１に対する解答と考え方は全く同じです。
次の式が成り立つ時が答えになります。
(長針がある目盛りの値)−(短針がある目盛りの値)＝２・・・(2)
ｚを０≦ｚ≦１１である整数として、次の各場合について考えます。
長針が００分の場合)
０−５ｚ＝２
ｚ＝−２／５ →不適
１２分の場合)
１２−(５ｚ＋１)＝２
ｚ＝９／５ →不適
２４分の場合)
２４−(５ｚ＋２)＝２
ｚ＝４
３６分の場合)
３６−(５ｚ＋３)＝２
ｚ＝３１／５ →不適
４８分の場合)
４８−(５ｚ＋４)＝２
ｚ＝４２／５ →不適
以上より長針が２４分の位置にある時に条件に合う針の位置があることがわかります。
この時の長針の位置は(５ｚ＋２)にｚ＝４を代入すればよく、２２分の位置であることになります。
短針が２２分の位置にあるのは４時台なので、
答えは４時２４分ということになります。
Ａｎｓ．４時２４分
◆東京都 NaVi さんからの解答
【問題１】
家の時計は正確なのですから、家を出てから帰ってくるまでにかかった時間は74分。
友達の家にいた時間は30分なので、移動に費やした時間は44分。
行き帰りの速度は同じなので、片道22分かかっています。
友達の家に着いた正しい時刻は「8時22分」のはずですが、実際には「8時21分」を指していたので、友達の家の時計は1分遅れていることになります。
同様に、自宅から公園、公園から自宅の移動にかかる時間も等しいはずですが、
実際には、行きは17分、帰りは13分になっています。
公園の時計の誤差を X とし、実際にかかる時間を Y として連立方程式を解くと、
(1) Y + X = 17
(2) Y - X = 13
(2') Y = X + 13
(1) に (2') を代入して
2X + 13 = 17
2X = 4
X = 2
公園の時計の誤差は、+2分です。
【答】公園の時計は2分進み、友達の家の時計は1分遅れている。
1周12時間の時計では、
1分間に長針は6度、短針は0.5度進みます。
また、隣り合う目盛どうしの角度は
360度÷60＝6度です。
【問題２−１】
短針がちょうど目盛の上にのっていることから、問題の時刻は
0分、12分、24分、36分、48分、のいずれかであることが判りますから、それぞれ検証していきます。
0分の場合、短針と長針は重なっている(12時)か、5目盛以上離れているので該当しません。
12分の場合、12時、1時、2時では短針は長針より後ろにあり、3時以降では短針は長針より3目盛以上先にあるので該当しません。
24分の場合、12時〜4時では、短針は長針より後ろにあり、5時以降では3目盛以上先にあるので該当しません。
36分の場合、12時〜6時では短針は長針の後ろにあります。
7時のとき、短針は長針よりちょうど2目盛先にあります。
8時以降では3目盛以上先にあり、該当しません。
48分の場合、12時〜8時では、短針は長針よりも後ろにあり該当しません。
9時のとき、短針は長針よりも1目盛だけ先にあり該当しません。(おしい)
10時以降では3目盛以上先にあるので該当しません。
【答】7時36分 (19時36分)
【問題２−２】
同様に、毎時0分、12分、24分、36分、48分を検証します。
【答】4時24分 (16時24分)
%% おまけ %%
問題2-1 を解く awk プログラム
12時からの経過時間(分)を X とすると、長針、短針の位置(角度)はそれぞれ、
長針: (6X mod 360)
短針: (0.5X mod 360)
で表せますから、12時からの12時間(720分)の総当りのプログラムで解を得られます。
BEGIN {
for (i = 0 ; i < 720 ; i ++) {
Long = (i * 6) % 360;
Short = (i * 0.5) % 360;
if (((Long + 12) % 360) == Short) {
hour = int(i / 60);
min = i % 60;
print hour "時" min "分\n";
}
}
}
同様に、問題2-2 を解くプログラム。BEGIN {
for (i = 0 ; i < 720 ; i ++) {
Long = (i * 6) % 360;
Short = (i * 0.5) % 360;
if (((Short + 12) % 360) == Long) {
hour = int(i / 60);
min = i % 60;
print hour "時" min "分\n";
}
}
}
◆大阪府 mitsu さんからの解答
【問題１】
午前８：００に家を出て，帰ってきたのが９：１４ですから，外出していた時間は７４分間です．
そのうち，３０分間は友だちの家で過ごしたので，往復にかかった時間は４４分間になります．
往復とも同じ速さで歩いたので，片道２２分かかったことになります．
したがって，友だちの家についたのは，正確な時刻は８：２２になり，
そのときの友だちの家の時計が８：２１だったのですから，
友だちの家の時計は１分遅れていたことになります．
次に公園の時計ですが，行きは見かけ上１７分間
（８：１７−８：００），
帰りは見かけ上１３分間（９：１４−９：０１）です．
公園の時計も，高岡さんの時計も，正確で，歩く速さが行き，帰りとも同じなので，行きに余計にかかったと見える時間と， 帰りに短くみえた時間は等しいです．
ですから，１７分と１３分を加えると，時計の遅れ・進みによる誤差が相殺され，合計の３０分間が往復に要した，実際の時間になります．
したがって，高岡さんのお家から公園までは１５分間（３０わる２）となり，
行きに公園を通ったときの時刻は８：１５です．
公園の時計は２分進んでいたことになります．
【問題２−１】
短針がどこかの目盛りちょうどにあるわけですから，そのときの分の値（長針の位置）は，１時間に５目盛りなので６０を５で割って，
０，１２，２４，３６，４８のいずれかになります．
これらの”分”のときの短針の位置を考えます．
短針が直前の文字盤の数字のところ（要はＸ時０分）から何目盛りさきにいるかを調べると，
それぞれ０，１，２，３，４です．
同様に，長針は，０，２，４，１，３の場所になります．
これらの組み合わせのうち，短針がちょうど２目盛り先に進んでいるのは，短針が３，長針が１の組み合わせの場合のみになり，
具体的な”分”の値は，３６分の場合です．
ですから，長針が３６分の場所，短針が３８分の場所にいることになり，
求める時刻は７時３６分となります．
【問題２−２】
問題２−１と全く同じ方法で求められます．
短針がどこかの目盛りちょうどにあるわけですから，そのときの分の値（長針の位置）は，１時間に５目盛りなので６０を５で割って，
０，１２，２４，３６，４８のいずれかになります．
これらの”分”のときの短針の位置を考えます．
短針が直前の文字盤の数字のところ（要はＸ時０分）から何目盛りさきにいるかを調べると，
それぞれ０，１，２，３，４です．
同様に，長針は，０，２，４，１，３の場所になります．
これらの組み合わせのうち，長針がちょうど２目盛り先に進んでいるのは，短針が２，長針が４の組み合わせの場合のみになり，
具体的な”分”の値は，２４分の場合です．
ですから，長針が２４分の場所，短針が２２分の場所にいることになり，
求める時刻は４時２４分となります．
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ