『今週の問題』第73回　解答

◆石川県　迷える羊 さんからの解答

【問題１】

まず、２つの砂時計を同じに裏返す。

５分の砂時計の砂が無くなるとき、７分の砂時計には、あと２分の砂が残っている。

≪この時から時間を計ると、２分を計る事ができる。≫

５分の砂時計を裏返して７分の砂時計の砂が無くなるとき、５分の砂時計には、後３分の砂が残っている。

≪この時から時間を計ると、３分を計る事ができる。≫

７分の砂時計を裏返して５分の砂時計の砂が無くなるとき、７分の砂時計には、後４分の砂が残っている。

≪この時から時間を計ると、４分を計る事ができる。≫

５分の砂時計を裏返して７分の砂時計の砂が無くなるとき、５分の砂時計には、後１分の砂が残っている。

≪この時から時間を計ると、１分を計る事ができる。≫

【問題２】

出発時刻の『分』をχとする。
【５≦χ＜１０】

出発時刻に、短針が『１２』の所から右に回っている角度は、

χ×

３０ ――― ６０

＝

χ ――― ２

【°】

この位置を長針が指しているときの『分』を、ｙとすると、
【０≦ｙ＜５】

ｙ＝

χ ――― ２

×

６０ ――――― ３６０

＝

χ ――― １２

【分】

『分』がｙのとき、短針が『１』の所から右に回っている角度は、

ｙ×

３０ ―――― ６０

＝

χ ――― ２４

【°】

また、出発時刻に、長針が『１２』の所から右に回っている角度は、

χ×

３６０ ――――― ６０

＝６χ

今、出発時刻と帰宅時刻とでは長針と短針がちょうど反対の位置に来ていたのだから、

６χ＝３０＋

χ ―――― ２４

χ＝	７２０ ―――――― １４３

出発時刻は、約１２：０５：０２
到着時刻は、約１３：００：２５

散歩していた時間は、約５５分２３秒。

◆千葉県の小学生　緑川　敦 さんからの解答

【問題１】

(1)5分と7分の砂時計を同時に砂を落とす。
(No.1及びNo.2の開始)

(2)5分の砂時計の砂が、全て下に落ちたら引っくり返す。
(No.1の終了及びNO.3の開始)

(3)7分の砂時計の砂が、全て下に落ちたら引っくり返す。
(No.2の終了及びNo.4の開始)
………
NO.1の終了からNO.2の終了までの2分を計る事が出来る。

(4)5分の砂時計の砂が、再び全て下に落ちたら引っくり返す。
(No.3の終了及びNo.5の開始)
………
NO.2の終了からNO.3の終了までの3分を計る事が出来る。

(5)7分の砂時計の砂が、再び全て下に落ちた事を確認する。
(No.4の終了)
………
NO.3の終了からNO.4の終了までの4分を計る事が出来る。

(6)5分の砂時計の砂が、三度目に全て下に落ちた事を確認する。
(No.5の終了)
………
NO.4の終了からNO.5の終了までの1分を計る事が出来る。

◆千葉県　緑川　正雄 さんからの解答

【問題２の回答】

1時間50分46

2 ――― 13

秒

【問題２の回答の理由】

散歩に出かけた時間をh(時)、散歩から戻った時間をk(時)とする。
　[ここに12時は0時と表現する。即ち0≦h＜k＜12とする]

(1)出かけた時間の
　時針の時計回りの角度は 30×k(度)
　分針の時計回りの角度は360×k(度)

(1)戻った時間の
　時針の時計回りの角度は 30×h(度)
　分針の時計回りの角度は360×h(度)

出かけた時間と戻った時間で、時針と分針が入れ替わっていたので、

　360×k-30×h=360×p[pは整数]
　360×h-30×k=360×q[qは整数]

即ち

　12×k-h=12×p[pは整数]
　12×h-k=12×q[qは整数]

よって

　11×(h+k)=12×(p+q)　…(1)
　13×(k-h)=12×(p-q)　…(2)

条件より1＜k-h＜2であるから、
(2)においては、p-q=2の時に条件を満たすkとhの差が求まり、

k-h=12×2÷13=

24 ――― 13

=1

11 ――― 13

が散歩していた時間である。

11 ――― 13

×60=

660 ―――― 13

=50

10 ――― 13

10 ――― 13

×60=

600 ―――― 13

=46

2 ――― 13

であるから求める所要時間は

1時間50分46

2 ――― 13

秒である。

【青木コメント】

実は最初の出題の段階の私の日本語がいい加減で、自分では約一時間という意味で「一時間あまり」と書いてしまいました。
ということで緑川さんのような１時間５０分・・の解答が来ました。
あとから問題文を「およそ１時間」に直したのですが、ご迷惑をおかけして反省しています。

【問題３−１の回答】

132通り

【問題３−１の回答の理由】

実際の時間をh(時)、この針が示す時間をk(時)とする。

【問題２】と条件は同じであるから

360×k-30×h=360×p[pは整数]
360×h-30×k=360×q[qは整数]
　[但しh,kは0≦h,k＜12]が成立する。

11×(h+k)=12×(p+q)
13×(k-h)=12×(p-q)

よって、

h=	12×p+144×q ――――――――― 143

k=	144×p+ 12×q ――――――――― 143

0≦h,k＜12であるから

0≦

12×p+144×q ――――――――― 143

＜12

0≦

144×p+ 12×q ――――――――― 143

＜12

即ち

0≦ p+12×q＜143
0≦12×p+ q＜143　を得る。

時刻hをkと間違える組み合わせは上の条件式で
p、qは整数でp≠qを満たすものから求める。

(p,q)=     (0,1)(0,2)(0,3)(0,4)(0,5)(0,6)(0,7)(0,8)(0,9) (0,10) (0,11)
(p,q)=(1,0) 　　(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7)(1,8)(1,9) (1,10) (1,11)
(p,q)=(2,0)(2,1) 　　(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(2,9) (2,10) (2,11)
(p,q)=(3,0)(3,1)(3,2) 　　(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)(3,8)(3,9) (3,10) (3,11)
(p,q)=(0,0)(4,1)(4,2)(4,3) 　　(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9) (4,10) (4,11)
(p,q)=(5,0)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4) 　　(5,6)(5,7)(5,8)(5,9) (5,10) (5,11)
(p,q)=(6,0)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5) 　　(6,7)(6,8)(6,9) (6,10) (6,11)
(p,q)=(7,0)(7,1)(7,2)(7,3)(7,4)(7,5)(7,6) 　　(7,8)(7,9) (7,10) (7,11)
(p,q)=(8,0)(8,1)(8,2)(8,3)(8,4)(8,5)(8,6)(8,7) 　　(8,9) (8,10) (8,11)
(p,q)=(9,0)(9,1)(9,2)(9,3)(9,4)(9,5)(9,6)(9,7)(9,8) 　　  (9,10) (9,11)
(p,q)=(10,0)(10,1)(10,2)(10,3)(10,4)(10,5)(10,6)(10,7)(10,8)(10,9)(10,11)
(p,q)=(11,0)(11,1)(11,2)(11,3)(11,4)(11,5)(11,6)(11,7)(11,8)(11,9) (11,10) 

以上の検討で午後12時を除いたが、この場合はhとkが同じ時刻を示し、時刻を間違える組み合わせではない。

【青木コメント】

本当は24時間なので、132×2=264としてください。

【問題３−２の回答】

INT(

b ―― 5

)時(5×a+

b ――― 12

)分

【問題３−２の回答の理由】

正しい時間ａ時ｂ分
[aは0〜11までの整数、bは実数で0≦b＜60]

を時間換算すると

h=a+

b ――― 60

[時]である。

時針の時計回りの角は

30×a+

b ―― 2

[度]

分針の時計回りの角は

　360×a+6×b [度]
≡6×b [度] [mod 360]

時針と分針を入れ替えてある場合、間違った時刻を示す時針の角は

6×b [度]

間違った時刻を示す分針の角は

30×a+

b ―― 2

[度]

間違って読み取れる時刻をc時d分とする。
[cは0〜11までの整数、dは実数で0≦d＜60]

0≦b＜60であるから

0≦

b ―― 5

＜12

よって、

c=INT(6×

b ―― 30

)=INT(

b ―― 5

)

0≦30×a+

b ―― 2

＜360であるから

d=(30×a+

b ―― 2

)/6

=5×a+

b ――― 12

◆東京都　小林　祐介 さんからの解答

【問題１】

（１）５分の砂時計と７分の砂時計を同時に逆さにする。
（０分経過）

（２）５分の砂時計が落ちきったら逆さにする。
（５分経過）

（３）７分の砂時計が落ちきったら逆さにする。
（７分経過）

（４）５分の砂時計が落ちきったら逆さにする。
（10分経過）

（５）７分の砂時計が落ちきったら逆さにする。
（14分経過）

（６）５分の砂時計が落ちきる。
（15分経過）

１分を計るには（５）と（６）の間の時間を
２分を計るには（２）と（３）の間の時間を
３分を計るには（３）と（４）の間の時間を
４分を計るには（４）と（５）の間の時間をそれぞれ計ればよい。

【問題２】

12時を起点として、出かけた時刻をS分後、帰った時刻をR分後とする。

　0.5S＋360＝6R
　6S＝0.5R

∴S＝

720 ――― 143

，R＝

8640 ―――― 143

求める答は

R−S＝

7920 ―――― 143

より約55分23秒。

【問題３】

問題２で上の式の左辺の＋360を
＋0、＋360、＋720、…、＋3960とすると、
Sから０時から１時の間に時計が正しい時間をさす時刻が求められ、
その数は11個。
（解は12個求められるが、そのうちの１個は長針と短針が重なっているので題意にそわない。）

同様に１時、２時、…、11時を起点として正しい時間をさす時刻が11個ずつ求められる。

よって24時間では11×12×2＝264個

12/11時間の間に答が12個求められるとして、
12×11×2＝264でもよいと思います。

【おまけ】

b ―― 5

時 a×5+

b ――― 12

分（端数切り捨て）

◆大阪府　mitsu さんからの解答

【問題１】

砂時計で時間を測るということは，時計そのものに目盛り等はないため，ある瞬間に，砂時計をひっくり返して，砂が落ちきるまでの時間を測るしかありません．

すなわち，この問題の場合，５分か７分という単位でしか時間は測れません．

この問題の場合は，測りたい時間が１分から４分までと，５分以下のため，５分と７分の差を利用することになります．
(１つの砂時計の砂が落ちきったところから測り始めて，もう一方の砂時計の砂が落ちきるまでの時間．)

それぞれの砂時計は，落ちきったところで，(時間のロスなく瞬間に)ひっくり返せるとして，５分もしくは７分を何回か足した時間だけ測ることができます．

すなわち，片方の時計で５分の倍数分だけ時間を測り，もう一方の砂時計で７分の倍数分時間を測り，その差をとればいいことになります．

したがって，１分から４分は次のように測れば求められます．

１分＝５分かける３引く７分かける２
(同時に砂時計で測り始めます，７分の砂時計が２回落ちきったところから，５分の砂時計が３回落ちきったところまでが，１分となります．(以下同じ))

２分＝７分かける１引く５分かける１

３分＝５分かける２引く１分かける１

４分＝７分かける２ひく５分かける２

【問題２】

１時間ほどで散歩から戻ってきて，短針と長針が入れかわっているのですが，短針が１時間分ほど進んで，もと長針のいた場所まで移動し，長針は文字盤をぐるっと１周近く回って，短針のいた場所にきたことになります．

ここで短針と長針の動きを独立してみると，短針の動いた角度と，長針の動いた角度の合計が
文字盤１周(３６０度)になります．

動いていた時間はもちろん等しく，
短針が１分間に０．５度(３６０÷１２÷６０)，
長針が６度(３６０÷６０)ですから，
合せて１分間に６．５度動きます．

ですから，合せて３６０度動くための時間は

３６０÷６．５で，

５５

５ ―――― １３

分になります．

結局この時間が散歩していた時間そのものになりますから，

５５

５ ―――― １３

分(約５５分２３秒)が答えです．

【問題３】

長針と短針の動きをグラフで考えます．

縦軸，横軸とも０から６０まで目盛りのある直交座標を準備します．
横軸が分単位で表した長針の位置，縦軸が同じく短針の位置とします．

まず，普通の時計の針の動きを考えてみます．
(針の動きは一定ですから，グラフは直線になります．)

午前０時が原点(０，０)です．
午前１時では長針が６０(文字盤で１２)，短針が５(文字盤で１)のところに移動しています．
(その間を直線で結んでください．)

午前１時は長針が０(分)に戻っていますから，午前１時から午前２時までのグラフは，
(０，５)から(６０，１０)を結んだもの，

以下同様に，(０，１０)から(６０，１５)というふうに，
最後は(０，５５)から(６０，６０)まで，右上がりの緩やかな直線が１２本ひかれます．

次に，短針と長針を入れ替えた時計の動きをグラフにあらわすと，
午前０時が原点(０，０)です．
午前１時では長針が５(文字盤で１)，短針が６０(文字盤で１２)のところに移動しています．
(その間を直線で結んでください．)

午前１時は短針が０(分)に戻っていますから，午前１時から午前２時までのグラフは，
(５，０)から(６０，１０)を結んだもの，

以下同様に，(０，１０)から(６０，１５)というふうに，
最後は(０，５５)から(６０，６０)まで，右上がりの急な直線が１２本ひかれます．

さて，針の入れ替わった時計が，(時計として)正しい時刻を表しているということは，このグラフの交点にある時刻の場合です．

また，本当に正しい時刻を表しているということは，針が重なっている場合になります．

針が重なる場合というのは，
先のグラフで(０，０)と(６０，６０)を結んだ，右上がり４５度の直線状の点の場合です．

それ以外の交点は，この問題の題意に適します．

交点の数は１２かける１２の１４４個，
そのうち針が重なる点(傾き４５度上の点)は１２個ですから．

１４４−１２で１３２個．すなわち１３２回です．

また，このグラフは１２時間分ですから，１日(０時から翌０時)の間では，
これを２倍して，２６４回となります．
(ちなみに，針が重なる回数は，２３回です．)

【おまけの問題】

出題が文字ですから，これは普通に文字式で考えます．

正しい時計でａ時ｂ分ですので，そのときの文字盤の１２のところから時計回りにはかった針の角度は，

長針はｂ×６度
　(長針は１分に６度進むので．)

短針はａ×３０＋ｂ×０．５度
　(短針は１分に０．５度進み，１時間分で３０度ですので．)です．

針が入れ替わった時計では，要は，
短針がｂ×６度，
長針はａ×３０＋ｂ×０．５度をさしていることになります．

ですから，時(JI)は，
[(ｂ×６)÷３０]＝[ｂ÷５]
([　]はガウスの記号：切り捨てを表します．)
(１時間で３０度)

分(FUN)は，
((ａ×３０＋ｂ×０．５)÷６)＝(ａ×５＋ｂ÷１２)となり．

針を入れ替えた時計は

[ｂ÷５]時(ａ×５＋ｂ÷１２)分をさしています．

◆三重県　オンディー さんからの解答

【問題１】

７−５＝２分、５−２＝３分、７−３＝４分、５−４＝１分、できあがり!!

【問題２】

X：出発した時の長針がさす分数
Y：散歩した時間（分）

関係を角度をつかって式で表すと、
（例：１０分のときは６０度）

６X＋６Y−３６０度＝

１ ――― ２

X

１ ――― ２

X

＋

１ ――― ２

Y

＝X

上の二つの式を連立すると、

Y＝	720 ―――― 13

よって、散歩していた時間は５５分２３秒

【問題３】

文字盤の上では正しい時間を表しているのは
一時間に１２回。

実際の時間とあっているのは一時間に１回。
（長針と短針が重なるとき）

よって一時間に１２−１＝１１回、問題の瞬間がある。

１１×２４＝２６４回。

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