今回は多数の方から面白い回答をいただきました。
とても全ては掲載できないので、ご容赦ください。
◆兵庫県の中学校３年生 Mr GOLD さんからの解答
【問題１】
1＋2＋・・・＋11＋12＝78
２分割であるから、
78÷2＝39
実は13の倍数にするための切り方は、図1のどれかで切るしかない
よって、答えは３と４の間、９と１０の間
【問題２】
同様に３分割にするには
１本目２と３の間、１０と１１の間
２本目４と５の間、８と９の間
さらに６分割にするには、図１の点線どおりに切ればよい
【問題３】
１：２に分けるには、
２と３の間、１１と１０の間で切るか、
４と５の間、８と９の間できるか、の２通りである
【おまけ１】
長針が１分間に進む角度 ６度
短針が１分間に進む角度 ０．５度
［１］長針が３と４の間に来るとき
| ９０÷(６−0.5)＝16 |
4 ―― 11 |
| よって答えは、9時16 |
4 ―― 11 | 分 |
［２］長針が３と４の間に来るとき
| 270÷(６−0.5)＝49 |
1 ―― 11 |
| よって答えは、3時49 |
1 ―― 11 | 分 |
【おまけ２】
いろいろ考えてみたけれど、これしか思いつきません
11の間の1と1の間から3と4の間
これしかありません
◆京都府 sambaGREEN さんからの解答
【問題１】
１から１２までの和は７８であるから，
７８÷２＝３９
分割された文字盤の少なくとも一方は連続した整数の和となるから，
連続した整数の和が３９になるものを探す。
３９＝３×１３または１×３９であるから，
３を中心に１３整数の和，
１３を中心に３整数の和，
１を中心に３９整数の和，
３９単独の４通りが考えられるが，条件を満たすのは，
−３，−２，−１，０，１，２，３，４，５，６，７，８，９から
−３，−２，−１，０，１，２，３（和は０）を除いた
４，５，６，７，８，９ だけ。
したがって，３と４，９と１０のあいだで分ければよい。
【おまけ問題】
長針と短針でこのようになるのは，３時台と９時台。
３時台のとき，
| （１８０＋９０）÷（６− |
１ ―― ２ | ）＝ |
５４０ ―――― １１ |
９時台のとき，
| （２７０−１８０）÷（６− |
１ ―― ２ | ）＝ |
１８０ ―――― １１ |
| ３時４９ |
１ ――― １１ | 分，９時１６ |
４ ――― １１ | 分 |
【問題２】
７８÷３＝２６だから，
２６＝２×１３または１×２６で，
問題１と同様に，４通りのうち条件を満たすのは，
−４，−３，−２，−１，０，１，２，３，４，５，６，７，８から
−４，−３，−２，−１，０，１，２，３，４（和は０）を消した
５，６，７，８だけ。
よって，４と５，８と９の間で分ければよいが，もう１つの分割は連続した整数では不可能であり，
１２と１を含む２６になる組合せは，
１１，１２，１，２しかない。
また，６分割は，連続した２数の和が１３（＝７８÷６）になるのは６，７だけで，以下自動的に決定する。
【問題３】
３分割の２本の線のうち１本だけ（青または赤）を引けば，
１：２に分割される。
しかし、１０または１１または１２の文字を
１２＝１＋２のような分割を許すと、いずれを分割した場合も全体の和は９減少するから
２３（＝２６−３）を作ればよい。
パズル的な問題であるので、結果のみ示す。
【おまけ問題】
１０，１１または１２の文字を１と０，１と１，１と２のような分割を許すとすると，どれを分割した場合も全体の和は９減少するので
２３（＝２６−３）を作ればよい。
以下結果のみ。
◆大阪府 mitsu さんからの解答
【問題１】
１から１２までの数字をたすと７８になるので，
２つに分けたそれぞれの和は３９です．
２つのうち少なくとも１つは連続した数字を加えて
３９にならないといけません．
１から８まで足すと３６になります．
希望する３９にあと３足りません．
次の数字は９ですから，それを足すと今度は６多くなります．
１から３まで足すとちょうど６になりますので．求める分け方は，
４から９までと１０から３までを含むように文字盤を分ければよいことになります．
【問題２】
同じように考えると，今度の場合は１つの部分が２６になるようにすればいいことになります．
１０，１１，１２の合計は３３で，各部分の合計が２６ですから，これらの３つの数字は，２つと１つに分かれます．
(単独１つではもちろん２６になりませんので考慮の必要はありません．)
(１０，１１)と１２でわけると１２のほうはあと１４ですが，
１から加えた数字の合計は１４になりません．
１０と(１１，１２)でわけると(１１，１２)のほうはあと３ですので，
１と２でちょうど２６になります．
その続きは，３から連続にたしていくと７まで足したところで２５になり，次の８を足すと多すぎます．
でも，問題１のように前をけずって次を足す方法では使えないので，結局，文字盤の数字を連続で分ける方法はないことになります．
となると，残るのは，１１の前と３の次のいくつかを足して，
２６にする方法となります．
１０＋９＋８で２７ですから，１０＋９と反対側で７か
１０と反対側で１６となります．
３＋４が７ですから１０，９，３，４の組合せは正解で，のこる１つの部分は
５＋６＋７＋８で２６になります．
３から連続で加えて１６になる組合せはありませんので，結局求める答えは，
(１１＋１２＋１＋２)，
(９＋１０＋３＋４)，
(５＋６＋７＋８)となります．
６つに分けるには，１つの部分が１３になればいいのですから，３つの場合と同様に考えると
１０，１１，１２はそれぞれ単独にせざるを得ません．
となると文字盤の形から
１２＋１しかなく，あとは１１＋２，１０＋３しかありません．
以下は９＋４，８＋５，７＋６の組合せとなります．
【問題３】
これは問題２の３つにわけたうちの２つを再度結合させればいいのですが，
(１１＋１２＋１＋２)，(５＋６＋７＋８)の２つの部分は物理的に分かれていますから，求める答えは，
(９＋１０＋１１＋１２＋１＋２＋３＋４)と(５＋６＋７＋８)か
(１１＋１２＋１＋２)と(９＋１０＋３＋４＋５＋６＋７＋８)の２つになります．
【おまけ１】
長針と短針がそれぞれ３と４，９と１０の間に入っていて，一直線になっている時刻を求めればいいことになります．
短針が３と４の間のとき，長針は１分間に６度(３６０わる６０)，
短針は１分間に０．５度(３６０わる１２わる６０)すすみます．
３時丁度の時点で，短針は長針より９０度先にいます．
時計が１分進むごとにその差は５．５度(６ひく０．５)詰まっていきます．
求めるのは短針を追い越してさらに１８０度先に着く時刻です．
すなわち，１分に５．５度ずつで，２７０度(９０たす１８０)まで行く時間を求めればよく，
| ２７０÷５．５ | ＝４９ |
１ ―――― １１ | となります． |
| 求める時刻は３時４９ |
１ ―――― １１ | 分です． |
短針が９と１０の間のときも同様に，
９時丁度の時点で，短針は長針より２７０度先にいます．
求めるのは短針に９０度分追いつく時刻です．
| ９０÷５．５ | ＝１６ |
４ ―――― １１ | なので， |
| 求める時刻は９時１６ |
４ ―――― １１ | 分です． |
【おまけ２】
パズル的というわけですから，
１０を１と０，１１を１と１，１２を１と２に分けてもよいという意味でしょう．
２つの部分に分けるわけですから．最大でも分けるのは２つです．
わけた２つの部分は，それぞれが別の部分に入ります．
となると，１０，１１，１２のうち２つの数字を分割すると，
そのうちの片側は最大でも１２
(１０と１２を分割して，０と１１と１を足した場合)であり，
題意(２６と５２に分ける)を満たしません．
ですから，分割するのは，いずれか１つの数字になります．
１と０，１と１，１と２に分けたとして，文字盤の数字の合計は，
すべて６９になり３で割り切れますので，それぞれ可能性はあります．
今回は切断個所が分かっていますので，その切断個所から，時計方向，その逆方向に連続して数字を加えていって２３になればそれが正解となります．
１０を２つに分けた場合，
０(１０の片割れ)から１１の方向は
０＋１１＋１２で２３．
残りは，１(１０の片割れ)と９〜１までの合計の４６．
１１を２つに分けた場合，
１(１１の片割れ)から１２の方向は
１＋１２＋１＋２＋３＋４で２３．
残りは，１(１１の片割れ)と１０〜５までの合計の４６．
１２を２つに分けた場合，
２(１２の片割れ)から１の方向は
２＋１＋２＋３＋４＋５＋６で２３．
残りは，１(１２の片割れ)と１１〜７までの合計の４６．
の３とおりです．
◆東京都 ひょん さんからの解答
【問題１】
３と４の間と９と１０の間で分ける。
【問題２】
３分割する場合：
２と３の間と１０と１１の間で分け、
４と５の間と８と９の間で分ける。
６分割する場合：
１と２の間と１１と１２の間、２と３の間と１０と１１の間、というようにして
１と１２、２と１１、３と１０、４と９、５と８、６と７ が同じ部分になるように分ける。
【問題３】
１) ２と３の間と１０と１１の間で分ける。
２） ４と５の間と８と９の間で分ける。
つまり、問題２の「３分割する場合」の２つの分割線のうちの一つが、
文字盤の数字を１：２に分ける。
【おまけの問題１】
３時４５分〜５０分または９時１５分〜２０分に、長針と短針が直線になる。
より正確には、
１）３時χ分の長針と文字盤の「９」とでできる角度は
６×（χ−４５）。
| また、短針と「３」の間の角度は |
１ ―― ２ | χ。 |
| ６（χ−４５）＝ |
χ ―― ２ |
| ６χ−２７０＝ |
χ ―― ２ |
１２χ−５４０＝χ
１１χ＝５４０
| χ＝ |
５４０ ――― １１ | ＝４９＋ |
１ ――― １１ |
|
１ ――― １１ | [分]＝ |
６０ ――― １１ | [秒]＝５＋ |
５ ――― １１ | [秒] |
従って、秒未満を四捨五入して
３時４９分５秒。
２）同様に９時χ分の長針と文字盤の「３」とでできる角度は
６×（χ−１５）。
| また、短針と「９」の間の角度は |
１ ―― ２ | χ。 |
| ６（χ−１５）＝ |
χ ―― ２ |
| ６χ−９０＝ |
χ ―― ２ |
| χ＝ |
１８０ ――― １１ | ＝１６＋ |
４ ――― １１ |
|
４ ――― １１ | [分]＝ |
２４０ ―――― １１ | [秒]＝２１＋ |
９ ――― １１ | [秒] |
従って、秒未満を四捨五入して
９時１６分２２秒。
【おまけの問題２】
数字を１：２で分ける場合の１に相当する部分には、数字の合計が２６になる任意の組み合わせが可能である。
従って、
１２、１１、３
１２、１０、４
１２、１０、１、３
１２、９、５
１２、９、１、４
１２、９、２、３
１２、８、６
１２、８、１、５
１２、８、１、２、３
１２、８、２、４
： ： ： ： ： ：
など、多くの組み合わせが存在するが、問題に「３つの方法がある」というので、このような組み合わせは回答として考慮されていないようである。
「分割した数字はそれぞれ隣り合っていなければならない」を暗黙の前提条件とすると、これらの組み合わせはすべて条件に合致しない。
そこで、「パズル的」な方法を考えると、
１） 文字盤の「１２」の中心と６と７の間で分割する。
「１２」は「１」と「２」に分かれる。
この場合、少ない方の数字は
２＋１＋２＋３＋４＋５＋６＝２３となり、他方は
７＋８＋９＋１０＋１１＋１＝４６ となって
１：２となる。
２） 文字盤の「１１」の中心と４と５の間で分割する。
「１１」は「１」と「１」に分かれる。
この場合、少ない方の数字は
１＋１２＋１＋２＋３＋４＝２３となり、他方は
５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１＝４６ となって
１：２となる。
３） 文字盤の「１０」の中心と１２と１の間で分割する。
「１０」は「１」と「０」に分かれる。
この場合、少ない方の数字は、
０＋１１＋１２＝２３となり、多い方の数字は
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１＝４６ となって
１：２となる。
◆岐阜県 MAS さんからの解答
【問題１】
1から12までの和は、
1/2×12×(1+12)=78。
2等分だから、39になる組み合わせを見つければよい。
公式の考えを素直な式に直すと、
(1+12)+(2+11)+(3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)=78であり、うまい具合に、3と4の間と9と10の間で2つに分けられることがわかりました。
【問題２】
問題１と同じ考え方で、78÷3=26になる組み合わせを見つければよい。
同じく式を見つめると、以下の2箇所で分ければよいことがわかりました。
2と3の間と、10と11の間
4と5の間と、8と9の間
6分割は78÷6=13なので、以下の5箇所で分けます。
1と2の間と、11と12の間
2と3の間と、10と11の間
3と4の間と、9と10の間
4と5の間と、8と9の間
5と6の間と、7と8の間
【問題３】
問題２の結果から、どちらか一方の分割だけ行えば１：２になります。
したがって、解答は
2と3の間と、10と11の間
または、
4と5の間と、8と9の間
【おまけ１】
短針が3と4の間の場合
3時台というのは明らかなので、分だけもとめればよい。
ａ分として考える。
3までの15分と3から短針が5分の目盛を60分で進むところをａ分ぶんだけ進んだ時間と短針の180度反対に長針があるので30分を加えたものがａ分となるので、式にすると
| a=15+5× |
a ―― 60 | +30 |
これをといて、a≒49
したがって、3時49分
短針が9と10の間の場合
同じように、9時台というのは明らかなので、分だけもとめればよい。
ａ分として考える。
a分と長針の180度反対に短針があるので30分を加えたものと、9までの45分と9から短針が5分の目盛を60分で進むところをａ分ぶんだけ進んだ時間との和が等しくなるので、式にすると
| a+30=45+5× |
a ―― 60 |
これをといて、a≒16
したがって、9時16分
【おまけ２】
10,11,12が2文字で構成されている点に着目してその文字の間で分割します。
解答１：
12の1と2の間と、6と7の間
2+1+2+3+4+5+6=23
7+8+9+10+11+1=46
解答２：
11の1と1の間と、4と5の間
1+12+1+2+3+4=23
5+6+7+8+9+10+1=46
解答３：
10の1と0の間と、12と1の間
0+11+12=23
1+2+3+4+5+6+7+8+9+1=46
パズルなんで、へそ曲がりな解答を・・・
解答４：
10,11,12の文字の外側に隙間があるので、3つとも1文字づつに分解して
10の0と11の1と12の1と1,2,3,4,5が一緒になるように曲線で2つにすると
0+1+1+1+2+3+4+5=17
6+7+8+9+1+1+2=34
本当にはさみでチョキチョキ切ってしまうとすると
解答５：
12の1と2の間と、8と9の間
え？合計が合わないって、そんなことないです。
小さい方は逆さにしてね。
6+01+11+1=19
2+1+2+3+4+5+6+7+8=38
やっぱり、パズルは面白い。
◆京都府 AAAI さんからの解答
【問題２】
●6分割の解答
数字の合計は78です。
ゆえに、6分割した後の各領域は、13になります。
数字は12が最大ですので、各領域に含まれる数字の数は、2個以上になります。
領域数は6、数字は12個なので、各領域に含まれる数字の数は2に決定します。
領域内の数字の合計は13なので、
1と12、2と11、3と10、4と9、5と8、6と7が各々1つの領域となるように分ければ、題意は満たされます。
これら6つの領域を、先ほど並べた数字の順に、領域Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとします。
これらの記号を、以降の問題で使用します。
【問題１】
領域ＡＢＣと領域ＤＥＦが、各々新しい領域になるように分ければ、題意は満たされます。
【問題２】
●3分割の解答
領域ＡＢ、領域ＣＤと領域ＥＦが、各々新しい領域になるように分ければ、題意は満たされます。
この新しい領域をそれぞれ領域Ｇ、Ｈ、Ｉとします。
問題３でこれらの記号を用います。
【問題３】
領域ＧＨと領域Ｉが、または領域Ｇと領域ＨＩが、各々新しい領域になるように分ければ、題意は満たされます。
◆ 問題へもどる
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