数学の部屋へもどる◆新潟県 ゆりりん さんからの解答
【問題１−１】
元の数をｎとする。
すると式は、５(２ｎ−５)−10となる。
計算すると、10n-35となる。
よって135のとき、10n-35=135より
n=17
【問題１−２】
最後の解をχとすると、
| ｎ＝ |
χ+35 10 | となる。 |
【問題２−１，２】
元の数を
4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3に場合分けする。
4k→12k→6k→18k→9k 4k+1→12k+3→6k+2→18k+6→9k+3 4k+2→12k+6→6k+3→18k+9→9k+5 4k+3→12k+9→6k+5→18k+15→9k+8といった結果にわけられる。
だから得られた計算結果が、9の倍数なら9で割り4をかける、
9k+3ならば、3をひいてから9で割り、4をかけるといったように計算し、
9k+5,9k+8も同様にして解いていくと、元の数が得られる。
理由は上のように、すべての計算結果が上の4つのパターンに分けられるためである。
◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１−１】
１７
【問題１−２】
問題の中で行った計算を逆にすると良い。
まず、結果に１０を足す。
次に、その答を５で割る。
次に、その答に５を足す。
最後に、その答を２で割る。
これらをまとめると、
『３５を足してから１０で割る』となる。
【問題２−１】
最後の結果に
|
４ ９ | を掛けて、 |
【問題２−２】
最初に思い浮かべる自然数を、
４ｎ＋ｍとすると、
【ｎ≧0，０≦ｍ＜４，ｎ＋ｍ＞０】
≪ａ≫ｍ＝０のとき、
問題の中の計算をすると
答は、９ｎ。
| この結果に |
４ ９ | を掛けると、 |
≪ｂ≫ｍ＝１のとき、
問題の中の計算をすると
答は、９ｎ＋３。
| この結果に |
４ ９ | を掛けると、 |
≪ｃ≫ｍ＝２のとき、
問題の中の計算をすると
答は、９ｎ＋５。
| この結果に |
４ ９ | を掛けると、 |
≪ｄ≫ｍ＝３のとき、
問題の中の計算をすると
答は、９ｎ＋８。
| この結果に |
４ ９ | を掛けると、 |
≪ａ≫〜≪ｄ≫より、【２−１】は常に成立する。
【感想】
問題２の計算を変換≪関数≫と考えると、最初に思い浮かべることができる自然数列
（１，２，３，４，５，…）が、間延びした数列
（３，５，８，９，１２，…）に１対１に対応している。
よって、計算結果から最初の数字を逆算する事が可能である。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
思い浮かべた数をχとする。
（χ×２−５）×５−１０＝１０×χ−３５
【問題１−１】
最後の結果が１３５のとき
１０×χ−３５＝１３５
χ＝１７
答え １７
【問題１−２】
最後の結果をＬとする。
１０×χ−３５＝Ｌ
χ＝（Ｌ＋３５）÷１０
方法
最後の結果に３５を加え、それを１０で割る。
【問題２】
２で２度割ることになるので４の剰余系で考える。
ｎ≧０とする。
４ｎ――――＞９ｎ ４ｎ＋１――＞９ｎ＋３ ４ｎ＋２――＞９ｎ＋５ ４ｎ＋３――＞９ｎ＋８【問題２−１】
方法
最後の結果を９で割る。商をｎとする。
余りが０のとき ４ｎ
余りが３のとき ４ｎ＋１
余りが５のとき ４ｎ＋２
余りが８のとき ４ｎ＋３
【問題２−２】
最初に思い浮かべた数と最後の結果が
１：１対応になっているから。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１について】
【問題１−１の回答】
１７
【問題１−２の回答】
｛(答えの数)+35｝÷10
【問題２について】
【問題２−１の回答】
(ケース1)
最初に思った数が4の倍数の時
| (最後の結果)× |
4 9 |
(ケース2)
最初に思った数が4の倍数に1を加えた数である時
| (最後の結果)× |
4 9 | − |
1 3 |
(ケース3)
最初に思った数が4の倍数に2を加えた数である時
| (最後の結果)× |
4 9 | − |
2 9 |
(ケース4)
最初に思った数が4の倍数に3を加えた数である時
| (最後の結果)× |
4 9 | − |
5 9 |
【問題２−２の回答】
最初に思った数yと最後の結果zの関係は
z=＜{3×＜(3×y+1)÷2＞+1}÷2＞である。
なお、記号＜＞は、実数xが整数nに対して
n≦x＜n+1である時に
＜x＞=n
を表すものとする。
(ケース1)
yが4の倍数の時
y=4×m(m:自然数)で表される。
＜(3×y+1)÷2＞
＝＜(12×m+1)÷2＞
＝6×m
よって、
z=＜{3×(6×m)+1}÷2＞
| =9×m |
| = |
9 4 | ×y |
zは9で割り切れて
| y= |
4 9 | z |
(ケース2)
yが4の倍数に1を加えた数である時
y=4×m+1(m:0又は自然数)で表される。
＜(3×y+1)÷2＞
=＜(12×m+3+1)÷2＞
=6×m+2
よって、
z =＜{3×(6×m+2)+1}÷2＞
| =9×m+3 |
| =9× |
y-1 4 | +3 |
| = |
9 4 | ×y+ |
3 4 |
zは9で割ると3余る数であり、
| y= |
4 9 | ×(z-3)+1 |
| y= |
4 9 | ×z - |
1 3 |
(ケース3)
yが4の倍数に2を加えた数である時
y=4×m+2(m:0又は自然数)で表される。
＜(3×y+1)÷2＞
=＜(12×m+6+1)÷2＞
=6×m+3
よって、
z =＜{3×(6×m+3)+1}÷2＞
| =9×m+5 |
| =9× |
y-2 4 | +5 |
| = |
9 4 | ×y+ |
1 2 |
zは9で割ると5余る数であり、
| y= |
4 9 | ×(z-5)+2 |
| y= |
4 9 | ×z - |
2 9 |
(ケース4)
yが4の倍数に3を加えた数である時
y=4×m+3(m:0又は自然数)で表される。
＜(3×y+1)÷2＞
=＜(12×m+9+1)÷2＞
=6×m+5
よって、
z =＜{3×(6×m+5)+1}÷2＞
| =9×m+8 |
| =9× |
y-3 4 | +8 |
| = |
9 4 | ×y+ |
5 4 |
zは9で割ると8余る数であり、
| y= |
4 9 | ×(z-8)+3 |
| = |
4 9 | ×z - |
5 9 |
◆東京都 小林 正樹 さんからの解答
【問題１−１】
反対から計算すればいいだけであるから
｛（135+10）/5+5｝/2を計算して
答えは１７である。
【問題１−２】
最初に決めた数をχ、結果をｙとすると題意の様に計算をすると
２倍する・・・・２χ
５を引く・・・・２χ−５
５倍する・・・・５（２χ−５）
１０を引く・・・５（２χ−５）−１０
となりこの結果がｙと等しいので方程式を解いて
| χ＝ |
ｙ+35 10 |
【問題２−１，２】
この試行において元の数は２度２で割る操作をされる。
よってｎは自然数として
元の数が2*2*ｎの時、１度も１を足す操作をしなくてよいことはすぐに分かる。
同様に１を足す操作をする条件によって次の４つに分けられる。
最初の数をχとして、
１）χ＝2*2*ｎの時
２）χ＝2*2*ｎ-1の時
３）χ＝2*2*ｎ-2の時
４）χ＝2*2*ｎ-3の時
（ただしｎ＝Ｎとする）
●１）の場合
３を掛ける・・・2*2*3*ｎ
これは２で割り切れるので
２で割る・・・・2*3*ｎ
そして
３を掛ける・・・2*3*3*ｎ
これも２で割り切れるので２で割る
3*3*ｎ となる。・・・・・・（１）
●２）の場合
３を掛ける・・・2*2*3*ｎ-3
これは２で割り切れないので１を足して
2*2*3*ｎ-2
２で割る・・・・2*3*ｎ-1
そして
３を掛ける・・・2*3*3*ｎ-3
これも２で割り切れないので１を足して
2*3*3*ｎ-2
２で割る
3*3*ｎ-1 となる。・・・・・・（２）
●３）の場合
３を掛ける・・・2*2*3*ｎ-2*3
これは２で割り切れるので
２で割る・・・・2*3*ｎ-3
そして
３を掛ける・・・2*3*3*ｎ-3*3
これは２で割り切れないので１を足して
2*3*3*ｎ-2*2*2
２で割る
3*3*ｎ-2*2 となる。・・・・・・（３）
●４）の場合
３を掛ける・・・2*2*3*ｎ-3*3
これは２で割り切れないので１を足して
2*2*3*ｎ-2*2*2
２で割る・・・・2*3*ｎ-2*2
そして
３を掛ける・・・2*3*3*ｎ-2*2*3
これは２で割り切れるので
２で割る
3*3*ｎ-2*3 となる。・・・・・・（４）
１），２），３），４）はすべての正の整数を表現できるのでこの試行によって得られる結果は
（１），（２），（３），（４）の４つの場合しかないことが分かる。
よって結果からどの場合か判断しｎを求めてχの式に代入すればよい。
よって結果をｙとすると
（１）の場合
| χ＝ |
4ｙ 9 |
（ｙは９の倍数なので整数になる）
（２）の場合
| χ＝ |
4（ｙ+1） 9 | -1 |
（３）の場合
| χ＝ |
4（ｙ+4） 9 | -2 |
（４）の場合
| χ＝ |
4（ｙ+6） 9 | -3 |
を計算すればよい。
（ただしｙがどの場合に当てはまるかを確かめなくてならない）。
◆神奈川県 たんぱぁ さんからの解答
【問題２】
(1)X=4Kのとき（Kは正の整数）
| Y= |
3X 2 | * |
3 2 | = |
9X 4 | =9K |
(2)X=4K+1のとき
| Y= |
3X+1 2 | * |
3 2 | =9K+3 |
(3)X=4K+2のとき
| Y=( |
3X 2 | *3+1)/2 | =9K+5 |
(4)X=4K+3のとき
| Y=( |
3X+1 2 | *3+1)/2 | =9K+8 |
ということで、答えを9で割った時のあまりQで分類して、商をPとすれば
Q=0のとき 答え=4P
Q=3のとき 答え=4P+1
Q=5のとき 答え=4P+2
Q=8のとき 答え=4P+3
それ以外の余りが出たら計算間違いという事になります。
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