『今週の問題』第63回　解答

◆山口県　Chelsea さんからの解答

【問題1-1への解答】

下記のような対応がある。
左側はトランプの数字、右側はそのカードのある行の番号。

A⇔1
2⇔1,2
3⇔1,3
4⇔1,4
5⇔2
6⇔2,3
7⇔2,4
8⇔3
9⇔3,4
10⇔4

【問題1-2への解答】

i枚目と(i+1)枚目。
上記の対応と、設問に掲げられた表から明らか。

【問題1-3への解答】

i行の左から(1+k)番目、k行の左からi番目。
これも自明ですね。

【問題2への解答】

初めにどのカードを選んでも、最後にはカードはいずれかの山の真ん中に来ます。

初めに選んだカード（ザ・カードとしましょう）は、一回目の収集の時点で、全体を三つに分けたブロックのうちの真ん中に来ます。
このブロックの中で上からn番目
（nは自然数で、1≦n≦9）に来たとします。

この次の配分で、ザ・カードは、

　n=3m-2ならば、左の山へ
　n=3m-1ならば、中央の山へ
　n=3mならば、右の山へ

配分されます。（mは自然数）

このとき、
1≦n≦9から、1≦m≦3です。

この次の収集で、もちろんザ・カードは真ん中のブロックに来ます。
真ん中のブロックの中で、
下から（m+3）番目、
つまり上から（7-m）番目です。

m=1,2,3ですから、
7-m=4,5,6です。

この次の配分で、7-mが4,5,6のいずれである場合も、ザ・カードが山の真ん中に配られることは明らかです。

◆石川県　迷える羊 さんからの解答

【１−１】

例にある並べ方では、１〜１０の数字が置いてある行はそれぞれ違うから、行を聞けば数字がわかる。

【１−２】

ｉ枚目と（ｉ＋１）枚目。

【１−３】

ｉ行の（ｋ＋１）枚目。ｋ行のｉ枚目。

【２】

最初に、トランプを表向きに９枚ずつ３つの山に分けた状態を考える。

好きなカードを選ぶ時、どの山から選んでも、その山を真ん中にしてカードを集めるから、選んだカードの位置は、
１０枚目〜１８枚目のどこかである。

２回目に、トランプを表向きに３つの山に分けると、
１０枚目〜１８枚目のカードは、各山の４枚目〜６枚目にある。

そこで、先ほど選んだカードがある山を真ん中にして集めると、選んだカードの位置は、
１３枚目〜１５枚目のどこかである。

３回目に、トランプを表向きに３つの山に分けると、
１３枚目〜１５枚目のカードは、各山の５枚目にある。

そこで、先ほど選んだカードがある山を教えてもらえば、最初に選んだカードはその山の５枚目にある事がわかる。

◆千葉県　緑川　正雄 さんからの解答

【問題１について】

【定式化】

i行,j列のカードの数値をa(i,j)で表す。

(Case-1)i≧jの時

(1)　a(i,1)=i　[i=1,2,3,4]
(2)　a(i,2)=i+3[i=2,3,4]
(3)　a(i,3)=i+5[i=3,4]
(4)　a(i,4)=i+6[i=4]

で表される。
jについて2階の階差を求めると、
一定値(-1)を取るので、
a(i,j)はjに関する2次式で表される。

一般には、
a(i,j)=i+{(8-j)×(j-1)}÷2 を得る。

(Case-2)i＜jの時

(1)　a(1,j)=j-1　[j=2,3,4,5]
(2)　a(2,j)=j+2　[j=3,4,5]
(3)　a(3,j)=j+4　[j=4,5]
(4)　a(4,j)=j+5　[j=5]

(1)と同様の方法で、
a(i,j)=j-1+{(8-i)×(i-1)}÷2を得る。

【考察】

(1)同じ数字がi行に並んでいる場合、 i≧iであるから
【定式化】(Case-1)の式より

a(i,i)=i+{(8-i)×(i-1)}÷2

　かつ

i＜i+1であるから
【定式化】(Case-2)の式より

a(i,i+1)=(i+1)-1+{(8-i)×(i-1)}÷2
　=i+{(8-i)×(i-1)}÷2
　=a(i,i)

よって
a(i,i)=a(i,i+1)=(11×i-i×i-8)÷2である。

具体的には、

1行目にある同じ数のカードの値は1
2行目にある同じ数のカードの値は5
3行目にある同じ数のカードの値は8
4行目にある同じ数のカードの値は10

(1) 同じ数字がi行及びj行に存在する(i i＜j+1であるから
【定式化】(Case-2)の式により

a(i,j+1)=(j+1)-1+{(8-i)×(i-1)}÷2
　=j+{(8-i)×(i-1)}÷2

i＜jであるから
【定式化】(Case-1)の式により

a(j,i)=j+{(8-i)×(i-1)}÷2

よって、a(i,j+1)=a(j,i)である。

具体的には、

1行目と2行目にある同じ数のカードの値は2
1行目と3行目にある同じ数のカードの値は3
1行目と4行目にある同じ数のカードの値は4
2行目と3行目にある同じ数のカードの値は6
2行目と4行目にある同じ数のカードの値は7
3行目と4行目にある同じ数のカードの値は9

【問題１−１の回答】

選んだカードがi行に2枚あれば
その数は(11×i-i×i-8)÷2であり、

選んだカードがi行とj行(i＜j)にあれば
その数はj+{(8-i)×(i-1)}÷2である。

【問題１−２の回答】

a(i,i+1)=a(i,i)より、
i行に同じ数のカードが2枚あれば、
i列目とi+1列目にその2枚のカードがある。

【問題１−３の回答】

同じ数字がi行及びk行にある(i＜k)場合、

a(i,k+1)=a(k,i) であるから、
i行のk+1列目及びk行のi列目が同じ数のカードである。

【問題２の回答】

【回答】最後に示した山の5番目(真中)のカード

【理由】

最初の状態でカードが以下の通り並んでいる。

　a(1,1)　　a(1,2)　　　a(1,3)
　a(2,1)　　a(2,2)　　　a(2,3)
　a(3,1)　　a(3,2)　　　a(3,3)
　a(4,1)　　a(4,2)　　　a(4,3)
　a(5,1)　　a(5,2)　　　a(5,3)
　a(6,1)　　a(6,2)　　　a(6,3)
　a(7,1)　　a(7,2)　　　a(7,3)
　a(8,1)　　a(8,2)　　　a(8,3)
　a(9,1)　　a(9,2)　　　a(9,3)
　山(1) 　　山(2) 　　　山(３)

j番目の山が真中になるように
(裏返したときの山を新たに山j1,山j2,山j3で表す。
この時、真中j2に上に述べたj番目の山が来るようにする。)

その後で、一枚ずつ表にする。
最初に選んだ数は、
a(9,j2)、a(8,j2)、a(7,j2)、a(6,j2)
a(5,j2)、a(4,j2)、a(3,j2)、a(2,j2)、a(1,j2)のいずれかである。

　a(9,j3)　　a(8,j3)　　　a(7,j3)
　a(6,j3)　　a(5,j3)　　　a(4,j3)
　a(3,j3)　　a(2,j3)　　　a(1,j3)
　a(9,j2)　　a(8,j2)　　　a(7,j2)　　＼ この9枚のいずれ
　a(6,j2)　　a(5,j2)　　　a(4,j2) 　　｜か一枚が、選んだ
　a(3,j2)　　a(2,j2)　　　a(1,j2) 　 ／ カードである。
　a(9,j1)　　a(8,j1)　　　a(7,j1)
　a(6,j1)　　a(5,j1)　　　a(4,j1)
　a(3,j1)　　a(2,j1)　　　a(1,j1)
　新山(1) 　　新山(2) 　　新山(３)

もし自分の選んだカードが
a(1,j2)、a(4,j2)、a(7,j2)のいずれかである場合には、新新山の番号が分かればいずれであるかが、答えられる。

○　　　　　　　　○　　　　　　○
○　　　　　　　　○　　　　　　○
○　　　　　　　　○　　　　　　○
○　　　　　　　　○　　　　　　○　　＼ 以下の9枚が(1,j2)〜a(9,j2)
a(1,j2)　　　　　a(4,j2)　　　a(7,j2)  ｜この行が選んだ数
○　　　　　　　　○　　　　　　○ 　 ／
○　　　　　　　　○　　　　　　○
○　　　　　　　　○　　　　　　○
○　　　　　　　　○　　　　　　○
新新山(1)　　　新新山(2) 　　新新山(３)

a(3,j2)、a(6,j2)、a(9,j2)のいずれかである場合でも、同様である。

◆東京都　小林　正樹 さんからの解答

【問題１−１】

まず、適当な４つの数を２つずつ１−４行に振り分ける。
４つから２つを取る組み合わせは６であるから、残った６つの数をそれぞれの行の組み合わせに振り分ける。
そうすると１０個の数がそれぞれ１つもしくは２つの行の組み合わせに振り分けられるので、その行を聞けば当てることができる。

【問題１−２】

i,i+1

【問題１−３】

k+1

【問題２】

２７枚のうち上から数えて１３，１４，１５枚目にある時３つに分けると，１枚ずつ配るなら上からも下からも５枚目となり９枚それぞれの山の真ん中となる。

まず最初に選んだ時にそのカードのある位置によって次の３つの場合に分ける。
それはそのカードのある山の上から数えて
１−３，４−６，７−９番目にある場合である。

それらは２度目に配る時にはそれぞれ上から数えて
１８−１６，１５−１３，１２−１０番目となりそれらは３つに配ると（１枚ずつ配るなら）配られた山の上から４，５，６番目となる。

それらは、３度目に配る時には上から数えて
１５，１４，１３番目となる。

よって最初に述べたことより３度目に配られた山のちょうど真ん中にくることがわかる。

◆神奈川県　たんぱぁ さんからの解答

カードを3次元配列と考えて
3*3*3=27枚のカードの立方体を想像する。

当たりカードは123とします。
カードは左上が一番上、右下が一番下になるように重なっているとします。

ここでは、
111,112,113,121,122,123,...232,233,311,312,...332,333という順で重なっているのです。

上から1段目　　　　　2段目　　　　　　3段目
111 112 113　　　211 212 213　　　311 312 313
121 122 123　　　221 222 223　　　321 322 323
131 132 133　　　231 232 233　　　331 332 333

●手順1　一度目の3分割

ここで順番に分割すると最後の数字によって分けられ、
123の入っている物を真ん中にします。

111 121 131　　　113 123 133　　　112 122 132
211 221 231　　　213 223 233　　　212 222 232
311 321 331　　　313 323 333　　　312 322 332

●手順1　二度目の3分割

ここで順番に分割すると真ん中の数字によって分けられ、
123の入っている物を真ん中にします。

111 211 311　　　121 221 321　　　131 231 331
113 213 313　　　123 223 323　　　133 233 333
112 212 312　　　122 222 322　　　132 232 332

●手順1　三度目の3分割

ここで順番に分割すると最初の数字によって分けられる。

111 113 112　　　211 213 212　　　311 313 312
121 123 122　　　221 223 222　　　231 233 232
131 133 132　　　231 233 232　　　331 333 332

終了！
ここで場所を教えれば『左』となり、ちゃんと左の山の真ん中(5番目)にありますね。

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