◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
１２４＋６５９＝７８３
【問題１−２】
３５２＋４６７＝８１９
【問題２】
最小
９−８×７×６×５×４×３×２−１
＝−４０３１２
最大
９×８×７×６×５×４×３×２＋１
＝３６２８８１
【問題３】
９６４２×８７５３１＝８４３９７３９０２（最大）
９×８７６５４３２１＝７８８８８８８８９
９６×８７５４３２１＝８４０４１４８１６
９６４×８７５３２１＝８４３８０９４４４
◆千葉県の小学生 緑川 敦 さんからの解答。
【問題１−1の回答】
最初から順番に6,5,9,7,8,3
【問題1−２の回答】
最初から順番に4,6,7,8,1,9
【答えの求め方について】
【問題１−1】と【問題1−２】については 紙に数字1,2,3,4,5,6,7,8,9を書きこんで、順次当てはめて求めました。
◆千葉県 緑川正雄 さんからの解答。
【問題２の回答】
a=1,2,3,4,5,6,7,8,9とする
@b≧2の時はa×b>a÷b,a+b,a-b
Ab=1の時はa+b>a×b,a÷b,a-b
であるから
(1)最大値は
9×8×7×6×5×4×3×2+1=362881
(2)最小値は
9-8×7×6×5×4×3×2-1=-40312
◆石川県 平田和弘 さんからの解答
【問題１−１】
124＋659＝783 です。
【問題１−２】
352＋467＝819 です。
【問題２】
最小は、
9−8×7×6×5×4×3×2−1
最大は、
9×8×7×6×5×4×3×2＋1です。
【問題３】
仮定を少し変えて考えて、9を9個使って2つの数の積を最大にすることを考えると
99999999×9＝899,999,991
9999999×99＝989,999,901
999999×999＝998,999,001
99999×9999＝999,890,001
より、5桁×4桁が最大になることがわかります。
同様にこの問題を考えて5桁×4桁が最大になることが予想できます。
1)5桁の数字を90000＋α、4桁の数字を9000−βとして、
(90000＋α)(9000−β)＝810,000,000＋9000(α−10β)−αβ
より、α−10βを最大にして、αβを最小にすればよい。
| 5桁 | 4桁 | α | β | α−10β | αβ |
| 97531 | 8642 | 7531 | 358 | 3951 | 2696098 |
| 96421 | 8753 | 6421 | 247 | 3951 | 1585987 |
| 96521 | 8743 | 6521 | 257 | 3951 | 1675897 |
2)5桁の数字を90000−α、4桁の数字を9000＋βとして、
(90000−α)(9000＋β)＝810,000,000＋9000(10β−α)−αβ
より、10β−αを最大にして、αβを最小にすればよい。
| 5桁 | 4桁 | α | β | 10β−α | αβ |
| 86421 | 9753 | 3579 | 753 | 3951 | 2694987 |
| 86431 | 9752 | 3569 | 752 | 3951 | 2683888 |
| 86521 | 9743 | 3479 | 743 | 3951 | 2584897 |
| 86531 | 9742 | 3469 | 742 | 3951 | 2573998 |
| 87521 | 9643 | 2479 | 643 | 3951 | 1593997 |
| 87531 | 9642 | 2469 | 642 | 3951 | 1585098 |
どのようにしても、
α−10βまたは10β−αを3951より大きくすることは出来ない？
上記よりαβが最小なのは、
87531×9642でこれが求める答えです。
◆神奈川県 みき ひろひと さんからの解答。
【問題１−１】
１２４＋６５９＝７８３
【問題１−２】
３５２＋４６７＝８１９
解法はよくわかりません・・・
とにかくゴリゴリと計算しました
【問題２】
最小：
９−８×７×６×５×４×３×２−１＝−４０３１２
最大：
９×８×７×６×５×４×３×２＋１＝３６２８８１
まあ、答えを一番大きくするのは掛け算ですから。
あとは最後の「１」の始末をしてと
【問題３】
８７５３１×９６４２＝８４３９７３９０２
◆東京都 じっさん さんからの解答。
【問題１−１】
１２４＋６５９＝７８３
１２４＋ａｂｃ＝ｄｅｆとおく。
０，１，２，４はもう使えない。
十の位が繰り上がる（ｂ＞ｅ）とすると、
ｂ＝９（最大）でもｅは０，１，２のどれかとなり、不適当。
従って、十の位は繰り上がらない。
次に一の位に着目する。
（ｃ，ｆ）＝（３，７），（５，９），（９，３）の３通りしかなく、
繰り上がるのは（９，３）の場合のみ。
(i)ｃ＝３，ｆ＝７の場合
残った数は５，６，８，９。
一の位も十の位も繰り上がらないので、
１＋ａ＝ｄかつ２＋ｂ＝ｅ。
ａ，ｄ，ｂ，ｅが異なるので、解はない。
(ii)ｃ＝５，ｆ＝９の場合
残った数は３，６，７，８。
一の位も十の位も繰り上がらないので、
１＋ａ＝ｄかつ２＋ｂ＝ｅ。
ａ，ｄ，ｂ，ｅのどれも３にはなれないので、解はない。
(iii)ｃ＝９，ｆ＝３の場合
残った数は５，６，７，８。
一の位は繰り上がる。
十の位は繰り上がらないので、
１＋ａ＝ｄかつ２＋ｂ＋１＝ｅ。
ｂ＝５，ｅ＝８，ａ＝６，ｄ＝７のみ解がある。
【問題１−２】
３５２＋４６７＝８１９
３５２＋ａｂｃ＝ｄｅｆとおく。
０，２，３，５はもう使えない。
一の位が繰り上がる（ｃ＞ｆ）とすると、
ｃ＝９，ｆ＝１のみ解がある。
この場合、十の位は（ｂ，ｅ）＝（８，４）しかなく、残りの６，７をａとｄに当てはめても答えにならない。
従って、一の位は繰り上がらない。
すると、十の位は
（ｂ，ｅ）＝（１，６），（６，１），（４，９），（９，４）のどれかとなる。
このうち、（４，９）または（９，４）の場合、残りは１，６，７，８であり、ａ，ｄ，ｃ，ｆのどれに１を当てはめても解がないので、不適当。
(i) ｂ＝１，ｅ＝６の場合、
残った数は４，７，８，９
３＋ａ＝ｄ、ｃ＋２＝ｆ。
ａ，ｄ，ｃ，ｆが異なる数なので、解はない。
(ii)ｂ＝６，ｅ＝１の場合、
残った数は４，７，８，９
３＋ａ＋１＝ｄ、ｃ＋２＝ｆ
ａ＝４，ｄ＝８，ｃ＝７，ｆ＝９のみ解がある。
【問題２】
−４０３１２
最初の９はマイナスにできない。
２以上の数の場合、掛け算が１番大きな数になる。
それを引けば良い。
１は掛け算に入れず、引き算にした方が小さくなる。
９−８×７×６×５×４×３×２−１
＝−４０３１２が最小となる。
【問題３】
８４３９７３９０２
ａｂｃｄｅｆｇｈ×ｉよりもａｂｃｄｅｆｇ×ｉｈの方が
（ａｂｃｄｅｆｇ−ｉ）ｈだけ大きな数になる。
このように、できるだけ２数の桁数は同じ（奇数個の場合は差が１個）にした方が大きな数になるので、５桁と４桁の数にする。
ａｂｃｄｅ×ｆｇｈｉとおく。
答えは、
１０００００００×ａｆ １００００００×（ａｇ＋ｂｆ） １０００００×（ａｈ＋ｂｇ＋ｃｆ） １００００×（ａｉ＋ｂｈ＋ｃｇ＋ｄｆ） １０００×（ｂｉ＋ｃｈ＋ｄｇ＋ｅｆ） １００×（ｃｉ＋ｄｈ＋ｅｇ） １０×（ｄｉ＋ｅｈ） １×ｅｉの合計となる。
上の桁の方が効果があるので、
ａとｆが９と８（順不同）
ｂとｇが７と６（順不同）
ｃとｈが５と４（順不同）
ｄとｉが３と２（順不同）
ｅが１
となる組み合わせが積が１番大きくなると想像できる。
ａｂｃｄ１×ｆｇｈｉ
＝ａｂｃｄ×ｆｇｈｉ×１０＋ｆｇｈｉ
なので、ｆｇｈｉ＞ａｂｃｄの方が大きな数となる。
従って、ａ＝８，ｆ＝９。
８ｂｃｄ１×９ｇｈｉ ＝８０００１×９０００＋ｂｃｄ×ｇｈｉ×１０＋８０００１×ｇｈｉ＋９０００×１０×ｂｃｄなので、ｂｃｄ＞ｇｈｉの方が大きな数となる。
従って、ｂ＝７，ｇ＝６。
８７ｃｄ１×９６ｈｉ ＝８７００１×９６００＋ｃｄ×ｈｉ×１０＋８７００１×ｈｉ＋９６００×１０×ｃｄなので、ｃｄ＞ｇｈの方が大きな数となる。
従って、ｃ＝５，ｈ＝４。
８７５ｄ１×９６４ｉ ＝８７５０１×９６４０＋ｄ×ｉ×１０＋８７５０１×ｉ＋９６４０×１０×ｄなので、ｄ＞ｉの方が大きな数となる。
従って、ｄ＝３，ｉ＝２。
従って、
８７５３１×９６４２
＝８４３９７３９０２ が最大である。
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