数学の部屋へもどる◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１】
１＋２＋３−４−５−６−７＋８＋９＝１
１＋２−３−４＋５＋６−７−８＋９＝１
その他、多数。
【問題２】
不可能。
『１』と『ｎ』との間に入っている数字の個数をＡ(n)
『ｎ−１』と『ｎ』との間に入っている数字の個数をＢ(n)とする。
＜ａ＞
『１』と『２』の間には奇数個の数字が入っている。
よって、『１』の隣には『２』はありえない。
＜ｂ＞
『１』と『ｎ』の間に、奇数個の数字が入っているとき、
【ｎは自然数、２≦ｎ≦８】
＜ア＞『ｎ＋１』が『１』と『ｎ』との間にあるとき、
Ａ(n)＝Ａ(n+1)＋１＋Ｂ(n+1)
＜イ＞『ｎ＋１』が『ｎ』より『１』から遠いところにあるとき、
Ａ(n+1)＝Ａ(n)＋１＋Ｂ(n+1)
＜ウ＞『ｎ＋１』が『１』より『ｎ』から遠いところにあるとき、
Ｂ(n+1)＝Ａ(n+1)＋１＋Ａ(n)
今、Ａ(n),Ｂ(n+1)は奇数であるから、Ａ(n+1)も奇数である。
よって、『ｎ＋１』も『１』の隣にはなり得ない。
＜ａ＞、＜ｂ＞より、『１』の隣に入るべき数字が存在しないので、題意を満たす数列は存在しない。
【問題３】
１，２，３，４，６，７，８，９の全てで割り切れる数字とは、最小公倍数５０４で割り切れる数字である。
答え １，１２３，４４９，７６８
＜説明＞
『９の倍数である』は『各桁の合計が９の倍数である』と同値なので、
求める数は１，１２３，４４６，７８９以上である。
そこで５０４の倍数を下から順番に調べました。
【某表計算ソフト使用】
ちょっと、ずるいです。ごめんなさい。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
6＝1*2*3、9＝4+5、1＝8-7 に気が付けばできます。
1*2*3+4+5-6-7+8-9=1
または
1*2*3-4-5-6-7+8+9=1 が求める答えです。
【問題２】
1〜9までの数字を並べたものを、隣り合う2つの数字の間に数字を奇数個しか入れられないので、
〇△〇△〇△〇△〇
で表します。
最も効率よく並べるには、
まず、〇が1から9まで順に並べたときの連続した5つの数字であればよい。
次に、残りの4つの数字を△に入れれば良い。1)12345 6789
2)1 23456 789
3)12 34567 89
4)123 45678 9
5)1234 56789
パターンは上記5通りしかありません。
ここで、連続した5つの数字とそれ以外の4つの数字でも必ず連続している関係が少なくとも1つありますが、上の〇と△の図では、〇と△の間には必ず数字が偶数個入るので題意を満たしません。
従って不可能です。
【問題３】
1,2,3,4,6,7,8,9 で割りきれるので、
2×3×4×7×3＝504 で割りきれます。
また、9で割りきれるので各位の桁の和が9で割りきれます。
9、1+8＝9、2+7＝9、3+6＝9 で
残り4+5＝9なのですが、5がないので1+4または2+3で代用することにします。
この場合1+4で代用することにします。
(1,4の並びであれば小さいので)
結局用いる数字は、1,2,3,4,6,7,8,9,1,4 としてこれらの数字を使用して最も小さい数字を作ってみます。
1123446789 となり、
1123446789÷504＝2229061.089・・・ で、
2229061×504＝1123446744 となります。
これに、504の倍数を加算していくと、
1123446744＋(504×6)＝1123446744＋3024＝1123449768 と求める数字がえられます。
[検算]
1123449768÷1＝1123449768
1123449768÷2＝ 561724884
1123449768÷3＝ 374483256
1123449768÷4＝ 280862442
1123449768÷6＝ 187241628
1123449768÷7＝ 160492824
1123449768÷8＝ 140431221
1123449768÷9＝ 124827752
で1,2,3,4,6,7,8,9で割りきれます。
【感想】
問題３は「504」という数字にこだわった結果とりあえずこのようになりましたが、最小かどうかは自信がありません。
504の倍数を加算していって見つかったのは偶然の産物としか言いようがありません。
◆神奈川県 ひろ さんからの解答
【問題１】
１×２−３×４×５−６＋７×８＋９＝１
◆岩手県 ＲＹＯＴＡ さんからの解答
【問題１】
１÷２×３×４−５−６＋７＋８−９＝１
÷をどうするかでけっこう考えましたが、２で割るしかないかと思ったらできました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
１＋２−３×４×５÷６＋７−８＋９＝１
【問題３】
１＋２＋３＋４＋６＋７＋８＋９＝４０
９の倍数であるための各桁の和の最小は４５でなければならない。
４５−４０＝５
５は使えない。
５＝１＋４
５＝２＋３
したがって題意を満たすためには少なくとも１０桁の数でなければならない。
候補として可能性のある数のうち、最小の数は、
１１２３４４？？？？。？は６，７，８，９の数。
９で割り切れかつ２で割り切れれば、３，６でも割り切れる。
８で割り切れれば、４，２で割り切れる。
１の位の数は６または８でなければならない。
●下４桁の数
７８９６ ６７９８
７９８６ ６９７８
８７９６ ７６９８
８９７６ ７９６８
９７８６ ９６７８
９８７６ ９７６８
●８で割り切れるもの。
７８９６ ７９６８
８９７６ ９７６８
１１２３４４７８９６÷７＝１６０４９２５５６．．．４
１１２３４４７９６８÷７＝１６０４９２５６６．．．６
１１２３４４８９７６÷７＝１６０４９２７１０．．．６
１１２３４４９７６８÷７＝１６０４９２８２４
答え １１２３４４９７６８。
問題１は入学試験の時間内ではとても解けません。
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題２】
９個のマスを黒，白，黒，白，黒，白，黒，白，黒と塗り分ける。
まず，黒のマスの１つに，１を入れる。
奇数個のマスをとばして，２を入れるわけだから，やはり黒のマスに入れることになる。
以後，すべての数を黒のマスに入れることになるが，不可能であることは明らか。
１を白のマスに入れても，同様に不可能。
また，数字の個数に関係なく不可能。
［間が偶数個の場合］も考えてみました。
（ただし，０は偶数とみなしません。でないと，そのまま並べて終わりですから）
数字が１〜６個の場合 不可能。
７個の場合 ３６１４７２５
８個の場合 ３６１４７２５８
９個の場合 ９６３８５２７４１
「１〜Ｎの数が書いてあるＮ個の玉（Ｎ≧７）があって，連続する数の書いてある玉の間に偶数（２以上）個の玉があるようにできるか。」
と拡張した場合も，帰納的に証明可能と思いますが，どうでしょうか。
【問題３】
［答］ １１２３４４９７６８
８，９で割りきれれば，１，２，３，４，６で割り切れるから，７，８，９の倍数にすればよい。
１〜９までの和は４５で，９の倍数であるが，「５」が抜けているので，９の倍数にするため，数字の和が５になる数字を補う必要がある。
１つの数字では無理。
２つの数字場合，（１，４）または，（２，３）が考えられるが，
11********の方が12*******より小さいので，
まず，（１，４）を補って考える。
１１２３４４（６７８９）で，下３桁が８の倍数になるような（ ）内の４桁の数は
７８９６，７９６８，
８９７６，９７６８ の４個
ここまでの条件で最小の数は
１１２３４４７８９６
しかし，７の倍数ではない
次に小さいのは
１１２３４４７９６８
しかし，７の倍数ではない
次に小さいのは
１１２３４４８９７６
しかし，７の倍数ではない
次に小さいのは
１１２３４４９７６８
これは，７で割り切れる。
（７の倍数の性質をうまく使う方法があるのかもしれないが，思いつかなかった）
◆千葉県 ikeさんからの解答
【問題１】
（＋、−のみを使用）
考え方
１＋２＋３＋４＋５−６−７＋８−９
１＋２＋３＋４−５＋６＋７−８−９
１＋２＋３−４−５−６−７＋８＋９(※途中負数発生)
１＋２−３＋４−５−６＋７−８＋９(※途中負数発生)
１＋２−３−４＋５＋６−７−８＋９(※途中負数発生)
１＋２−３−４＋５−６＋７＋８−９(※途中負数発生)
１−２＋３＋４−５＋６−７−８＋９(※途中負数発生)
１−２＋３＋４−５−６＋７＋８−９(※途中負数発生)
１−２＋３−４＋５＋６−７＋８−９(※途中負数発生)
１−２−３＋４＋５＋６＋７−８−９(※途中負数発生)
１−２−３−４＋５−６−７＋８＋９(※途中負数発生)
１−２−３−４−５＋６＋７−８＋９(※途中負数発生)
（＋、−、×を使用）
１×２×３＋４＋５−６−７＋８−９ １×２×３＋４−５＋６＋７−８−９
（全て使用）
１−２＋３×４×５÷６−７＋８−９(※途中負数発生)
◆東京都 Asami さんからの解答
【問題１】
１＋２＋３−４−５−６−７＋８＋９
(うーん。＋,−だけではセンスないかも？)
【問題２】
数の置かれている“座標”を左から
1,2,3,4,5,6,7,8,9とする。
例えば数が157432986と並んでいたとしたら
数“9”は座標“7”の位置にあることになる。
さて、題意のように、どの連続する２数の間にも奇数個の数が存在するように並べる事ができたとすると、これは連続する２数の座標の差が偶数であることと同値であり、
さらに(χ−ｙ≡０,ｙ−ｚ≡０⇒χ−ｚ≡０(mod２)に注意して)、任意の２数の座標の差が偶数であることと同値である。
従って９個すべての数の座標は(2,4,6,8)または(1,3,5,7,9)のどちらかでなければならないが、高々５つの座標に対して９個の数があるので、もはや不可能である。
【問題３】
１１２３４４９７６８
◆愛知県の中学校３年生 木村 友昭 さんからの解答
【問題１】
＋と−だけで全256通りあるパターンのうち、答えが1になるのは12通りありました。
１＋２＋３＋４＋５−６−７＋８−９＝１ １＋２＋３＋４−５＋６＋７−８−９＝１ １＋２＋３−４−５−６−７＋８＋９＝１ １＋２−３＋４−５−６＋７−８＋９＝１ １＋２−３−４＋５＋６−７−８＋９＝１ １＋２−３−４＋５−６＋７＋８−９＝１ １−２＋３＋４−５＋６−７−８＋９＝１ １−２＋３＋４−５−６＋７＋８−９＝１ １−２＋３−４＋５＋６−７＋８−９＝１ １−２−３＋４＋５＋６＋７−８−９＝１ １−２−３−４＋５−６−７＋８＋９＝１ １−２−３−４−５＋６＋７−８＋９＝１
◆東京都 じっさん さんからの解答
【問題１】
まず、+ と - だけで 1 にする場合を考えます。
1 から 9 の合計は 45 なので、これを +23 と -22 に分ければ合計が 1 となります。
ただし、最初の 1 はマイナスにできません。
2 から 9 で、合計を 22 にする方法は、9+8+5 など、12 通りありました。
その他、あてずっぽうでいくつか見つけました。
見つかった答えを全て載せます。
他にもあるはずです。
1+2+3+4-5+6+7-8-9=1 1-2-3+4+5+6+7-8-9=1 1+2+3+4+5-6-7+8-9=1 1-2+3-4+5+6-7+8-9=1 1-2+3+4-5-6+7+8-9=1 1+2-3-4+5-6+7+8-9=1 1-2+3+4-5+6-7-8+9=1 1+2-3-4+5+6-7-8+9=1 1+2-3+4-5-6+7-8+9=1 1-2-3-4-5+6+7-8+9=1 1+2+3-4-5-6-7+8+9=1 1-2-3-4+5-6-7+8+9=1 1*2-3*4*5+6*7+8+9=1 1*2-3*4*5-6+7*8+9=1 1*2-3*4*5-6-7+8*9=1 1-2+3*4*5/6-7+8-9=1 1+2-3*4*5/6+7-8+9=1 1+2+3*4*5/6*7-8*9=1 1-2-3*4*5/6*7+8*9=1 1*2/3*4*5*6-7-8*9=1 1-2+3/4+5+6*7/8-9=1 1+2-3/4-5-6*7/8+9=1【問題２】
できません。
できると仮定します。
1 が左から奇数番目だった場合、間が奇数個なので、2,3,...9 も左から奇数番目に無ければなりませんが、左から奇数番目は５カ所しか無いので、不可能です。
同様に、1 が左から偶数番目だった場合、2,3,...,9も左から偶数番目に無ければなりませんが、左から偶数番目は４カ所しか無いので、不可能です。
【問題３】
1123449768
1,2,3,4,6,7,8,9のどれでも割り切れる数は、7,8,9 のどれでも割り切れる数と同じです。
9 で割り切れる数は、各桁の数をそのまま足しても 9で割り切れます。
（証明は略します）。
8 で割り切れる数は、（1000 は 8 で割り切れるので、）下３桁が 8 で割り切れます。
1+2+3+4+6+7+8+9=40 で、9 で割り切れるようにするには最低 5 を足さなければなりませんが、問題文により、5 は足せませんので、1 と 4、または 2 と 3 を足します。
従って、（最低）10桁の数となります。
この中で最小の数を探します。
112344で始まるもの（下４桁は 6,7,8,9 が 1 個ずつ）で、7,8 のどちらでも割り切れる数が見つかれば、それが答えになります。
112344/7=16049 あまり 1
ですから、6,7,8,9 を 1 個ずつ使った４桁の数で、下３桁が 8 で割り切れ、
10000を足した数が 7 で割り切れる数を探せばよいことになります。
8 で割り切れるのは
9768,7968,8976,7896 の４つで、
そのうち 10000 を足した数が 7 で割り切れるのは
9768 だけです。
従って、答えは
1123449768 となります
◆新潟県 ぽぽぽ さんからの解答
【問題１】
１＋２＋３＋４−５＋６＋７−８−９
凝った式は考えませんでした。
一番単純なのは、１〜９を全部たすと４５ですから、これを
２３−２２と分解することでしょう。
【問題２】
できません
「理由」
９桁の位置を○×○×○×○×○と印をつけます。
すると、「１」を○の位置に置けば「２」も○の位置に置く必要があります。
以下同様です。
題意を満たす為にはすべての数字が同じ記号の場所に配置される必要があります。
ということは題意を満たすことはできません。
【問題３】
「１１２３４４９７６８」
この数値を求めた過程です（力技です）。
○題意を満たすためには、数値が７、８、９で割れる必要があります。
（１）
まず１２３４６７８９の各数字を全部足すと４０ですから、
９で割れるようにするにはあと５（または１４）足す必要があります。
しかし、「５」は足せませんので、「１」と「４」を足します。
※（２、３）を足さないのは、１をなるべく高い桁に配置した方が小さい数値で作成できるためです。
（２）
「１１２３４４６７８９」の組み合わせで、なるべく上の方の桁を動かさないで、下の方の桁を入れ替えることにより
５６（８×７）で割れるようにします。
（９で割れることは保証されているので）
（３）
地道に入れ替えて該当するかどうかチェックした結果、回答の数字の時に題意を満たすこととなりました。
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