数学の部屋へもどる◆熊本県 小太りおじさん さんからの解答
【問題１】
１３６kg ３人の体重をa,b,c kgとする。
a+b=84(1)
a+c=93(2)
b+c=95(3) なので
(1)＋(2)＋(3)=2a+2b+2c=272より
a+b+c=136kg
【問題２】
Ａ15kg Ｂ20kg Ｃ24kg Ｄ30kg
ペアの和が小さい順に考えると
a+b=35(1)
a+c=39(2) となるから
a=35-b c=b+4。
また、問１の考えを使って
a+b+c+d=89。
ところが
a+d=44(3) か
a+d=45(4) は決まらない。
もし、(3)とすれば
d=b+9 で 35-b＋b+4＋b+9=89 より
b=20.5kg で問題に合わない。
もし、(4)とすれば
d=b+10 で 同様にして計算すると
b=20kg となり、問題にあてはまる。
【問題３】
Ａ47kg Ｂ52kg Ｃ66kg Ｄ78kg
和の３番目と４番目に当たるものは
125と130 か 113と130 かで
４人の和は255kg か 243kg
さらに、113が２番目で130ｇ５番目という組み合わせも考えられて、このときも４人の和は243kg。
255のとき、
255-99=156
255-113=142でともに和がないので没。
ということは、４人の和は243kgにちがいない。
あとは問２と同様にして、面倒だが考え方は単純。
◆東京都 Asami(*_*) さんからの解答。
【問題１−１】
(95＋84＋93)／２＝136
【問題１−２】
Ａ,Ｂ,Ｃそれぞれの体重を便宜上Ａ,Ｂ,Ｃ(Ａ＜Ｂ＜Ｃ)とする
Ａ＋Ｂ＝84
Ａ＋Ｃ＝93
Ｂ＋Ｃ＝95
そしてＡ＋Ｂ＋Ｃ＝136から順次
Ｃ＝52
Ｂ＝43
Ａ＝41
【問題２】
Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ
| ３５ | ３９ | 44,45 | ５０ | ５４ |
| Ａ＋Ｂ＜ | Ａ＋Ｃ＜ | Ａ＋Ｄ Ｂ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
39＋2Ｄ
＝Ａ＋Ｃ＋2Ｄ
＝Ａ＋Ｄ＋Ｃ＋Ｄ
＝{44or45}＋54
Ｄ＝整数（ｋｇ単位）なので、2Ｄは偶数であるから
右辺は45＋54とならねばならない。
よって
| ３５ | ３９ | ４４ | ４５ | ５０ | ５４ |
| Ａ＋Ｂ＜ | Ａ＋Ｃ＜ | Ｂ＋Ｃ＜ | Ａ＋Ｄ＜ | ＜Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
と定まる。
２(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝Ａ＋Ｂ＋Ａ＋Ｃ＋Ｂ＋Ｃ＝118
∴Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝59
∴Ｃ＝24
∴Ａ＝15
∴Ｂ＝20
∴Ｄ＝30
【問題３】
Ａ≦Ｂ≦Ｃ≦Ｄとする。
Ａ＝Ｂであるとすれば
| Ａ＋Ｂ≦ | Ａ＋Ｃ | ＝Ｂ＋Ｃ | |
| ≦Ａ＋Ｄ | ＝Ｂ＋Ｄ≦Ｃ＋Ｄ |
従ってＡ≠Ｂとわかり、
| Ａ＋Ｂ≦ | Ａ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｃ≦ | |
| ≦Ａ＋Ｄ＜ | Ｂ＋Ｄ≦Ｃ＋Ｄ |
Ｂ＝Ｃとすると
| Ａ＋Ｂ＝ | Ａ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｃ≦ | |
| ≦Ａ＋Ｄ＜ | Ｂ＋Ｄ＝Ｃ＋Ｄ |
| Ａ＋Ｂ＜ | Ａ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｃ≦ | |
| ≦Ａ＋Ｄ＜ | Ｂ＋Ｄ＜Ｃ＋Ｄ |
となる。
同様にＣ＝Ｄとすると
| Ａ＋Ｂ＜ | Ａ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ | |
| Ａ＋Ｄ | ≦Ｃ＋Ｄ |
となって矛盾するのでＣ≠Ｄ
よって
| Ａ＋Ｂ | ＜Ａ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｃ＜ | ||
| ＜Ａ＋Ｄ＜ | Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
| ９９ | １１３ | １２５ |
| Ａ＋Ｂ | ＜Ａ＋Ｃ＜ | Ｂ＋Ｃ |
なぜなら２(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝337(＝奇数)となるから。
| １２５ | １３０ | １４４ |
| Ｂ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
【以上、準備】
(T)
| ９９ | １１３ | １２５ |
| Ａ＋Ｂ | ＜Ａ＋Ｃ＜ | Ａ＋Ｄ |
(T−T)
１３０ １４４ Ｂ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄとなるとすれば(125＋99−144)/２＝40(＝Ｄ) しかし、Ａ≦Ｄに反してしまう。
(T−U)
１３０ １４４ Ｂ＋Ｄ＜Ｃ＋Ｄのときはどうだろうか。
Ａ＝47,Ｂ＝52,Ｃ＝66,Ｄ＝78と定まる。…☆
(T)でない場合、(準備も考慮して) 測らなかったペアは
Ａ＋Ｂ,Ａ＋Ｃのいずれかである。……★
(U)
| １２５ | １３０ | １４４ |
| Ｂ＋Ｃ | ＜Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
or
| １２５ | １３０ | １４４ |
| Ａ＋Ｄ | ＜Ｂ＋Ｄ＜ | Ｃ＋Ｄ |
としてよいが、前者は準備から不適。
後者が不適ならＢ＋Ｄ,Ｃ＋Ｄいずれかは測らなかったことになって★に反してしまうから後者に決定！！
結局、
| ９９ | １１３ | １２５ | １３０ | １４４ |
| Ａ＋Ｃ＜ | Ｂ＋Ｃ | ＜Ａ＋Ｄ | ＜Ｂ＋Ｄ | ＜Ｃ＋Ｄ |
or
| ９９ | １１３ | １２５ | １３０ | １４４ |
| Ａ＋Ｂ＜ | Ｂ＋Ｃ | ＜Ａ＋Ｄ | ＜Ｂ＋Ｄ | ＜Ｃ＋Ｄ |
144＋130−113＝2ＤなるＤは存在しないのでダメ。
従って一意的に☆のように定まる。
測らなかったペアは(Ｂ,Ｃ)＝(52,66)
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１−１】
(A,B),(A,C),(B,C)の３つのペアができる。
2(A+B+C)=95+84+93
A+B+C=136
答え １３６ｋｇ
【問題１−２】
A＜B＜Cであるから
A+B=84
A+C=93
B+C=95
A+B+C=136
A=41,B=43,C=52
答え A 41kg B 43kg C 52kg
【問題２】
A＜B＜C＜Dで,A+B+C+D=89
1)A+D>B+C のとき
A+B=35
A+C=39
A+D=45
B+C=44
B+D=50
C+D=54
A=15,B=20,C=24,D=30
2)A+D＜B+C のとき
A+B=35
A+C=39
A+D=44
B+C=45
B+D=50
C+D=54
A=14.5,B=20.5,C=24.5,D=29.5
これらは題意を満たさない。
答え A 15kg B 20kg C 24kg D 30kg
【問題３】
測定しなかったペアの体重をＸｋｇとする。
Ｘは自然数。
９９＋１１３＋１２５＋１３０＋１４４＋Ｘ
＝６１１＋Ｘ
（６１１＋Ｘ）は３で割り切れなくてはならない。
６１１÷３＝２０３余り２
したがってＸは、
Ｘ＝３Ｙ＋１ Ｙは自然数。
（６１１＋（３Ｙ＋１））÷３＝２０４＋Ｙ
これは、４人の体重の合計となる。
（２０４＋Ｙ）−９９＝１０５＋Ｙ
１）１０５＋Ｙ＝１１３ のとき
Ｙ＝８
４人の体重の合計は２１２
２１２−１１３＝９９
２１２−１２５＝８７
２１２−１３０＝８２
２１２−１４４＝６８
この場合は測定値にない数が３つあるので不適。
２）１０５＋Ｙ＝１２５ のとき
Ｙ＝２０
４人の体重の合計は２２４
２２４−１２５＝９９
２２４−１３０＝９４
２２４−１１３＝１１１
２２４−１４４＝８０
この場合は測定値にない数が３つあるので不適。
３）１０５＋Ｙ＝１３０ のとき
Ｙ＝２５
４人の体重の合計は２２９
２２９−１３０＝９９
２２９−１１３＝１１６
２２９−１２５＝１０４
２２９−１４４＝８５
この場合は測定値にない数が３つあるので不適。
４）１０５＋Ｙ＝１４４ のとき
Ｙ＝３９
４人の体重の合計は２４３
２４３−１４４＝９９
２４３−１３０＝１１３
２４３−１１３＝１３０
２４３−１２５＝１１８
この場合は測定値を満たす。
また測定していないペアの体重の合計は１１８。
以上のことから測定値は、以下のようになる。
９９
１１３
１１８（推理による。）
１２５
１３０
１４４
A≦B≦C≦D とする。
1) A+D＜B+C のとき
A+B=99
A+C=113
A+D=118
B+C=125
B+D=130
C+D=144
A=43.5,B=55.5,C=69.5,D=74.5
これらは、整数という題意に適さない。
2) A+D＞B+C のとき
A+B=99
A+C=113
B+C=118
A+D=125
B+D=130
C+D=144
A=47,B=52,C=66,D=78
これらは、整数という題意を満たす。
測定しなかったペアの体重の合計は１１８であるから、この二人の体重は
５２ｋｇと６６ｋｇということになる。
答え ５２ｋｇと６６ｋｇ
◆静岡県 ヨッシー さんからの解答
【問題１】
（９５＋８４＋９３）÷２＝１３６
答え １３６ｋｇ
【問題１−２】
Ａ：１３６−９５＝４１（ｋｇ）
Ｂ：１３６−９３＝４３（ｋｇ）
Ｃ：１３６−８４＝５２（ｋｇ）
【問題２】
４人の体重を、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄで表します。
Ａ＋Ｂ＝３５ Ａ＋Ｃ＝３９
Ｃ＋Ｄ＝５４ Ｂ＋Ｄ＝５０
はすぐわかります。
Ａ＋Ｄ、Ｂ＋Ｃ のいずれかが４４でいずれかが４５ですが、
Ｄ−Ａ
＝（Ｂ＋Ｄ）−（Ａ＋Ｂ）
＝５０−３５
＝１５
Ａ，Ｄともに整数で、差が奇数なので、和も奇数になります。
よって、
Ａ＋Ｄ＝４５ Ｂ＋Ｃ＝４４
和差算により、
Ｄ＝（４５＋１５）÷２＝３０
Ａ＝（４５−１５）÷２＝１５
Ｂ＝３５−１５＝２０
Ｃ＝３９−１５＝２４
答え
Ａ：１５ｋｇ Ｂ：２０ｋｇ Ｃ：２４ｋｇ Ｄ：３０ｋｇ
【問題３】
問題２のように、ペアの体重を小さい順に並べたとき、
１番目と６番目の和、２番目と５番目の和、３番目と４番目の和 は、いずれも等しく、それらは、４人の体重の合計を表しています。
９９＋１４４＝２４３
１１３＋１３０＝２４３
より、残りのペアの体重は
１４３−１２５＝１１８
となり、ペアの体重は、
９９ １１３ １１８ １２５ １３０ １４４４人を軽い順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとし、奇数、偶数を考慮すると、
Ａ＋Ｂ＝９９ Ａ＋Ｃ＝１１３
Ｂ＋Ｃ＝１１８ Ａ＋Ｄ＝１２５
Ｂ＋Ｄ＝１３０ Ｃ＋Ｄ＝１４４
であり、求めるのは、Ｂ，Ｃの体重。
Ｃ−Ｂ＝１１３−９９＝１４
和差算により、
Ｂ＝（１１８−１４）÷２＝５２
Ｃ＝（１１８＋１４）÷２＝６６
答え ５２ｋｇと６６ｋｇ
ちなみに他の２人の体重は、４７ｋｇと７８ｋｇ
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
(問題１−１)
２組ずつのペアの体重を加算すると、A,B,Cの体重がそれぞれ2回ずつ加算されるので
２(A＋B＋C)＝95＋84＋93＝272
よって求めるA,B,C,3人の体重合計は、
272÷2＝136(kg) となります。
(問題１−２)
A＜B＜C より、
A＋B＜A＋C＜B+C なので、
A＋B＝84、A＋C＝93、B＋C＝95 となります。
また、問題１−１より
A＋B＋C＝136 なので
A＝(A＋B＋C)−(B＋C)＝136−95＝41
B＝(A＋B＋C)−(A＋C)＝136−93＝43
C＝(A＋B＋C)−(A＋B)＝136−84＝52
よって求める答えは、
Aは41kg、Bは43kg、Cは52kg となります。
(問題２)
A＜B＜C＜D より、
A＋B＜A＋C＜B＋C＜B＋D＜C＋D となり、
また、A＋C＜A＋D＜B＋D となるので、
B＋CとA＋Dの大小はわからないが、小さい方から3番目、または4番目ということがわかる。
よって、
A＋B＝35
A＋C＝39
B＋D＝50
C＋D＝54 は確定で、
(1)B＋C＝44、A＋D＝45 とすると、
(A＋B)＋(A＋C)＝2A＋(B＋C)＝74 より、
A＝(74−44)÷2＝15 となります。
(2)B＋C＝45、A＋D＝44 とすると、
(A＋B)＋(A＋C)＝2A＋(B＋C)＝74 より、
A＝(74−45)÷2＝14.5 となり、Aが整数なので不適。
以上より、(1)のときとなりますが、このとき
C＝(A＋C)−A＝39−15＝24
B＝(A＋B)−A＝35−15＝20
D＝(B＋D)−B＝50−20＝30
以上より、
A＝15kg、B＝20kg、C＝24kg、D＝30kg となります。
またこれらは、A＜B＜C＜D(A,B,C,Dは整数)を満たしています。
(問題３)
A＋Bが不明なペアとしても一般性を失わない。
わかっている数字が、奇数3個、偶数2個なので
もし、(1)C＋Dが偶数とすると、
(A＋C)＋(A＋D)＋(B＋C)＋(B＋D)
＝奇数＋奇数＋奇数＋偶数
＝奇数 となり、
2(A＋B)
＝(A＋C)＋(A＋D)＋(B＋C)＋(B＋D)−2(C＋D)
＝奇数−偶数
＝奇数 となり、A＋Bが整数でなくなるので、不適となります。
また、(2)C＋Dが奇数とすると、
(A＋C)＋(A＋D)＋(B＋C)＋(B＋D)
＝奇数＋奇数＋偶数＋偶数
＝偶数 となり、
2(A＋B)
＝(A＋C)＋(A＋D)＋(B＋C)＋(B＋D)−2(C＋D)
＝偶数−偶数
＝偶数 となり、A＋Bが整数となります。
以上より、C＋Dが奇数とわかります。
また、
(B＋C)＋(B＋D)＝2B＋(C＋D)で、
C＋Dが奇数なので、(B＋C)＋(B＋D)も奇数
よって、(B＋C)は奇数、(B＋D)は偶数
または、(B＋C)は偶数、(B＋D)は奇数
となります。・・・・・・・・(3)
同様に、
(A＋C)は奇数、(A＋D)は偶数
または、
(A＋C)は偶数、(A＋D)は奇数
となります。・・・・・・・・(4)
よって、
C＋D＝99または113または125 となりますので順次調べてもわかりますが、
113−99＝14、144−130＝14
また、130−99＝31、144−113＝31 より、
C+Dを125にしてみるとあとの合計がうまく調整できそうなのであたりをつけて、
(3)または(4)に注意して組み合わせを考えると、
(5)B＋C＝99、B＋D＝130 ・・・・(5-1) とすると、
C＜Dなのでもう一方の組み合わせは
A＋C＝113、A+D＝144 ・・・・(5-2) となります。
(5-1)より、
(B＋C)＋(B＋D)＝2B＋(C＋D)＝229
B＝(229−125)÷2＝52
よって、C＝47、D＝78 となり、
(5-2)より、A＝66 となります。
以上より、求める答えは
A＝66kg、B＝52kgとなります。
(感想)
問題２まではスムーズにできましたが、問題３は虱潰しにいかなくてもできないかと考えた結果こうなりました。
125が真中になっていたのも案外ヒントになっていました。
◆石川県 Takashi さんからの解答
≪T≫
Ａ、Ｂ、Ｃの体重を、ａ、ｂ、ｃとすると、
【ａ≦ｂ≦ｃ】
３組のペアで体重を測るとき、３人はそれぞれ２回づつ体重計に乗るから、
９５＋８４＋９３＝（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＝１３６
３人の合計から２人のペアの体重を引くと、１人の体重になるから、
１３６−９５＝４１
１３６−８４＝５２
１３６−９３＝４３
ａ≦ｂ≦ｃだから、
ａ＝４１、ｂ＝４３、ｃ＝５２
≪U≫
Ａ、Ｂ、Ｃの体重を、ａ、ｂ、ｃ、ｄとすると、
【ａ，ｂ，ｃ，ｄは自然数 ａ≦ｂ≦ｃ≦ｄ】
今、
| ａ＋ｂ≦ | ａ＋ｃ≦ | ａ＋ｄ | ≦ｂ＋ｄ≦ | ｃ＋ｄ |
| ｂ＋ｃ |
一番軽いペアがａ＋ｂ、
二番目に軽いペアがａ＋ｃ、
一番重いペアがｃ＋ｄ、
二番目に重いペアがｂ＋ｄとなる。
ａ＋ｂ＝３５、ａ＋ｃ＝３９、
ｃ＋ｄ＝５４、ｂ＋ｄ＝５０
よって、ｃ＝ｂ＋４、ｄ＝ａ＋１５…(1)
残りの、ｂ＋ｃとａ＋ｄのどちらかが４４ｋｇ、もう一方が４５ｋｇということになる。
今(1)より、ｂ＋ｃ＝２ｂ＋４、
ｂは整数だから、ｂ＋ｃは偶数である。
ｂ＋ｃ＝４４、ａ＋ｄ＝４５…(2)
(1)(2)より、
ａ＝１５、ｂ＝２０、ｃ＝２４、ｄ＝３０
≪V≫
体重を測らなかったペアの合計体重をχとする。
【χは自然数】
＜z@＞
χ≦９９のとき、
問Uより、ａ＋ｂ＝χ、ａ＋ｃ＝９９、
ｃ＋ｄ＝１４４、ｂ＋ｄ＝１３０
（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）＝２２９
（ａ＋ｄ）＋（ｂ＋ｃ）＝１１３＋１２５＝２４８
したがって、仮定は矛盾している。
＜zA＞
χ=>１４４のとき、z@と同様にして、
（ａ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）＝１１３＋１４４＝２５７
（ａ＋ｄ）＋（ｂ＋ｃ）＝１２５＋１３０＝２５５
したがって、仮定は矛盾している。
＜zB＞
９９＜χ＜１４４のとき、z@と同様にして、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ
＝（ａ＋ｂ）＋（ｃ＋ｄ）
＝９９＋１４４
＝２４３
χ＋１１３＋１２５＋１３０
＝（ａ＋ｃ）＋（ａ＋ｄ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｂ＋ｄ）
＝２（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
χ＋３６８＝４８６
χ＝１１８
逆に、χ＝１１８のとき、
ａ＋ｂ＝９９、ａ＋ｃ＝１１３だから、
ｃ＝ｂ＋１４
ａ＋ｂ＝９９、ｂ＋ｄ＝１３０だから、
ｄ＝ａ＋３１
ｂ＋ｃとａ＋ｄは、１１８か１２５である。
ａ，ｂは自然数だから
ｂ＋ｃ＝１１８、ａ＋ｄ＝１２５
ａ＝４７、ｂ＝５２、ｃ＝６６、ｄ＝７８
答．１１８ｋｇ
◆福島県の中学校２年生 菅波 智春 さんからの解答
【問題１−１】
（A+B）＋（B+C）＋（C+A）＝２７２
２（A+B+C）＝２７２
A+B+C ＝ １３６kg
【問題１−２】
Ｃをｘ、Ｂをｙ、Ａをｚとすると、
ｘ+ｙ=９５
ｘ+Ｚ=９３
ｙ+Ｚ=８４
ｘ=５２ ｙ=４３ ｚ=４１
よって、
Ａは４１kg、Ｂは４３kg、Ｃは５２kg
【問題２】
Ａ＋Ｂ＝３５
Ａ＋Ｃ＝３９
Ｃ＋Ｄ＝５４
Ｂ＋Ｃ＝４４
Ｂ＋Ｄ＝５０
Ａ＋Ｄ＝４５ を解くと、
Ａは１５kg、Ｂは２０kg、Ｃは２４kg、Ｄは３０kg
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１】
表の3つの値は3人の体重の和の2倍になるから、3人の体重の和は
(95+84+93)÷2=136(kg)
【問題１−２】
3人の体重は各々
136-95=41(kg)
136-84=52(kg)
136-93=43(kg)
となり、A,B,Cの順番に軽いから
Aの体重41(kg),Bの体重43(kg),Cの体重52(kg)
『【問題２】及び【問題３】について』
4人がA,B,C,Dの順番に体重が軽くて、
各々の体重がWA,WB,WC,WDであれば、ペアの体重の和について以下の関係式が成立する。
(1)
アWA+WB＜WA+WC＜WA+WD
イWA+WB＜WA+WC＜WB+WC
(2)
アWC+WD>WB+WD>WA+WD
イWC+WD>WB+WD>WB+WC
(3)WA+WDとWB+WCはどちらが大きいかは不明
(3)ペアの体重の和の軽い順番に
W1,W2,W3,W4,W5,W6であるとすると
W1=WA+WB,
W2=WA+WC,
W3={WA+WDとWB+WCの大きくない数}
W4={WA+WDとWB+WCの小さくない数},
W5=WB+WD,
W6=WC+WD が成立する。
よって
W2-W1=W6-W5(=WC-WB)
W3-W2=W5-W4(=WD-WC又はWB-WA)
であり、この関係式が成立しなければ、
W1,W2,W3,W4,W5,W6は ペアの体重の和を小さい順に並べた数列ではないことになる。
【問題２の回答】
『【問題２】及び【問題３】について』のコメントより
WA+WB=35…(1)
WA+WC=39…(2)
WC+WD=54…(3)
WB+WD=50…(4) は常に成立する。
次に
WA+WD=44…(5)
WB+WC=45…(6)
又は
WA+WD=45…(5)´
WB+WC=44…(6)´
[ケース１]
(5)と(6)が成立する場合
(2)-(1)より WC-WB=4
よって2×WC=49となり、WCは整数ではないので、このケースでは回答が存在しない。
[ケース２]
(5)´と(6)´が成立する場合
(2)-(1)より WC-WB=4
よって2×WC=48
WA=15(kg),WB=20(kg),WC=24(kg),WD=30(kg)
【問題３の回答】
（１）体重を計らなかったペアの重さをWとする。
W=118である。
《証明》
[ケース１]
W≦99の時
『【問題２】及び【問題３】について』で説明したように
99-W=144-130,
113-99=130-125が成立しなくてはいけない。
しかし、113-99=130-125は正しくしないので、ケース１はありえない。
[ケース２]
99＜W≦113の時
W-99=144-130,
113-W=130-125が成立しなくてはいけない。
同時に満たすWは存在しないので、ケース２はありえない。
[ケース３]
144＜Wの時
113-99=W-144,
125-113=144-130が成立しなくてはいけない。
しかし、125-113=144-130は正しくないので、ケース３はありえない。
[ケース４]
130＜W≦144の時
113-99=144-W,
125-113=W-130が成立しなくてはいけない。
同時に満たすWは存在しないので、ケース４はありえない。
[ケース５]
125＜W≦130の時
113-99=144-130,
125-113=130-Wが成立しなくてはいけない。
W=118を得るが、
125＜118≦130は成立しないので、ケース５はありえない。
[ケース６]
113＜W≦125の時
113-99=144-130,
W-113=130-125が成立しなくてはいけない。
W=118は113＜118≦125を満たす。
逆に、99,113,118,125,130,144の6つの数列は、
4個のWA,WB,WC,WD
(WA≦WB≦WC≦WD)のペアの数の和で表わされる事を示す。
WA+WB= 99…(1)
WA+WC=113…(2)
WB+WD=130…(3)
WC+WD=144…(4)
WA+WD=118…(5)
WB+WC=125…(6)であれば、
(1)+(2)-(6)より
2×WA=99+113-125=87となり、WAは整数にならない。
次に、(5)、(6)の代わりに
WA+WD=125…(5)´
WB+WC=118…(6)´
であれば、(1)+(2)-(6)´より
2×WA=99+113-118=94となり、
WA=47, WB=52, WC=66, WD=78 が求まり、
99,113,118,125,130,144の6つの数列は、ペアの体重の和を小さい順に並べた数列となる。
以上により、W=118(kg)である事がいえた。
（２）各人の体重について
WB+WC=118かつWB=52, WC=66であるから
各々の体重は52(kg),66(kg)である。
◆東京都 vic.R さんからの解答
【問題１−１】
各人2回ずつ測定することになるので、全測定結果を合計すると、全員の体重の2倍になる
(95+84+93)/2=272/2=136
すなわち、3人全員の体重の合計は136kg
【問題１−２】
１−１の結果により、測定したペア以外の１人の体重はそれぞれ
136-95=41
136-84=52
136-93=43
A＜B＜Cということから
A=41kg, B=43kg,C=52kg
【問題２】
４人であるので、１つのペアを選べば残りも別のペアになる
与えられた６組のペアの測定値から以下のように組あわせれば、その合計が４人全員の合計体重になる
35+54=39+50=44+45=89
(別解 問題１−１と同様に考えると、各人3回となるので
(35+39+44+45+50+54)/3=89
A＜B＜C＜Dであるので
A+B＜A+C＜B+C＜B+D＜C+D
A+B＜A+C＜A+D＜B+D＜C+D
ただし B+CとA+Dとの大小は不明
したがって、
A+B=35, A+C=39,
B+D=50, C+D=54 となる
∴ 2A+(B+C)=74, (B+C)+2D=104
整数であることから、B+Cは偶数
したがって B+C=44
以上から
A=15kg, B=20kg, C=24kg, D=30kg
【問題３】
問題２と同様に考えて、4人の体重は
95+144=113+130=243
未測定のペアは上記で使わなかったペアの測定値と組になっていると考えられるので
243-125=118
これにより、6組のペアの体重は小から
99,113,118,125,130,144
問題２と同様に考えて
A+B=99, A+C=113,
B+D=130, C+D=144 となる
∴ 2A+(B+C)=212, (B+C)+2D=274
整数であることから、B+Cは偶数
したがって B+C=118
以上から
A=47kg, B=52kg, C=66kg, D=78kg
測定しなかったペアはB+Cで
その体重は 52kg, 66kg
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