数学の部屋へもどる◆高知県 CRYING DOLPHIN さんからの解答。
（１）プレイヤーが「丁」と答えるなら、所持金の増減は
（あ）コンピュータが半なら−３０円
（い）コンピュータが丁なら＋２０円
の２通りしかない。
−３０と＋２０を組み合わせて０にするには、−３０と＋２０のパターンの回数の比を
２：３ にすればよい。
勝負をしたのは５回なので、−３０のパターンが２回、＋２０のパターンが３回
…すなわちコンピュータは半を２回、丁を３回言ったことになる
（２）１０の位に注目すると、
所持金が減るときは１か３と奇数、
増えるときは一律２で偶数、
５回勝負した結果は１０の位は６。
奇数は偶数個足さないと偶数にならないので、プレイヤーが負けた回数は偶数。
２回負けたとすると、残り３回は勝っているので、一番損な展開（つまり負けたときは−３０円のとき）でも
−３０×２＋２０×３＝０で不適。
よって負けた回数は４回と決まる。
４回負けたとすると、残り１回は勝ち。
よって、４回負けて６０＋２０＝８０円負けるにはどうしたらよいか考えると、
−３０が２回、−１０が２回であればよい
（小学生だと正式にはつるかめ算で解くのでしょうが、４回というわずかな試行回数を考えれば、数を適当に当てはめた方が早いかもしれませんね）
以上から、展開の１例に次のようなものがあてはまる。
| player | 丁丁丁半半 |
| computer | 丁半半丁丁 |
◆石川県 Takashi さんからの解答。
≪T≫
コンピューターは２回『半』、３回『丁』と言った。
≪U≫
コンピュータ【以下 Ｃ．】と人間【以下 Ｍ．】が同じことを言って、Ｍ．が２０円獲得する回数をｎ、
Ｍ．が『半』、Ｃ．が『丁』と言って、１０円取られる回数をｋとする。
【０≦ｎ≦５,０≦ｋ≦５,ｎ＋ｋ≦５】
すると、Ｍ．から見たときの金額の変化量を、χとすると、
χ＝２０ｎ−１０ｋ−３０（５−ｎ−ｋ）
＝５０ｎ＋２０ｋ−１５０
今、６０円減ったのだから、
５０ｎ＋２０ｋ−１５０＝−６０
ｎ，ｋは整数だから、（ｎ，ｋ）＝（１，２）
言った言葉の例は、
Ｍ．『丁、丁、丁、半、半』
Ｃ．『丁、半、半、丁、丁』
その他、５９通り
◆東京都 Asami(x_x) さんからの解答。
【問題１】
| 私 | ＶＳ | Ｃｏｍ | |
| 丁 | 半 | ………χ回 | |
| 丁 | 丁 | ………ｙ回 |
Ｃomが得る金額について
30χ−20ｙ＝０
χ＋ｙ＝5
これを解いて(χ,ｙ)＝(2,3)………答え
【問題２】
| 私 | ＶＳ | Ｃｏｍ | |
| 丁 | 半 | ………χ回 | |
| 半 | 丁 | ………ｙ回 | |
半 丁 | 半 or 丁 | ………ｚ回 |
Ｃomが得る金額について
30χ＋10ｙ−20ｚ＝60⇔3χ＋ｙ−2ｚ＝6
χ＋ｙ＋ｚ＝5
5χ＋3ｙ＝16
これを満たす非負整数解(χ,ｙ)は(2,2)のみ
ゆえに(χ,ｙ,ｚ)＝(2,2,1)………答え
【おまけ】
簡単のため金額を1/10にする。
Ｃomが確率pで半,1-pで丁を出すように設定されているとする。
私がqで半,1-qで丁を出すとするとＣomの期待値は
−2pq−2(1-p)(1-q)＋q(1-p)＋3(1-q)p
−{8q−5}p＋3q−2………★
q≧5/8のときＣomはp＝0とするのが最良で、
★＝3q−2………@
q＜5/8のときＣomはp＝1とするのが最良で、
★＝−5q＋3………A
ｙ＝3q−2(q≧5/8)とｙ＝−5q＋3(q＜5/8)とのグラフを描けば分かるように
私がq＝5/8で設定すればＣomは良くても−1/8しか(期待値を)得ることが出来ない。
つまり、私は半：丁＝5：3で出せば良いということになる。
【おまけ２】
上記では金額を1/10にしたので10倍する。
少なくとも1/8×10＝1.25円は期待できる。
(Ｃomはp＝3/8で設定すれば損害を少なくできる)
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
私が「丁」で勝った回数をＸ回とする。
コンピュータが勝つのは「半」の場合でその回数をＹ回とする。
引き分けはない。
したがって、以下の方程式が成り立つ。
２０χ＝３０Ｙ．．．．．．１）
χ＋Ｙ＝５．．．．．．．．２）
１）、２）よりχ＝３，Ｙ＝２
私が「丁」でコンピュータに勝つときは、コンピュータが「丁」のときである。
私 ２０×３＝６０ コンピュータ ３０×２＝６０
６０−６０＝０
答え 「丁」３回、「半」２回。
【問題２】
私が「丁」で勝った回数をＷ回、「半」で勝った回数をχ回とする。
コンピュータが「丁」で勝った回数をＹ回、「半」で勝った回数をＺ回とする。
条件 ０≦Ｗ，χ，Ｙ，Ｚ≦５ 引き分けはない。
２０Ｗ＋２０χ＝１０Ｙ＋３０Ｚ−６０
両辺を１０で割る。
２Ｗ＋２χ＝Ｙ＋３Ｚ−６
２Ｗ＋２χ−Ｙ−３Ｚ＝−６．．．．．．．．．１）
Ｗ＋χ＋Ｙ＋Ｚ＝５．．．．．．．．．．２）
２）×２−１）
３Ｙ＋５Ｚ＝１６．．．．．．．．．．．３）
Ｙ＝（１６−５Ｚ）／３
条件を満たすＹ，Ｚの整数解は、
（Ｙ＝２，Ｚ＝２） 以外にない。
そうなると、Ｗ＋χ＝１
条件を満たすＷ，χの整数解は、
（Ｗ＝０，χ＝１）または （Ｗ＝１，χ＝０）
イ）
| 私 | コンピュータ | ||
| 「半」 | 「半」 | 私の勝ち | ２０円 |
| 「半」 | 「丁」 | コンピュータの勝ち | １０円 |
| 「半」 | 「丁」 | コンピュータの勝ち | １０円 |
| 「丁」 | 「半」 | コンピュータの勝ち | ３０円 |
| 「丁」 | 「半」 | コンピュータの勝ち | ３０円 |
２０−（１０＋１０＋３０＋３０）＝−６０
ロ）
| 私 | コンピュータ | ||
| 「丁」 | 「丁」 | 私の勝ち | ２０円 |
| 「半」 | 「丁」 | コンピュータの勝ち | １０円 |
| 「半」 | 「丁」 | コンピュータの勝ち | １０円 |
| 「丁」 | 「半」 | コンピュータの勝ち | ３０円 |
| 「丁」 | 「半」 | コンピュータの勝ち | ３０円 |
２０−（１０＋１０＋３０＋３０）＝−６０
順番まではわからないが、勝敗のパターンはイ）、ロ）の２つの場合が予想される。
【おまけ】
私の所持金の期待値をKとする。
コンピュータが「丁」を出す確率をAとする。
私が「丁」を出す確率をBとする。
０≦A,B≦1
K=20*B*A+20*(1-B)*(1-A)-30*B*(1-A)-10*(1-B)*(1-A)
=80*A*B-30*A-50*B+20
=(80*A-50)*B-30*A+20
したがって、コンピュータは
「丁」：「半」＝５：３ で手を決めるのが最善です。
コンピュータの作戦はわからないので
（最善は「丁」：「半」＝５：３ではあるが）、
K=80*A*B-30*A-50*B+20
=(80*B-30)*A-50*B+20
80*B-30=0
B=3/8、K=1.25
私は「丁」：「半」＝３：５で手を決めればいい。
こうすれば、コンピュータがどの割合で「丁」、「半」を出しても、少なくとも
Ｋ＝１．２５となる。
「丁」：「半」の関係がちょうど逆になる。
この関係を押さえておけば、コンピュータが確変（パチンコで言う）のアルゴリズムを採用しても、回数を多くすれば私は、コンピュータに勝てる。
◆三重県の中学校２年生 セイコ さんからの解答
【問題１】
| 私 | コンピュータ | |
| １回目 | 丁 | 半（−３０円) |
| ２回目 | 丁 | 半（−３０円) |
| ３回目 | 丁 | 丁（＋２０円） |
| ３回目 | 丁 | 丁（＋２０円） |
| ３回目 | 丁 | 丁（＋２０円） |
| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ | ||
| 計 | ０円 | |
【問題２】
| 私 | コンピュータ | |
| １回目 | 丁 | 丁（＋２０円） |
| ２回目 | 半 | 丁（−１０円） |
| ３回目 | 丁 | 半(−３０円） |
| ３回目 | 半 | 丁（−１０円） |
| ３回目 | 丁 | 半（−３０円） |
| ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ | ||
| 計 | −６０円 | |
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
(問題１解答)
人間が丁しか言わないので、1回の勝負では(-30)または(+20)しかないので
(-30)・2＋(+20)・3＝0 なので
コンピュータは半2回、丁3回言ったことになる。
(問題２解答)
人間が丁でコンピュータが半と言った回数をχ、
人間が半でコンピュータが丁と言った回数をｙ、
人間が丁(または半)でコンピュータが丁(または半)と言った回数をｚ とすると
(-30)・χ＋(-10)・ｙ＋(+20)・ｚ＝-60・・・・・(1)
かつ
χ＋ｙ＋ｚ＝5・・・・・(2)
が成り立ちます。
(1),(2)よりｚを消去して、
5・χ＋3・ｙ＝16
となり、この不定方程式を0≦χ,ｙ≦5で解くと、
χ＝2、ｙ＝2 が得られ、(2)よりｚ＝1 が得られる。
よって、5回の勝負のうち
人間が丁でコンピュータが半と言った回数は2回、
人間が半でコンピュータが丁と言った回数は2回、
人間が丁(または半)でコンピュータが丁(または半)と言った回数は1回となります。
(感想)
今回の問題と全然関係ありませんが、昔、会社の研修で、「人間はどのくらいの確率があったら一番目標にむかって進もうとするか。要するにやる気になるか。」ということで、実は20%でも70%でもなく、50%なのだということを聞きました。
いちかばちかのぎりぎりの状態がやはり人間を一番熱くさせるようです。
そこで私は、今でも賭博の王様はやはり昔からの丁半賭博だと思っています。(笑)
(おまけ１および２)
| コンピューター | |||
|---|---|---|---|
| 丁 | 半 | ||
| 人 間 | 丁 | ＋20 | −30 |
| 半 | −10 | ＋20 | |
なので、人間が丁を言う確率をｐ、コンピュータが丁を言う確率をｑとして、期待値(E)を計算すると、
E＝(+20)・ｐｑ＋(-30)・ｐ(1−ｑ)＋(-10)・ｑ(1−ｐ)＋(+20)・(1−ｐ)(1−ｑ)
＝80ｐｑ−50ｐ−30ｑ＋20
＝80(ｐ−3/8)(ｑ−5/8)＋5/4
となる。
ここでｑが0≦ｑ≦1のいかなる値であっても、
ｐ＝3/8とすればE＝5/4 となる。
長期的に最も有利に戦うためには、手堅い戦法で行くのが良い。要するに
「少なくとも、○以上の得である。」
または、
「多くとも、△以下の損である。」
を考えて、ｐ＝3/8とすれば、1回につき5/4ずつ得が見こめるので人間が有利となる。
従って人間が丁・半を言う割合は、
丁：半＝3/8：(1−3/8)＝3：5
要するに、丁3、半5の割合で言えば良い。
このとき１回あたりの期待値は5/4となる。
◆北海道 Miki Sugimoto さんからの解答
| コンピューター | |||
|---|---|---|---|
| 丁 | 半 | ||
| 私 | 丁 | ＋20 | −30 |
| 半 | −10 | ＋20 | |
さて、ここから本題へと入ります。
【問題１】
連立方程式
(丁)＋(半)＝５
−20×(丁)＋30×(半)＝０
をとくと、(丁)＝３, (半)＝２.
【問題２】
−60＝−ａ＋ｂ
(ａ＞０ は10の倍数, ｂ＞０ は20の倍数)とおく。
・ｂ≧40 のとき、
既に両者の丁半が２回以上一致している。
またこのとき、ａ≧100 にもなるので、両者の丁半が４回以上一致しない。
これは、５回勝負という仮定に矛盾。
・ｂ＝０ のとき、
ａ＝60 であるが、
χ＋ｙ＝５
10χ＋30ｙ＝60
を満たす自然数χ, ｙは存在しないので、不適。
・ｂ＝20 とする。
このとき、両者の丁半が一致する回数は１回。
また、ａ＝80 より、この両者の４対戦は、
| 私 | 丁 | 丁 | 半 | 半 |
| コ | 半 | 半 | 丁 | 丁 |
と、順序を除いて一意になる。 (適)
よって、結論は以下の通り。
| 私 | 丁 | 丁 | 半 | 半 | 丁 |
| コ | 半 | 半 | 丁 | 丁 | 丁 |
または、
| 私 | 丁 | 丁 | 半 | 半 | 半 |
| コ | 半 | 半 | 丁 | 丁 | 半 |
以下、「おまけ」については、コンピューターの出す丁半の確率が判明しているものとする。
それを、(丁):(半)＝ｃ:(１−ｃ) とおく。 (０≦ｃ≦１)
【おまけ１＆２】
ｃをひとつ固定して考え、私の丁半の確率を、
(丁):(半)＝ｍ:(１−ｍ) とおく。 (０≦ｍ≦１)
| コンピューター | |||
|---|---|---|---|
| 丁 | 半 | ||
| 私 | 丁 | ｃｍ | ｍ(１−ｃ) |
| 半 | ｃ(１−ｍ) | (１−ｃ)(１−ｍ) | |
このとき、もらえるお金の期待値をＥ(ｍ)とおくと、
Ｅ(ｍ)
＝20{ｃｍ＋(１−ｃ)(１−ｍ)}−10ｃ(１−ｍ)−30ｍ(１−ｃ)
＝(80ｃ−50)ｍ＋(−30ｃ＋20).
Case i)
80ｃ−50＞０ (i.e., ｃ＞５/８) のとき、
ｍ＝１ のとき、Ｅ(ｍ)は最大値をとる。
Ｅ(１)＝50ｃ−30.
Case ii)
80ｃ−50＜０ (i.e., ｃ＜５/８) のとき、
ｍ＝０ のとき、Ｅ(ｍ)は最大値をとる。
Ｅ(０)＝−30ｃ＋20.
Case iii)
80ｃ−50＝０ (i.e., ｃ＝５/８) のとき、
Ｅ(ｍ) (０≦ｍ≦１) は一定値となり、
その値は、Ｅ(ｍ)＝５/４＝1.25.
したがって、ｃ＝５/８ (i.e., 丁:半＝５:３) のとき、一番コンピューターに有利なような気がします。
(それでもなお、私にとって１円余りだけ得ですが。)
さて、問題はコンピューターがどんなもんだか、さっぱりわからないときですが、これは素直に 「常に半！」の方がよさそうな気もします。
それで試した結果、あんまりにもコンピューターが半ばかり出してくるような場合は、作戦を変えて、「常に丁！」とするべきなのかもしれません。
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