『今週の問題』第３回　解答

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

与えられた数の桁の数はすべて１である。

問題１

３３＝３×１１。

１）３で割り切れるのは各桁の数の合計の数が３の倍数のときであるから、桁数は３の倍数のとき。

２）１１で割り切れるのは奇数桁の合計と偶数桁の合計が同じのときであるがら、桁数は２の倍数のとき。

１）、２）を共に満たす最小の桁数は２と３の最小公倍数の桁数のときである。
２，３の最小公倍数は６。
したがって求め数は、１１１１１１です。

答え　１１１１１１。

問題２

３３３３＝３×１１×１０１。

３）１０１×１１＝１１１１。
１，１１，１１１は１０１で割り切れない。
１０１で割り切れる最小の桁数は４桁、４の倍数のときである。

１）、２）、３）を共に満たす最小の桁数は２，３，４の最小公倍数のときである。
２，３，４の最小公倍数は１２。
したがって求める数は１１１１１１１１１１１１です。

答え　１１１１１１１１１１１１。

問題３

３が１個のとき、１は３の倍数個。
３が２個のとき、１は６の倍数個。
３が３個のとき、１は９の倍数個。
　３×３７＝１１１。１１１１１１１１１／３３３＝３３３６６７。
３が４個のとき、１は１２の倍数個。　
３が５個のとき、１は１５の倍数個。
　１１１１１１１１１１１１１１１／３３３３３＝３３３３３６６６６７。
　　　．，．．．．．．．．．．．．．．。
　　　．．．．．．．．．．．．．．．．。　
３がｎ個のとき、１は３ｎの倍数個。 答え　３がｎ個のとき１は３ｎの倍数個。　　　

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

１．答え：１１１１１１

３３＝１１×３です。
１１１・・・１１１のような数で、１１で割り切れる数は
１１，１１１１，１１１１１１，・・・（１が偶数個）

このうち、３で割り切れる数で一番小さい数は１１１１１１。

２．答え：１１１１１１１１１１１１

３３３３＝１１１１×３です。
１１１・・・１１１のような数で、１１１１で割り切れる数は
１１１１，１１１１１１１１，１１１１１１１１１１１１，・・・（１が４の倍数個）

このうち、３で割り切れる数で一番小さい数は
１１１１１１１１１１１１。

３．（１の個数）＝（３の個数）×３

◆東京都　imopy さんからの解答。

基本的には、最小桁を１にするような掛け算を考えます。
すると最初は７であることがわかり、順次同じ作業を繰り返します。


  
　３３　　　３３　　　　　３３　　　　　３３　　　　　　
　　７　　　６７　　　　３６７　　　３３６７　　　　
＿＿＿　　＿＿＿　　　＿＿＿＿　　＿＿＿＿＿
２３１　　２３１　　　２２１１　　１２１１１
　　　　１９８　　　　９９　　　　９９
　　　　＿＿＿＿　　＿＿＿＿＿　＿＿＿＿＿＿
　　　　２２１１　　１２１１１　１１１１１１　　　　　　　　　　　
このときの因数３３６７のうち（３３）部分の一般的性質としては、与えられた数と同じ数字となり、
（６７）部分の一般的性質としては、与えられた数と同じ桁数で、最終桁のみ７である６の連続する与えられた数字と同じ桁数の数字となります。（不思議ですね〜）

１）111111（6桁）　　　 ・・・33×3367

２）111111111111（12桁）・・・3333×33336667

３）これらかもわかるように3333・・・（Ｘ桁）が与えられた場合、
できる11111・・・は3333・・・（Ｘ桁）×3333・・・6667（２Ｘ桁）となるので、
与えられた桁数の3倍の桁数の1111・・・という数字がえられることになります。

◆富山県　ユウ☆ＣＨＡＮさんからの解答。

ふぃ〜、取りあえずぅ割り算してみましょっか

１１１１１１÷３３＝３３６７

おろっ？？楽ぅ〜に完了ぉ〜
んじゃ、この調子で次も割り算でぇ〜

１１１１１１１１１１１１÷３３３３＝３３３３６６６７

あらら？？コレも簡単に解けちゃった
でも、次はぁ〜、どぉすんべかぁ
とにかくぅ、問題１ａｎｄ２の関係でも見てみるですぅ

３が２コ　→　１が６コ
３が４コ　→　１が１２コ

見たカンジ、３が２倍になったら、１も２倍になってるなぁ？？
比例関係でもあるんかなぁ？？
んなら、３が３コの時は・・・１が９コになるハズだけどぉ〜

１１１１１１１１１÷３３３＝３３３６６７

おぉ〜割り切れた
ってコトはぁ・・・比例関係なんやなぁ


  ３が１コ　→　１が３コ
  　　２コ　　　　　６コ
  　　３コ　　　　　９コ
  　　４コ　　　　１２コ
きっと１の個数＝（３の個数）×３だと思う
でも、他の人の回答はきっともっと簡潔なんだろぉ〜ねぇ
ふみゅぅ

◆海外　蓑津 和宏さんからの解答。

1) 111,111

111が３で割れることは分かっていたので、 ３３で割るには 111，111 にしたら整数になるのじゃないかと思い、この答えになりました。

2) 111,111,111,111

同じ事です。 今度は”３” が四つ付いたので、 ”111” も四つ付けただけです。

3) ”111” で ３が割れるのだから、 111，111 で３３．．．というように、”３” がつくたびに”111” を付ければ良い訳です。
すいません、 非数学的で．．． （^^；；

◆千葉県　Lily of the valley さんからの解答。

N=111…111 とすると、
N ≡ 0 (mod.3) より、
N=n
Σ
i=1		111*103(i-1)

(ようするに、1 の個数は 3n 個)

また、N ≡ 0 (mod. k
Σ
i=1		10i-1)
より明らかに、n={3n ≡ 0 (mod.k) なる最小の n}

また、k が 3 の倍数でないとき、
k
Σ
i=1		10i-1
は 3 の倍数ではないことは明らか。
ここで、3 の個数を k, 1 の個数を 3n とすると、
k が 3 の倍数でないとき n=k

◆石川県　☆ゆうさんからの解答。

１）Ａ．３３６７　かな？
２）Ａ．３３３６６７　かな？
３） Ａ．３の数（３３なら２つ、３３３３なら４つ）×３が１の数になると思うのです。

よって、 １）の解き方
２×３＝６　（１は６桁）
１１１１１１／３３＝３３６７

同じように２）の解き方
４×３＝１２　（１は１２桁）
１１１１１１１１１１１１／３３３３＝３３３６６７
と、なるのでは？ちょっと意味不明な文ですが．．．。

◆神奈川県　せいちゃん さんからの解答。

各桁の和が3の倍数なら3で割り切れる。
よって
１１１　は3で割り切れる。
１１１１１１　は33で割り切れる。
１１１１１１１１１は３３３で割り切れる。
１１１１１１１１１１１１は３３３３で割り切れる。

◆岩手県　みきにゃん さんからの解答。

1.111111
2.111111111111
3.111|111|111|111

区切った3桁の1を足すと3になる。

◆京都府　Chikurin さんからの解答。

１．の解答

１１１・・・１１１を33で割るということと
１１１・・・１１１をまず11で割り、その商を3で割ることは同じである。

まず、元の数の桁数が奇数の場合は11で割る時点で割り切れないので考えなくても良い。
次に、元の数の桁数が偶数の場合について考える。
１１１・・・１１１÷１１＝１０１０１０・・１０１０１０と１０が繰り返される。

　さて、この１０１０１０・・１０１０１０を３で割って割り切れるかどうかを判定するには、各位の数を足してその数が3の倍数になっていれば、その数は3で割り切れるという性質を利用する。
その中で最小の数を求めたいので各位の数の和が3になる数、
つまり、１０１０１０が3で割れる最小の数である。
つまり、その11倍、１１１１１１が答えになる。

答え　１１１１１１（6桁）

２．の解答

１．と同様に考えると、１１１１で割り切れるのは元の数の桁数が4の倍数の時である。

答え　１１１１１１１１１１１１（12桁）

３．の解答

答え　（1の個数）＝（3の個数）×３

◆兵庫県　tmさんからの解答。

no.1
a.111111
1の位が1になる3の倍数は3×7＝21
33×7＝231
10の位を1にするために、1の位が8になる3の倍数、
つまり、3×6＝18を見つける。
33×67＝2211

100の位を1にするために、1の位が9になる3の倍数、
つまり、3×3＝9を見つける。
33×367＝12111

同様にして、
33×3367＝11111

no.2

a.111111111111

no.1と、同様。
3333×7＝2333
3333×67＝22311
3333×667＝223111
3333×6667＝22221111
3333×36667＝122211111
3333×336667＝1122111111
3333×3336667＝11121111111
3333×33336667＝111111111111

no.3

3の数×3＝1の数

◆神奈川県　三島　久典さんからの解答。

回答欄に指摘がなかったのでコメントします。

「11..11（１がｎ個）と11..11（１がｍ個）は、直接割算が可能」

[0]
1...1(１がｎ個)＝Rn＝(10n−1)/9
とおく。
(n＝0 のとき、R0＝(100-1)/9＝０）

[1]
33..33＝３×11..11
だから、まず、Rn（１がｎ個）で割り切れるような、
Rm（１がｍ個）のｍの値を調べてみる。

n＜m, m＝pn＋q, 0≦q＜n のとき、
Rm＝Q(n,p)・Rn + Rq
Q(n,p)=10n(p-1)＋10n(p-2)＋...＋102n＋10n＋1
(注：一般に、an−bnについて、このような割算が可能。）

これが余り０となるのは、q＝0 すなわち、ｍがｎで割り切れるときである。

∴ m＝np

[2]
　Q(n,p)
＝10n(p-1)＋10n(p-2)＋...＋102n＋10n＋1
＝10..010..01(1と1の間に0がn-1個、1はp個)

なので、これが３で割り切れるためには、１の個数が３の倍数、
すなわち、ｐ＝3k（k＝1,2, ...）でなければならない。
最小値は、k＝1 のとき。

[1] の結果とあわせると、m＝3n
つまり、33..33(3がn個)で割り切れるような11..11（1がm個）のm の最小値は、m＝3n である。

[3]
Rn＝(10n−1)/9＝1...1(1がn個)
を「repunits」と呼びます。
これは、ｎが合成数のときは自明な因数を持ちますが、ｎが素数のときは、どのような素因数を持つか明らかではありません。

100以下の素数に対する repunits の素因数分解結果は、

◆長野県　深澤　隆英 さんからの解答。

●１

33＝３×11　なので、３を約数にもつから、桁数は３の倍数になる。
(３の約数の判定から）

111＝３×37
111111＝111×1001＝(３×37)×(７×11×13)

よって、
1111111÷33＝７×13×37＝3367

●２

3333＝３×1111＝３×11×101
なので、３を約数にもつから桁数は３の倍数になる。
さらに、101と11を約数にもつから桁数は偶数になる。

111111＝３×７×11×13×37
　111111111111
＝111×1001001001
＝(３×37)×1001×1000001
＝(３×37)×(７×11×13)×101×9901

よって、
111111111111÷3333＝７×13×37×9901＝33336667

●３

１と２から、１の個数は３の個数の３倍になっている。

◆京都府　みなみようへい さんからの解答。

●1．の解答

題意の整数でｎ桁のものをAnとすると、

「Anは3の倍数」⇔「ｎは3の倍数」…(1)
「Anは11の倍数」⇔「ｎは2の倍数」…(2)

であるから、

「Anが33の倍数」⇔「(1)かつ(2)」⇔「ｎは6の倍数」

これをみたす最小のAnは
A6＝111111　…(答)

●2．の解答

1．と同様にして、

「Anは3の倍数」⇔「ｎは3の倍数」…(3)
「Anは1111の倍数」⇔「ｎは4の倍数」…(4)

であるから、

「Anが3333の倍数」⇔「(3)かつ(4)」⇔「ｎは12の倍数」

これをみたす最小のAnは

A12＝111111111111　…(答)

●3．の解答

Anが3Amの倍数のとき、
An／Amにはｎ／ｍ個の1が現われて、その他の桁は全て0だから、

「An／Amは3の倍数」
⇔「ｎ／ｍは3の倍数」
⇔「ｎは3ｍの倍数」…(答)

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