『今週の問題』第23回　解答

◆埼玉県　佐藤　雅勇 さんからの解答。

まず、このコインで１〜９までを表すにはコインが最小何枚必要かを考えます。
（１のコインの枚数、３のコインの枚数）

１＝1枚（1,0）、２＝2枚(2,0)、３＝1枚(0,1)、
４＝2枚(1,1)、５＝3枚（2,1）、６＝2枚（0,2）、
７＝3枚（1,2）、８＝4枚（2,2）、９＝3枚（0,3）

ですので、９以下の数を表現するには、８の４枚が一番多い事が分かります。

　次に、残りの６枚（先ほどの４枚を除いたもの）にもう１枚を足した７枚を１０と２０のコインに必要最小枚数使って表現できる最小の数は、１３０（１０のコイン1枚と２０のコイン6枚）

この１３０と先ほどの８を足した１３８はコインを１１枚使用しないと表現できない最小の数となります。

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答。

まず１ＥＮ、３ＥＮ、１０ＥＮ、２０ＥＮを使って０から９までがそれぞれ最小何枚で表せるかを考えてみます。

１ＥＮ、３ＥＮを使用することになり、それぞれの枚数の組み合わせを(ａ，ｂ)で表すと

数字組み合わせ合計枚数
０→(０，０)合計０枚
１→(１，０)合計１枚
２→(２，０)合計２枚
３→(０，１)合計１枚
４→(１，１)合計２枚
５→(２，１)合計３枚
６→(０，２)合計２枚
７→(１，２)合計３枚
８→(２，２)合計４枚
９→(０，３)合計３枚

となるのでこの中の最大使用枚数は８の時の４枚となります。

従って残りの１０ＥＮおよび２０ＥＮを残り合計６枚まで使用してできる最大のＥＮは
２０ＥＮ×６＝１２０ＥＮとなりますがこのときは上記より１２１ＥＮ〜１２９ＥＮまですべてＯ．Ｋ．です。

次に１３０ＥＮは１０ＥＮおよび２０ＥＮを合計７枚まで使用することになります。

　１０ＥＮ×１＋２０ＥＮ×６＝１３０ＥＮ

そこで１３１ＥＮ以降を考えると上記より１の位が８のとき４枚使用するので合計が

７＋４＝１１枚となって合計が１０枚までという条件を満たさなくなります。

従って求める答えは１３８ＥＮです。

(感想)

この問題は最初かなりとまどいましたが１からシラミつぶしに調べていってこの答えにたどりつきました。
(ということは小学生でも解答可能です。)
しかしもっとうまく考えられないかと思ってこの答えにたどりつきました。
わからない(とっかかりの難しい)問題はやはり具体的にやってみると段々本質がわかってくるような気がします。

おまけの解答

本題と同じように、１ＥＮ、３ＥＮ、１０ＥＮ、２０ＥＮを使って０から９までがそれぞれ最小何枚 で表せるかを考えてみます。

１ＥＮ、３ＥＮを使用することになり、それぞれの枚数の組み合わせを(ａ，ｂ)で表すと

数字組み合わせ合計枚数
０→(０，０)合計０枚
１→(１，０)合計１枚
２→(２，０)合計２枚
３→(０，１)合計１枚
４→(１，１)合計２枚
５→(２，１)合計３枚
６→(０，２)合計２枚
７→(１，２)合計３枚
８→(２，２)合計４枚
９→(０，３)合計３枚

となります。

そこで本題以外に２００ＥＮまでのうち表せないものの個数を求めれば
(２００−表せないものの個数)で答えが求められます。

１〜１２９までは本題のとおりすべて表せます。

１３０以降は１０の位に使用する枚数より以下のようになります。

範囲10の位に
使う枚数		表せないもの個数
１３０〜１３９７１３８１
１４０〜１４９７１４８１
１５０〜１５９８１５５，１５７
１５８，１５９		４
１６０〜１６９８１６５，１６７
１６８，１６９		４
１７０〜１７９９１７２，１７４
１７５，１７６
１７７，１７８
１７９		７
１８０〜１８９９１８２，１８４
１８５，１８６
１８７，１８８
１８９		７
１９０〜１９９１０１９１，１９２
１９３，１９４
１９５，１９６
１９７，１９８
１９９		９

従って表せないものの合計個数は１＋１＋４＋４＋７＋７＋９＝３３
よって求める答えは２００−３３＝１６７通りとなります。

(感想)　本題がわかれば後は数えるだけです。

◆広島県　kazaruss さんからの解答。

答え　１３８ＥＮ

１〜９までの組み合わせは、１と３でできる。
ただし、８＝@＋@＋B＋B　で最高４枚のコインが必要。

１０〜　１９はそれにIを足せばできる。最高５枚。

２０〜　２９は　　　20を足せばできる。最高５枚。

３０〜　３９は　Iと20を足せばできる。最高６枚。

４０〜　４９は　20を２枚足せばできる。最高６枚。

　　………

１００〜１０９は　20を５枚足せばできる。最高９枚。

１１０〜１１９は　I１枚と20を５枚足せばできる。最高１０枚。

１２０〜１２９は　20を６枚足せばできる。最高１０枚。

１３０〜１３７はできるが、１３８はできない。１１枚必要。

ロータスで一覧表を作り、チェックしました。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

題意を満たすためには、一の位の数をつくるのに１EN、３ENを出来るだけ多く使う金額ということになる。

１＝１　　　　　　（１個）　
２＝１＋１　　　　（２個）
３＝３　　　　　　（１個）　
４＝３＋１　　　　（２個）　
５＝３＋１＋１　　（３個）　
６＝３＋３　　　　（２個）
７＝３＋３＋１　　（３個）
８＝３＋３＋１＋１（４個）
９＝３＋３＋３　　（３個）
 
４個　８。
３個　５，７，９。
２個　２，４，６
１個　１，３。
８ENをつくるのに１EN,３ENを１番多く使うことになる。

したがって求める金額は、
（１３７＝２０×６＋１０＋３＋３＋１）の次の１３８ENということになる。

１３８＝２０×６＋１０＋３＋３＋１＋１

これは１１個のコインがないと作れない。

答え　１３８EN。

おまけの問題

１０個のコインで作れない金額は、 １３８　１個

１４８　１個

１５５，１５７，１５８，１５９　４個

１６５，１６７，１６８，１６９　４個

１７２，１７４，１７５，１７６，
１７７，１７８，１７９　　　　　７個

１８２，１８４，１８５，１８６，
１８７，１８８，１８９　　　　　７個

１９１，１９２，１９３，１９４，
１９５，１９６，１９７，１９８，１９９　９個

１＋１＋４＋４＋７＋７＋９＝３３（個）

したがって、作れる金額は、
２００−３３＝１６７

答え　１６７通り。　

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

１の位は８が４枚(1,1,3,3)必要になる他は、すべて３枚以下で作れます。

２０ＥＮを６枚で１２０ＥＮ。
１２１〜１２９ＥＮまでは、作ることが出来、１３０ＥＮを７枚で作れます。
残り３枚で、７ＥＮまで作れ、１３８ＥＮが作れません。

答え　１３８ＥＮ

◆神奈川県　のぉえい さんからの解答。

一の位と十以上の位を分けて考える。
１ENと３EN硬貨の使用枚数ｎで作ることのできる金額(一の位)

ｎ≦１：１，３
ｎ≦２：１，２，３，４
ｎ≦３：１，２，３，４，５，６，７，９
ｎ≦４：１〜１０すべて

１０ENと２０EN硬貨の使用枚数ｎで作ることのできる金額(十以上の位)

ｎ≦７：１０〜１４０すべて
ｎ≦６：１０〜１２０すべて

これより（１EN+3EN，10EN+20EN）＝（４，６）の組み合わせで１３０ENまで隙間無く作ることができる。
１３０EN以上については（３，７）の組み合わせになるが、１３８ENが作れない

∴求める答えは １３８ EN

◆宮城県　あめの さんからの解答。

「最も少ない金額」を求めるため、額面（金額）の小さなコインを多く使うことを考える。
ただし、額面の小さなコインを複数使ったときに、それらが額面の大きなコインで代用できる場合を除く。
すると、以下に示す場合が、コイン１１枚を使った最小の額面である。 

  　１ＥＮ＝２枚
  　３ＥＮ＝２枚
  １０ＥＮ＝１枚
  ２０ＥＮ＝残り（６枚）
1*2 + 3*2 + 10*1 + 20*6 = 138

よって、１３８ＥＮがコイン１０枚で作ることのできない最も少ない金額である。

「おまけの問題」

ある金額を、最も少ないコインの枚数で表すと、２０ＥＮのコイン以外は２０を周期に同じ状態を繰り返す。
それを以下に示す。（左のカッコ内が金額、右が用いるコイン）

[ 1] 1
[ 2] 1,1
[ 3] 3
[ 4] 3,1
[ 5] 3,1,1
[ 6] 3,3
[ 7] 3,3,1
[ 8] 3,3,1,1
[ 9] 3,3,3
[10] 10
[11] 10,1
[12] 10,1,1
[13] 10,3
[14] 10,3,1
[15] 10,3,1,1
[16] 10,3,3
[17] 10,3,3,1
[18] 10,3,3,1,1
[19] 10,3,3,3
[20] 20
上記から、ある金額を表すのに必要なコインの枚数がわかる。

コインが５枚必要：１種類（[18]）
コインが４枚必要：４種類（[8],[15],[17],[19]）
コインが３枚必要：６種類（略）
コインが２枚必要：５種類
コインが１枚必要：４種類

２０ＥＮのコインが９枚ある時（１８０ＥＮある時）、追加するコインは一枚のみである。
よって、金額＝181,183,190,200の４種類のみが表すことができ、
残りの、1 + 4 + 6 + 5 = 16種類は表せない。

同様に、２０ＥＮのコインの枚数を減らしていくとき、表せない金額は以下に示す通りになる。
（左のカッコ内が２０ＥＮコインの枚数、右が表せない金額の種類）

[9] 1 + 4 + 6 + 5 = 16
[8] 1 + 4 + 6     = 11
[7] 1 + 4         = 5
[6] 1             = 1
（注：この時が「おまけ」じゃない問題の答え）

計：16 + 11 + 5 + 1 = 33 通り。

◆静岡県　ぶん さんからの解答。

まず、１の位について考えます。
123456789
111331311333313311333

この表のように、

４枚のコインが必要な金額…８
３枚のコインが必要な金額…５，７，９
２枚のコインが必要な金額…２，４，６
１枚のコインが必要な金額…１，３

となります。

次に、１０の位については、１０ＥＮをa，２０ＥＮをbで表すと、

102030405060708090100
ababbbabbbbbabbbbbbbabbbbbbbbb

110120130140150160170180190200
ab*5b*6ab*6b*7ab*7b*8ab*8b*9ab*9b*10

この表のように、

１０枚のコインが必要な金額…190,200
　９枚のコインが必要な金額…170,180
　８枚のコインが必要な金額…150,160
　７枚のコインが必要な金額…130,140
　６枚以下のコインでできる金額…120EN以下

さて、1の位において４枚のコインが必要な場合(１の位が８の時)、残りは６枚しかないので７枚以上必要な１３０ＥＮ以上は作れません。

＃ということは、作れない最小の金額は １３８ＥＮ！

＠１の位が８の時、１〜２００のうち作れないのは８種類。

１の位において３枚のコインが必要な場合(１の位が５，７，９の時）、 残りは７枚しかないので８枚以上必要な１５０ＥＮ以上は作れません。

＠１の位が５，７，９の時、１〜２００のうち作れないのは６種類。

以下同様に考える。
＠１の位が２，４，６の時、１〜２００のうち作れないのは４種類。
＠１の位が１，３の時、１〜２００のうち作れないのは２種類。

1〜200までのうち作れないのは

　７＋５×３＋３×３＋１×２＝３３種類

＃作れるのは、２００−３３＝１６７種類！

◆大阪府　ai さんからの解答。

１から９までの整数を作るのに最低必要な枚数は４枚。
その中で、４枚必要なのは８だけ。
１０と２０を６枚まで使ってできる数プラス１〜９の数は必ずできる。

したがって、１０と２０を７枚使わなければできない数プラス８が答え。
それは、１３０と１４０があるが、最小を求めるわけだから、１３０。
それプラス８で、答えは１３８。

◆福岡県　中山 さんからの解答。

１ＥＮから９ＥＮを１ＥＮ貨幣と３ＥＮ貨幣を用いて作ると、

１ＥＮ = １ＥＮ貨幣
　　（以下ＥＮ、ＥＮ貨幣省略）
２ = １+１
３ = ３
４ = ３+１
５ = ３+１+１
６ = ３+３
７ = ３+３+１
８ = ３+３+１+１
９ = ３+３+３

１０ＥＮ以上については、１０ＥＮ貨幣、２０ＥＮ貨幣と上記の１〜９ＥＮの組み合わせで作ることができ、８ＥＮで最も多い四枚の貨幣を必要とする。
十枚以上の貨幣を必要とする組み合わせについて考えると、

１０ＥＮ = １０ＥＮ貨幣
　　（以下ＥＮ、ＥＮ貨幣省略）
２０ = ２０
３０ = ２０+１０
４０ = ２０×２
５０ = ２０×２+１０
６０ = ２０×３
７０ = ２０×３+１０
８０ = ２０×４
９０ = ２０×４+１０
１００ = ２０×５
１１０ = ２０×５+１０
１２０ = ２０×６
１３０ = ２０×６+１０

よって、１３０ＥＮではじめて７枚の貨幣を必要とすることから、十枚以上の貨幣を必要とするのは１３８ＥＮである。

『おまけの解答』

同様に１９９ＥＮまでの組み合わせについて考えると、

１４０ = ２０×７
１５０ = ２０×７+１０
１６０ = ２０×８
１７０ = ２０×８+１０
１８０ = ２０×９
１９０ = ２０×９+１０

これより、十枚以内で作ることのできない金額は１３８ＥＮ以外に、 

１４８、

１５５、１５７、１５８、１５９、

１６５、１６７、１６８、１６９、　

１７２、１７４、１７５、１７６、
１７７、１７８、１７９、

１８２、１８４、１８５、１８６、
１８７、１８８、１８９、

１９１、１９２、１９３、１９４、
１９５、１９６、１９７、１９８、１９９
の、合計３３通り。
よって十枚以内で表される金額は、
２００-３３ = １６７通り

◆福岡県　こてめん さんからの解答。

１EN〜９ENを1ENと３ENで表す時、必要なコインの枚数の最小の場合を考える。

１EN--1枚(1EN×１）
２EN--2枚（１EN×２）
３EN--1枚（３EN×１）
４EN--2枚（３EN×１＋１EN×１）
５EN--3枚（３EN×１＋１EN×２）
６EN--2枚（３EN×２）
７EN--3枚（３EN×２＋１EN×１）
８EN--4枚（３EN×２＋１EN×２）
９EN--3枚(3 EN×３）
上記より１ENと３ENを合わせて４枚もっていると、１〜９ENまでは表すことができるとわかる。

すると、残りの６枚を１０ENと２０ENで持つと考えると、
最大１２０EN(20EN×６）。
１２１En〜１２９Enまでは表すことができる。

次に１３０ENは（２０×６＋１０×１）７枚コインが必要。
残りの３枚では８ENを表すことができないから、１３８ENは不可能。

よって、作ることができない最小の金額は１３８EN

[おまけ] 作ることができない金額は何通りあるか調べる。

  1. １３８（１通り）
  2. １４０ENも（２０×７）７枚コインが必要。
    同様にして１４８ENも不可能（１通り）

  3. １５０EN(20×７＋２０×１）８枚コインが必要。
    残りの２枚では
    １５５、１５７、１５８、１５９ENは不可能（４通り）

  4. １６０ENも同様にして、
    １６５、１６７、１６８、１６９ENが不可能。（４通り）

  5. １７０EN（２０×８＋１０×１）９枚コインが必要。
    残りの１枚では
    １７２、１７４、１７５、１７６、１７７、１７８、１７９が不可能（７通り）

  6. １８０ENも同様にして、
    １８２、１８４、１８５、１８６、１８７、１８８、１８９が不可能（７通り）

  7. １９０ENは（２０×９＋１０×１）１０枚コインが必要
    だから、１９１〜１９９まで不可能（９通り）

よって、作ることができない金額は
１×２＋４×２＋７×２＋９＝３３（通り）

作ることができる金額は
２００ー３３＝１６７

　答え　　１６７通り

◆神奈川県　今村 義彦 さんからの解答。

y = a + 3b + 10c + 20d ........................... (1)
z = a + b + c + d ................................ (2)
z ≦ 10 .......................................... (3)

但し、a,b,c,dは0または自然数。

yで表現できない、最小の自然数はいくらか？

これからの解答は、全て整数を扱うものとする。

◎その１

まず、以下のような数の組合せを考える。

f1 = a + 3b
g1 = a + b
g1 ≦ 4
f2 = 10c + 20d
g2 = c + d
g2 ≦ 6

このとき、f1は1から10までの整数と12を表現できる。
また、f2は10から120までの10の倍数を表現できる。

したがって、yは130までの自然数と132を表現できる。

◎その２

ここで、少し設定を変更する。

f1 = a + 3b
g1 = a + b
g1 ≦ 3
f2 = 10c + 20d
g2 = c + d
g2 ≦ 7

とおくと、f1で表現できる数は、
1,2,3,4,5,6,7,9
であり、8を表現できない。
かつ、f1の最大値は9である。
一方、f2は130を表現できる。

したがって、この設定では、yは138を表現できない。

◎その３

その２の設定を少し変更して、

f1 = a + 3b + 10c
g1 = a + b + c
g1 ≦ 4
f2 = 20d
g2 = d
g2 ≦ 6　とおく。

f2は120を表現できる。
かつ、120はf2が表現できる最大の整数である。
f1は1から17まで表現できるが、18を表現できない。
したがって、この設定ではyは138を表現できない。

◎その４

以上の３つの設定以外でも、yを138にすることができない。例えば、

f1 = a + 3b + 10c
g1 = a + b + c
g1 ≦ 5
f2 = 20d
g2 = d
g2 ≦ 5

とした場合、f1は1から34までの整数と36を表現することができる。
138は表現できない。
同様に、g1とg2の設定を変えて行っても、138は表現できない。

◎答え：表現できない数は、138EN

◆埼玉県の中学校３年生　ＭＡＳＴＥＲ さんからの解答。

まず、１ＥＮと３ＥＮで、１の位を作るために１番多く必要なコインの枚数を求めます。


１＝１
２＝１＋１
３＝３
４＝３＋１
５＝３＋１＋１
６＝３＋３
７＝３＋３＋１
８＝３＋３＋１＋１
９＝３＋３＋３
一番多いのは８で４枚です。
次は、１０ＥＮと２０ＥＮで１０の位、１００の位を作ります。
１０ＥＮは２枚で２０ＥＮ１枚分になるので、１０ＥＮは１枚使えば１番多くなります。
残る５枚＋１枚は、２０ＥＮにすればいいわけです。
つまり、答えは、

　２０×６＋１０×１＋３×２＋１×２＝１３８

というわけです。
１３８は、どんなにがんばっても１０枚では作れません。
答えは１３８です。

この問題は、数学の得意な僕にもまあまあの問題でした。
（間違っていたら困りますが）。
またこういう問題を作って欲しいです。

◆埼玉県の中学校３年生　なおちゃん さんからの解答。

答えは、１３８ＥＮです。

まず、１〜９の中の金額を出すと、８が３ＥＮが２つに１ＥＮが２つで計４つで一番多いことがわかる。
次に、１０の位、１００の位で１の位の４をたして１０以上になる数字を求めると、１０の位、１００の位は７つあればよい。
従って、１０，１００の位が７になる数字は、１３０（２０ＥＮが６つ、１０ＥＮが１つ）
よって、答えは１３８です。

◆三重県　ぐぅすか さんからの解答。

１ＥＮから９ＥＮまでと１０ＥＮ，２０ＥＮ，　　３０ＥＮ，・・・で必要なコインの枚数を考え、あとはそれらの組み合わせで考えました。


１ＥＮ→１ＥＮ×１　１枚
２ＥＮ→１ＥＮ×２　２枚
３ＥＮ→３ＥＮ×１　１枚
４ＥＮ→３ＥＮ×１＋１ＥＮ×１　２枚
５ＥＮ→３ＥＮ×１＋１ＥＮ×２　３枚　
６ＥＮ→３ＥＮ×２　２枚
７ＥＮ→３ＥＮ×２＋１ＥＮ×１　３枚
８ＥＮ→３ＥＮ×２＋１ＥＮ×２　４枚
９ＥＮ→３ＥＮ×３　３枚
１０ＥＮ→１０ＥＮ×１　１枚
２０ＥＮ→２０ＥＮ×１　１枚
３０ＥＮ→１０ＥＮ×１＋２０ＥＮ×１　２枚
　　　・
　　　・
　　　・
と順番に枚数をかぞえ、１０ＥＮ未満と１０ＥＮ以上の組み合わせで必要な枚数を確認していくと、
１３８ＥＮのときはじめて

１３０ＥＮ→２０ＥＮ×６＋１０ＥＮ×１　７枚
８ＥＮ→３ＥＮ×２＋１ＥＮ×２　４枚

となり、合計１１枚で１０枚をこえてしまいます。

この要領で確認をすると


１３８
１４８
１５５，１５７，１５８，１５９
１６５，１６７，１６８，１６９
１７２，１７４，１７５，１７６，１７７，１７８，１７９
１８２，１８４，１８５，１８６，１８７，１８８，１８９
１９１，１９２，１９３，１９４，１９５，１９６，１９７，１９８，
１９９
以上の３３通りが１０枚のコインで表せません。
よって、２００−３３＝１６７となり、答えは１６７通りです。

◆長野県　深澤　隆英 さんからの解答。

138EN

最も大きな20EN硬貨を使わず、20EN未満の金額を表すには、最大５枚の1EN，3EN，10ENの硬貨が必要になるので、20EN 硬貨を６枚使用し、残り４枚では表せない金額が出てくる。

その中で最も少ない金額は、138ENとなる。

(137ENは、20EN６枚，10EN１枚，3EN２枚，1EN１枚の計10枚）
(139ENは、20EN６枚，10EN１枚，3EN３枚の計10枚)

◆兵庫県　sinapusu さんからの解答。

Sub a()
'Excel VBAのコードです
Dim i, j, k, L
Dim count(200) As Long
Dim temp

For i = 0 To 10
    For j = 0 To 10 - i
        For k = 0 To 10 - i - j
            For L = 0 To 10 - i - j - k
            temp = 1 * i + 3 * j + 10 * k + 20 * L
            count(temp) = count(temp) + 1
            Next
        Next
    Next
Next
'出力部分
For i = 10 To 200
    Cells(i - 9, 1) = i
    Cells(i - 9, 2) = count(i)
Next
End Sub
ちょっとだけ組合せの求め方で悩みましたが これで十分だと思います。
1列目が金額、2列目がその金額を作れる組合せ数です。

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