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◆熊本県の中学校２年生 維盛 さんからの解答
ａをｂで割った余りｃを、ａ÷ｂ＝Ｒ（ｃ）と表すことにする。
【問題１】
１９９２年から２０００年までの閏年の数は２年なので、その日数は
３６５×８＋２＝２９２２
２９２２÷７＝Ｒ（３）
１９９２年１月１日は水曜日なので、２０００年は、これより３日進んだ土曜日が答えとなる。
答え 土曜日
【問題２】
１００で割り切れる平年からその年＋１００年までの閏年の数は、４の倍数の数が１００から１９９までの間に２５年あり、そのうちその年は含まれないから２４年である。
故に、その日数は
３６５×１００＋２４＝３６５２４
３６５２４÷７＝Ｒ（５）
故に、その年から５日進んだ曜日が、その１００年後の曜日である。
１００で割り切れる閏年からその年＋１００年までの閏年の数は、その年も含まれるので２５年である。
故に、その日数は
３６５×１００＋２５＝３６５２５
３６５２５÷７＝Ｒ（６）
故に、その年から６日進んだ曜日が、その１００年後の曜日である。
答え
２０００年は閏年で、１月１日は土曜日なので、２１００年は金曜日。
２１００年は平年で、１月１日は金曜日なので、２２００年は水曜日。
２２００年は平年で、１月１日は水曜日なので、２３００年は月曜日。
２３００年は平年で、１月１日は月曜日なので、２４００年は土曜日。
２４００年は閏年で、１月１日は土曜日なので、２５００年は金曜日。
【問題３】
【問題２】の結果から分かるように、４００年ごとに、１月１日の曜日は循環する。
故に、２０００年から２４００年までの１００ごとの１月１日の曜日で、ならなかった曜日が答えである。
答え 日曜日、火曜日、木曜日
◆北海道 遊 さんからの解答
400年で日数だけではなく、曜日までそろうことには驚きました。
【問題１】
土曜日
1週間は7日であるため、日数を7で除算した余りの分だけ、曜日が進んでいることを表す。
閏年ではない年の1年は365日であり、
これは365=52×7+1 となることから、曜日が1つ進んでいることを示している。
閏年の場合は、366=365+1=52×7+2となり、曜日が2つ進むことになる。
1992年から2000年までのうち、閏年は1992年、1996年の2つであるから
（2000年1月1日までであるため、2000年は含めない）
{(2000-1992)-2｝×1+2×2=10=1×7+3
今、日=0、月=1、火=2、水=3、木=4、金=5、土=6とすると
1992年1月1日は「3」であるから、2000年1月1日は
3+3=6となることから、土曜日であることが分かる。
【問題２】
2100年：金曜日
2200年：水曜日
2300年：月曜日
2400年：土曜日
2500年：金曜日
西暦が400で割り切れる年を含まない100年間を考える。
この100年間のうち閏年は、
100/4-100/100=24となり、24年あることになる。
よって100年後の曜日は、
(100-24)×1+24×2=124=17×7+5
となることから、5つ進んでいることがわかる。
日=0、月=1、火=2、水=3、木=4、金=5、土=6とすると、
問題１より、2000年1月1日は土曜日である事から、2100年は
6+5=11=1×7+4
また、2000年は閏年であるため、さらに1つ曜日を進めて金曜日となる。
2200年は2100年が金曜日である事から
5+5=10=1×7+3となり、水曜日
同様に
2300年は月曜日
2400年は土曜日
2500年は、2400年が閏年であることを考慮して金曜日となる。
【問題３】
日曜日、火曜日、木曜日の3つ
解答２より、西暦が400で割り切れる年を含まない100年間で、曜日が5つ進むことを示した。
よって、西暦が400で割り切れる年を含まない200年間では
5+5=10=1×7+3となり、曜日が3つすすみ、
西暦が400で割り切れる年を含まない300年間では、
5+5+5=15=2×7×1となり、曜日が1つ進むことになる。
さらに400年間では、西暦が400で割り切れる年を必ず含んでいることになる為
5+5+5+5+1=21=3×7+0となり、400年で曜日は元に戻る事を示している。
このことから、曜日が400年毎に一致するため、解答2で挙げた4つ以外の曜日が下二桁が00である年の1月1日になることはない 。
よって、日曜日、火曜日、木曜日の3つ
◆東京都 よね さんからの解答
【問題１】
閏年以外は１年は３６５日。
３６５÷７＝５２余り１ なので、１年間に１つずつ曜日が後ろにずれる。
閏年は１年は３６６日。
３６５÷７＝５２余り２ なので、１年間に２つずつ曜日が後ろにずれる。
１９９２年から２０００年までの８年間で、閏年は（２０００−１９９２）÷４＝２回
従って平年は、（２０００−１９９２）−２＝６回
よってずれる曜日の数は、
６（平年の数）×１ ＋ ２（閏年の数）×２＝１０
１週間は７日なので、水曜日から上記を７で割った余りの日数後の曜日が求める曜日となる。
１０÷７＝１余り３ なので、水曜日から３日後の土曜日となる。
【問題２】
問題１と同様の考え方で、例外の平年による閏年の減少を加味して計算する。
●２１００年の場合：
（２１００−１９９２）÷４＝２７（閏年の数）
（２１００−１９９２）−２７＝８１（平年の数）
８１×１＋２７×２＝１３５
１３５÷７＝１９余り２
水曜日から２日後の金曜日となる。
●２２００年の場合:
（２２００−１９９２）÷４＝５２
間にある２１００年は平年のため、閏年は１日少なくなる。
５２−１＝５１（閏年の数）
（２２００−１９９２）−５１＝１５７（平年の数）
１５７×１＋５１×２＝２５９
２５９÷７＝３７
割り切れるため水曜日となる。
●２３００年の場合:
（２３００−１９９２）÷４＝７７
間にある２１００年,２２００年は平年のため、閏年は２日少なくなる。
７７−２＝７５（閏年の数）
（２３００−１９９２）−７５＝２３３（平年の数）
２３３×１＋７５×２＝３８３
３８３÷７＝５４余り５
水曜日から５日後の月曜日となる。
●２４００年の場合:
（２４００−１９９２）÷４＝１０２
間にある２１００年,２２００年，２３００年は平年のため、閏年は３日少なくなる。
１０２−３＝９９（閏年の数）
（２４００−１９９２）−９９＝３０９（平年の数）
３０９×１＋９９×２＝５０７
５０７÷７＝７２余り３
水曜日から３日後の土曜日となる。
●２５００年の場合:
（２５００−１９９２）÷４＝１２７
間にある２１００年,２２００年，２３００年は平年，２４００年は閏年のため、閏年は３日少なくなる。
１２７−３＝１２４（閏年の数）
（２５００−１９９２）−１２４＝３８４（平年の数）
３８４×１＋１２４×２＝６３２
６３２÷７＝９０余り２
水曜日から２日後の金曜日となる。
【問題３】
西暦の年数が１００で割り切れ、かつ４００で割り切れない年(平年）をまたぐ１００年間でずれる曜日の数は、以下のように求められる。
（１００−（１００÷４−１））＋（１００÷４−１）×２＝１２４
１２４÷７＝１７余り５
従って５曜日。
これを前提に、西暦の年数が１００で割り切れ、かつ４００で割り切れない年(平年）をまたぐ２００年間でずれる曜日の数は、
５×２＝１０曜日
１０÷７＝１余り３ となるため３曜日。
同様に西暦の年数が１００で割り切れ、かつ４００で割り切れない年(平年）をまたぐ３００年間でずれる曜日の数は、
５×３＝１５曜日
１５÷７＝２余り１ となるため１曜日。
４００年間でずれる曜日の数は５×３＋６×１＝２１となるが、２１は３で割り切れるため、西暦の年数の下二桁が００である年（各世紀の最後の年）の１月１日の曜日は４００年毎に元に戻り同じになる。
例えば２１００年１月１日（金）を起点とすれば、金，水，月，土，金．．．の繰り返しとなり、日，火，木はあり得ない。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
土曜日
平年 365=1 mod 7
閏年 366=2 mod 7
であるから 普通の4年=5 mod 7 である。
1992年〜2000年の１月の間は 普通である。
よって 2000年-1992年＝8年=3 mod 7
水曜＋３日＝土曜日
【問題２】
２１００年は金曜日
２２００年は水曜日
２３００年は月曜日
２４００年は土曜日
２５００年は金曜日
普通の １００年は
5（４年）×25-1(１００年に一度の例外)=-2 mod 7 である。
４００年に１度 １００年は
5（４年）×25=-1 mod 7 である。
よって ４００年＝-2-2-2-1=0 mod 7 で 曜日は４００年周期でもとに戻る。
【問題３】
日曜日 火曜日 木曜日
理由は問題３参照。
◆東京都 Lubyna さんからの解答
平年は３６５日、閏年は３６６日
３６５％７＝１より来年の１月１日の曜日は今年の１月１日の曜日の１つ後となる
３６６％７＝２
同様に２つ後となる
【問題１】
１９９２年から２０００年までは平年６回、閏年２回である。
６×１＋２×２＝１０
１０％７＝３
より水曜日の３つ後の”土曜日”となる。
【問題２】
２０００年から２１００年までは平年７５回、閏年２５回であり
７５×１＋２５×２＝１２５
１２５％７＝６
より土曜日の６つ後の”金曜日”となる
２１００年から２２００年までは平年７６回、閏年２４回であり
７６×１＋２４×２＝１２４
１２４％７＝５
より金曜日の５つ後の”水曜日”
２１００年１月１日…金曜日
２２００年１月１日…水曜日
２３００年１月１日…月曜日
２４００年１月１日…土曜日
２５００年１月１日…金曜日
【問題３】
問題２より
２１００年１月１日…金曜日
２２００年１月１日…水曜日
２３００年１月１日…月曜日
２４００年１月１日…土曜日
２５００年１月１日…金曜日
２６００年１月１日…水曜日
２７００年１月１日…月曜日
２８００年１月１日…土曜日…
と４００年周期で循環している
よって西暦（Ｎ×１００）年のとき
Ｎ％４＝０ …土曜日
Ｎ％４＝１ …金曜日
Ｎ％４＝２ …水曜日
Ｎ％４＝３ …月曜日
となり
火・木・日曜日はない
◆兵庫県 y_miyake さんからの解答
【問題１】
1992.1.1(水)から2000.1.1の間には閏年(2月29日)が2回あるので
日数は 365日×8年+2日=2922日
2922日÷7=417週と3日
よって水曜日＋3日＝土曜日
答え 2000年1月1日は土曜日
【問題２】
2000.1.1(土)から2100.1.1までには閏年が25回（2000年が400で割り切れるため閏年)あるので、
日数は 365×100+25=36525
36525日÷7=5217週と6日。
土曜日＋6日＝金曜日
答え 2100年1月1日は金曜日
2100.1.1(金)から2200.1.1までには閏年が24回（2100年が400で割り切れないため平年)あるので、
日数は 365×100+24=36524
36524日÷7=5217週と5日。
金曜日＋5日＝水曜日
答え 2200年1月1日は水曜日
以下同様に、2300.1.1は月曜日。2400.1.1は土曜日。2500.1.1は金曜日。
【問題３】
西暦の年数の下二桁が００である年で平年なのは４００で割り切れない年だから
2000,2400,2800,3200,3600年などは閏年である。
2000年から2100年は曜日が6日ずれる、
2100年から2200年は曜日が5日ずれる、
2200年から2300年は曜日が5日ずれる、
2300年から2400年は曜日が5日ずれる、
2400年から2500年は曜日が6日ずれる
以下繰り返しなので曜日がずれるのは、6日,5日,5日,5日の繰り返しとなる。
よって、100年ごとの元日の曜日は土、金、水、月を繰り返すことになる。
以上から決してなることがない元日の曜日は、日，火，木曜日。
◆香川県の高校生 Ｍｒ名無し さんからの解答
【問題１】
西暦１９９２年１月１日は水曜日
西暦２０００年１月１日は何曜日？ という問題だが、一年間は３６５日（閏年は３６６日）である。
そして３６５÷７＝５２…１
３６６÷７＝５２…２
となるため 一年で１日ずつ（閏年は２日）ずれるのである。
ここまで分かれば後は簡単である。
１９９２年 １９９６年は閏年なので、１９９２〜１９９９までで１０日ずれる。
よって西暦２０００年１月１日は土曜日となる。
【問題２】
西暦２１００年、２２００年、２３００年、２４００年、２５００年の１月１日は何曜日？という問題だが 問題１でも解説したように一年で１日ずつ（閏年は２日）ずれるのである。
問題１で西暦２０００年１月１日は土曜日ということが分かっているので閏年が何回あったかを求めれば後は簡単である。
２０００年〜２１００年までの閏年は２５回
よって１２５日ずれることが分かる。
よって西暦２１００年１月１日は金曜日。
２１００年〜２２００年までの閏年は２４回
よって１２４日ずれることが分かる。
よって西暦２２００年１月１日は水曜日。
２２００年〜２３００年までの閏年は２４回
よって１２４日ずれることが分かる。
よって西暦２３００年１月１日は月曜日。
２３００年〜２４００年までの閏年は２４回
よって１２４日ずれることが分かる。
よって西暦２４００年１月１日は土曜日。
２４００年〜２５００年までの閏年は２５回
よって１２５日ずれることが分かる。
よって西暦２５００年１月１日は金曜日。
【問題３】
西暦の年数の下二桁が００である年（各世紀の最後の年）の１月１日が決してなることがない曜日をすべて挙げてください という問題だが、勘のいい人は問題２の解説で分かるかもしれない。
答えは 日曜日 火曜日 木曜日 の３つである。
実は４００年間のずれは７で割り切れる
（４００×３６５＋９７）÷７ （９７は４００年間の閏年の数）
＝１４６０９７÷７
＝２０８７１
うそだと思う人は紙に書いたり電卓つかったりして確かめればよい。
つまり４００年間のループができる。
２０００年と２４００年は土曜日
２１００年と２５００年は金曜日 なのである。
つまり
土曜日→金曜日 ↑ ↓ 月曜日←水曜日となる。
よって答えは日曜日 火曜日 木曜日 の３つである
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