数学の部屋へもどる【問題１】
◆静岡県 ｍｅｄａｋａ さんからの解答
【問題１−１】
け＝ １ で＝ ７ ま＝ ２ と＝ ８ て＝ ４ め＝ ６ う＝ ９ あ＝ ０ お＝ ５ し＝ ３ １７ × ２８ ＝ ４７６ ＋ × − ９９ ＋ ９ ＝ １０８ ＝ ＝ ＝ １１６ ＋ ２５２ ＝ ３６８（解法）
”け”＝ａ，”て”＝ｂ，”あ”＝ｃ，”で”＝ｄ，”め”＝ｅ，
”お”＝ｆ，”ま”＝ｇ，”う”＝ｈ，”し”＝い，”と”＝ｊ
として、連立方程式をつくると
(10a + d) * (10g + j) = 100b + 10d + e ...(1) 10h + h + h = 100a + 10c + j ...(2) (100a + 10a + e) + (100g + 10f + g) = 100i + 10e + j ...(3) (10a + d) + (10h + h) = 100a + 10a + e ...(4) (10g + j) * h = 100g + 10f + g ...(5) (100b + 10d + e) - (100a + 10c + j) = 100i + 10e + j ...(6)(2)の左辺（=12h）が３桁となるためには、ｈ＝９でなければならない。
(6)の１の位を取り出すと、e-j=j(mod10)となるが、
すでにｊ＝８は確定しているので、ｅ＝６となる。
(4)にすでに確定している数字を代入すると、10+d+99=100+10+6となり、
ｄ＝７が決まる。
(3)の１の位を取り出すと、e+g=j(mod10)となるが、
すでにｅ、ｊは確定しているので、ｇ＝２が決まる。
(1)にすでに確定している数字を代入すると、
12*28=100b+70+6となり、
ｂ＝４が決まる。
(6)にすでに確定している数字を代入すると、
476-108=100i+60+8となり、
ｉ＝３が決まる。
(3)にすでに確定している数字を代入すると、
116+202+10f=368となり、
ｆ＝５が決まる。
【問題１−２】
（答え） ”あけましておめでとう”
◆神奈川県 Gaku さんからの解答
【問題１−１】
け＝１ で＝７ ま＝２ と＝８ て＝４ め＝６ う＝９ あ＝０ お＝５ し＝３まず、2行目の『うう+う=けあと』より、
したがって、「けあと＝１２×う＝１２×９＝１０８」となって、
『け＝１』『あ＝０』『と＝８』が分かる。
次に、2列目の『ま８×９＝まおま』より、
繰り上がりに注意して1の位だけを考えると、
「７ま＝８×９＝７２」となり、『ま＝２』である。
すると、この式は、「２８×９＝２お２」となるから、
「２お２＝２８×９＝２５２」より、『お＝５』となる。
さらに、3行目の『１１め＋２５２＝しめ８』の1の位から、
「め＋２＝８」となり、『め＝６』である。
この式は、「１１６＋２５２＝し６８」となったので、
「し６８＝１１６＋２５２＝３６８」から『し＝３』が分かる。
最後に、3列目を見ると、『てで６−１０８＝３６８』なので、
「てで６＝３６８＋１０８＝４７６」より、『て＝４』『で＝７』である。
あとは、1行目の『１７×２８＝４７６』と、
1列目の『１７＋９９＝１１６』が正しいことを確かめればよい。
◆大阪府 IVRチーム さんからの解答
２列目 横の計算において
○○ ＋ ○ が ３桁の整数を満たす同一の数字は「９」のみ
⇒よって「う」は９
９９＋９＝１０８となる
⇒よって「け」は１
「あ」は０
「と」は８となる。
３列目 縦の計算において
１０８を引いたあとの答えの１桁目が「８」となる ？−８＝８
⇒よって「め」は６となる
また、答えの２桁目が６となる。
１桁目の計算で繰り下がりがあるため ？−１−０＝６
⇒よって「で」は７となる
２列目 縦の計算において
「と」と「う」をかけると ８×９＝７２
⇒結果の１桁目すなわち「ま」は２となる
２８ × ９ ＝２５２
⇒よって「お」は５となる
３列目 横の計算において
１１６ ＋ ２５２＝ ３６８
⇒よって「し」は３となる
３列目 縦の計算において
？７６−１０８＝３６８ すなわち ３６８＋１０８＝？７６
⇒よって「て」は４となる
◆大阪府 こうじ さんからの解答
「うう＋う」が三桁になるのは「う」が９の場合のみ
９９＋９＝１０８ なので「けあと」＝１０８
∴け＝1 あ＝０ と＝８
そこで、で＝ａ ま＝ｂ て＝ｃ め＝ｄ お＝ｅ し＝ｆとおくと
１ａ × ｂ8 ＝ｃａｄ ＋ × − 99 ＋ 9 ＝ 108 ＝ ＝ ＝ 11ｄ ＋ｂｅｂ ＝ｆｄ８となる（10ｂ＋８）×９＝90ｂ+72なので1の桁は２
110＋ｄ＋252＝100ｆ+28
360＋ｄ+2＝100ｆ+28
∴1の桁はｄ+２＝８でｄ＝６ ｆ＝３
100c＋10a+6−108＝368より
100c＋10a＋6＝476
ｃ＝４ ａ＝７
以上より
け＝１ で＝７ ま＝２ と＝８ て＝４
め＝６ う＝９ あ＝０ お＝５ し＝３
◆東京都 明 さんからの解答
左端１列目の「けで＋うう＝けけめ」 から、「け＝１」
代入して 「１で＋うう＝１１め」 から、「う＝９」
上から２段目「うう＋う＝けあと」に「う＝９」を代入して、「あ＝０」、「と＝８」
２列目「まと×う＝まおま」に「う」と「と」を代入して、「ま＝２」
さらにこの「ま」を代入して、「お＝５」
３列目「てでめ−けあと＝しめと」に以上判った数字を代入すると、
「てでめ−１０８＝しめ８」
この最下位から「め＝６」
１０の位から「で＝７」
３段目「けけめ＋まおま＝しめと」に以上判った数字を代入して、
「１１め＋２５２＝しめ８」
これから「め＝６」、「し＝３」
もう一度３列目に戻って、「て＝４」
以上、０から９まで順にならべると、「あけましておめでとう」
最後にすべての数字を代入して招福の絵を確認しました。
【問題２】
◆出題者の愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント
優勝は -25-@ucchieさんと とくしんさんの
√(√(√(√(√((1003×2)^(2^5)-1))))) =2005.999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999867 3854327399 5093405812 7296311809 1615923462...ですね。すばらしい発想です。
√の多重使用ですが、５回に意味があるのでルール違反ではありません。
この問題は日経サイエンスの懸賞問題を動機付けとした問題です。
通常小町算は２項演算（＋×。。）を用いるので演算子数が有限となり、計算機でしらみつぶし可能な場合が多いです。
しかし√のような単項演算を仲間に入れることにより際限がなくなり、計算機では手に負えなくなってきます。
◆新潟県 さらな さんからの解答
（2005＋1）−1÷32＝2005.96875
あえて√を使わずに作ってみました。
◆埼玉県の中学校３年生 野猿 さんからの解答
あえてルートを使わず
2005+1+1/32＝2005.96875
問題２は興味深いです
２００５年大晦日が２００６年の近似値になるというユーモアがあります
◆岡山県 ク〜さん さんからの解答
２００５＋√３１−√２１＝２００５.９８５１８・・・
◆大阪府 IVRチーム さんからの解答
1003*2-1/52 = 2005.980769・・・・・
許されるならば
1003*2-2^-51 = 2005.9999999999・・・・
◆兵庫県の高校生 リストっち さんからの解答
√((1003*2)^2-1/5)=2005.9999501495507265535162601044・・・・
◆三重県 とくしん さんからの解答
√((1003*2)^2 - 1/5) ≒ 2005.9999501495507265535162601044
2005.99995年と解釈して計算してみると12月31日の午後11時半過ぎぐらいか。
問題の条件からは外れるけど例えば小数点を使えば
√(2011^2 - .03) - 5 ≒ 2005.9999925410243521540731687821
1に限りなく近い数を作る目的以外での多重根号を許すとすれば
√√√√√((1003*2) ^ (2^5) - 1) ≒ 2005.999...(推定96個)...999
等が作れます
◆滋賀県の高校生 -25-@ucchie さんからの解答
√の使いすぎですが、
(√:5つ) 2*(√(√(√(√(√((1003)^(2^5)-1)))))) =2005.999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999943 0424770644 8969344243 0930066412 1767632306 2733401858... √(√(√(√(√((1003×2)^(2^5)-1))))) =2005.999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999999 9999999867 3854327399 5093405812 7296311809 1615923462... (√:3つ) √(√(√((2005+1)^(2^3)-1))) =2005.999999 9999999999 9999999904 3701417091 4024778196 8723781521 3878987403 9428026906 9869355303 1631826085... (√:無し) 1003×2-2^(-51) =2005.999999 9999999995 5591079014...◆奈良県 謎のX さんからの解答
√{(2005+1)^2 - 1/3} = 2005.999917
◆東京都 昔取った杵柄 さんからの解答
1003 * 2 - 2^(-51) = 2006 - 4.44*10^(-16)
◆神奈川県 Gaku さんからの解答
1003*2-1/52=2005.980769…
予想される解答は、2005か2006か2007と、0に近い数か1に近い数を作って、それらを加減するという形である。
重要なのは、いかに0もしくは1に近い数を作るかという点なので、なるべく、大きな数を残して2005か2006を作る方法を考えなければならない。
「2006=1003*2」に気付けば、あとは残った「1,2,5」でなるべく小さい数を作るだけで2006に近い数が得られる。
◆東京都 あずず さんからの解答
(2005＋1)−2÷31＝2005.93548387...
(2005＋1)−2^(−31)＝2005.99999999953433871...
順番を入れ替えても良いのであれば，
(2005＋1)−3^(−21)＝2005.99999999990440093...
◆大阪府の高校生 vamp さんからの解答
１００３×２−１÷５２＝2005.9807692307692307692307692308
◆海外 Maruhi さんからの解答
2005+√12 / √13 ＝2005.960769
◆石川県 いくまる さんからの解答
2005+SQRT(1-1/32) = 2005.98425....
◆埼玉県 angel さんからの解答
2005+SQRT(1-1/32) = 2005.98425....
1003×2-1÷52 = 2005.980769…
もし次の書き方が可能ならば、より勝ります
1003×2-2^(-51) = 2005.999999…
※ 他に 2^(11-α) や (2-α)^11 も考えましたが、良いパターンにならず…
◆東京都 明 さんからの解答
第１感は √{(2005＋1)^2−1/3} = 2005.999916915917
改善版の √[(2×1003)^2−1/5} = 2005.999950149550
他にないか計算機で総当りをしている間に次の出力がされました。
2×(3＋√(0＋√(10^12−√5) = 2005.999999998881
形式的には題意に適合していると思いますが、実質的には掟破りでしょうか。
総当りの方はプログラムの色々な穴を繕っている間に時間切れとなりました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
sqrt((2005+1)^2-1/3)=2005.9999169
◆兵庫県の高校生 リストっち さんからの解答
√((1003*2)^2-1/5)=2005.9999501495507265535162601044・・・・
◆静岡県 ｍｅｄａｋａ さんからの解答
sqrt( ( 2005 + 1 ) ** 2 + 1 - 3 ) ＝ 2005.9995014954516...
◆岩手県 utu さんからの解答
数字の配置を変えないならば、
２００５＋１−２＾(−３１) ＝２００６−４．６５６６Ｅ−１０ ＝２００５．９９９９９９９９９５３４３３・・・数字の配置を変えていいならば、
１００３＊２−２＾(−５１) ＝２００６−４．４４０８９Ｅ−１６ ＝２００５．９９９９９９９９９９９９９９９５５５９１０・・・上の二つは２００６から微小な数を引くパターンです。
２００５に（１弱）を加えるパターンとして、
２００５＋２＾（−３＾（−１１）） ＝２００５＋０．９９９９９６０８７・・・ ＝２００５．９９９９９６０８７・・・なども見つけました。あまり優秀ではないですが・・・
【問題３】
◆愛知県の中学校２年生 6番目の素数 さんからの解答
何個かの自然数で最小の数をｎと置く。
したがって何個かの自然数の和は
n+n+1+n+2+n+3n+4・・・＝an+a(a-1)/2＝2006
（aは自然数）と表せることができる。
an+a(a-1)/2＝2006 より
2an+a(a-1)=4012
2an+a~2-a=4012
a(2n+a-1)=4012
4012を素因数分解すると 4012＝2*2*17*59 であるから、
aは2、4、17、34、59となる。
i)a=2のとき
a(2n+a-1)=4012にa=2を代入する。
2n＝2005
n＝1002.5
命題よりnは自然数となるので矛盾する。
ゆえに2個の自然数の和で表せない。
ii）a=4のとき
2n＝1000
n=500
ゆえに500,501,502,503
iii）a=17のとき
2n=220
n=110
ゆえに110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126
iv)a=34のとき
nは自然数とならない。
v)a=59のとき
2n=10
n=5
ゆえに5,6,7,8,910,・・・・57,58,59,60,61,62,63
（答）
1. 500,501,502,503 2. 110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126 3. 5,6,7,8,910,・・・・57,58,59,60,61,62,63◆香川県の中学校３年生 自称数学で５を連発中の男 さんからの解答
２００６を連続する整数の和にするには
ある整数で割ってその整数が
偶数なら 〜〜．５ の形になる
奇数なら 整数になる
整数を見つければいいので、２００６の約数を見つければよい
１・２・１７・３４・５９・１１８・１００３・２００６
よって偶数で割って 〜〜．５ の形にするには
４と６８と２３６と４０１２がある
さらに奇数で割って 整数にするには
１７と５９と１００３がある
よって
５００〜５０３ （４個） １１０〜１２６ （１７個） ５〜６３ （５９個） −４〜６３ （６８個） −１０９〜１２６ （２３６個） −４９９〜５０３ （１００３個） −２００５〜２００６（４０１２個）しかしこの問題は自然数（１以上の整数）という指定があるため
−４〜６３ （６８個） −１０９〜１２６ （２３６個） −４９９〜５０３ （１００３個） −２００５〜２００６（４０１２個）は この問題に当てはまらない よってこの答えは
これより下はさらに詳しい説明です
ある整数で割ってその整数が 偶数なら 〜〜．５ の形になる
奇数なら 整数になる 整数を見つければいいので・・・ なぜこうなるかというと
奇数個の場合
ある連続する自然数の和を
・・・・・・・・・（□−２）＋（□−１）＋□＋（□＋１）＋（□＋２）・・・・・・・・・
（□は自然数）とします
□を真ん中にして考えるので 左右の数は同じです
＋１−１ ＋２−２ ・・・・となり□だけがその奇数個残ります
よって □×奇数＝２００６ になる数
つまり 整数×奇数＝２００６ になる数を見つけていたんです
偶数個の場合
ある連続する自然数の和を
・・・・・・（□−１．５）＋（□−０．５）＋（□＋０．５）＋（□＋１.５）・・・・・・・
（□は〜〜．５）とします
（□−０．５）と（□＋０．５）の間を真ん中にして考えるので 左右の数は同じです
＋０．５−０．５ ＋１．５−１．５・・・・となり□だけがその偶数個残ります
よって □×偶数＝２００６ になる数
つまり 〜〜．５×偶数＝２００６ になる数を見つけていたんです
２００６の約数は １・２・１７・３４・５９・１１８・１００３・２００６
この中で奇数はそのまま使うことができます
この中の偶数は２倍にして使うことができます
しかし１は 連続して・・・ という文があるので使えません
よって使えるのは
４ １７ ５９ ６８ ２３６ １００３ ４０１２
の７個です
Ａ ２００６を各数で割ります Ｂ 各数を１引いて２で割ります ２００６÷４＝５０１．５ （４−１）÷２＝１．５ ２００６÷１７＝１１８ （１７−１）÷２＝８ ２００６÷５９＝３４ （５９−１）÷２＝２９ ２００６÷６８＝２９．５ （６８−１）÷２＝３３．５ ２００６÷２３６＝８．５ （２３６−１）÷２＝１１７．５ ２００６÷１００３＝２ （１００３−１）÷２＝５０１ ２００６÷４０１２＝０．５ （４０１２−１）÷２＝２００５．５ Ａ−Ｂをします Ａ＋Ｂをします ５０１．５−１．５＝５００ ５０１．５＋１．５＝５０３ １１８−８＝１１０ １１８＋８＝１２６ ３４−２９＝５ ３４＋２９＝６３ ×２９．５−３３．５＝−４ ２９．５＋３３．５＝６３ ×８．５−１１７．５＝−１０９ ８．５＋１１７．５＝１２６ ×２−５０１＝−４９９ ２＋５０１＝５０３ ×０．５−２００５．５＝−２００５ ０．５＋２００５．５＝２００６自然数でないものは消えます
よって
５００〜５０３ （４個）
１１０〜１２６ （１７個）
５〜６３ （５９個） の３種類になるのです
◆静岡県 ｍｅｄａｋａ さんからの解答
（答え）
５００〜５０３，１１０〜１２６，５〜６３の３通り
（解法）
連続する数の始めをａ、終りをｂとすると、以下の式が成り立つ。
（ａ＋ｂ）（ｂ−ａ＋１）／２ ＝ ２００６
右辺を因数分解すると
（ａ＋ｂ）（ｂ−ａ＋１）
＝ ４＊１７＊５９
＝ ４＊１００３
＝ １７＊２３６
＝ ５９＊６８
ａ，ｂは整数、かつ、（ａ＋ｂ）＞（ｂ−ａ＋１）であるから、以下のいずれかの場合に限られる。
（１）４＊１００３のとき
ａ＋ｂ ＝ １００３
ｂ−ａ＋１＝ ４
これより、ａ＝５００，ｂ＝５０３を得る。
（２）１７＊２３６のとき
ａ＋ｂ ＝ ２３６
ｂ−ａ＋１＝ １７
これより、ａ＝１１０，ｂ＝１２６を得る。
（３）５９＊６８のとき
ａ＋ｂ ＝ ６８
ｂ−ａ＋１＝ ５９
これより、ａ＝５，ｂ＝６３を得る。
◆石川県 いくまる さんからの解答
nから連続するk個(k＞2)の自然数の和は(2n+k-1)k/2であるから
(2n+k-1)k/2=2006
を満たす自然数n,kを求めればよい。
(2n+k-1)k = 2x2x17x59
と変形できて、(2n+k-1,k)の組み合わせを考えると
a. ともに自然数であること
b. どちらかが奇数でどちらかが偶数であること
c. 2n+k-1＞kであること
は明らかであり、これを満たすのは
(2n+k-1,k) = (2x2x17, 59), (2x2x59, 17), (17x59, 2x2)
の4組であり、これを解くと、
(n,k) = (5, 59), (110, 17), (500, 4),
となる。求める自然数の組は、
5,6,7,‥‥,63
110,111,112,‥‥,126
500,501,502,503
の3組である。
◆神奈川県 Gaku さんからの解答
2006=500+501+502+503
2006=110+111+…+125+126
2006=5+6+…+62+63
「2006=2006」は題意を満たすが、問題の趣旨に反するので、何個かの自然数とは2個以上の自然数のことを指すとする。
「2006=n+(n+1)+…+(m-1)+m」が成り立つような2つの自然数「n＜m」を探せばよい。
これは、等差数列の和だから、
右辺を計算して「2006=(m-n+1)(n+m)/2」となる。
このような「n,m」が存在したとき、
「(m-n+1)=N」「(n+m)=M」とおけば、
NとMはともに自然数で、「4012=NM」である。
ここで、「N+M=2m+1」だから、「N+M」は奇数、
すなわち、NかMのうち1つは奇数である。
4012を素因数に分解すると、「4012=2*2*17*59」が得られるので、
どちらかが奇数になるような4012の2つの自然数の積への分解は、
「4012=(2*2)*(17*59)=4*1003」
「4012=(2*2*17)*(59)=68*59」
「4012=(2*2*59)*(17)=236*17」
の3通りであることがただちに分かる。
このとき、「N-M=-2n+1＜0」だから、「N＜M」が分かり、NとMの候補は、
「N=4,M=1003」「N=59,M=68」「N=17,M=236」
の3組である。
「n=(M-N+1)/2,m=(N+M-1)/2」に代入すれば、
「n=500,m=503」「n=5,m=63」「n=110,m=126」が得られたので、これらが解である。
◆大阪府 IVRチーム さんからの解答
| n+a-1 Σ k=n |
ｋ＝2006 とする |
| an+ | a-1 Σ k=1 |
ｋ＝2006 すなわち |
an+ (a-1)a/2 =2006 となる。
左右を2倍して
2an+a2-a=4012
すなわち 2n + a - 1 = 4012/a となる
nとaは自然数なので、2n+a-1 は必ず自然数となる。
つまり4012/a が割り切れる数である。
これを満たすaの値は(2,4,17,34,59,118)となる。
このうち、上記の式が成り立つ(nが自然数となる)組み合わせは、
(a,n)=(4,500),(17,110),(59,5)の３通りとなる。
答え：500〜503、110〜126、5〜63 の3通りがある。
◆大阪府 こうじ さんからの解答
数aより連続するｂ個の整数の和が2006になるとすれば
その和は
ba＋b（b−1）／2＝2006
ｂ(2a＋ｂ−1）＝4012＝2×２×17×59
ｂ、２ａ＋ｂ−１は，いずれも整数なので組み合わせは
2×2006，4×1003 17×236 34×118 68×59のいずれか
かつｂ2＜（2a＋ｂ−1）＝4012なので
ｂ＜63．34・・・
ｂ＝２の場合 （2ａ＋1）＝2006で成立しない
ｂ＝4の場合 2ａ＋3＝1003 でａ＝500
ｂ＝17の場合 ２ａ＋16＝236 でａ＝110
ｂ＝34の場合 2ａ＋33＝118で成立しない
ｂ＝59の場合 2ａ＋58＝68でａ＝5
∴解は500、501、502、503の和
110から126までの和
5から63までの和 以上
◆岩手県 utu さんからの解答
初項をａ、項数をｎと置くと、末項は（ａ＋ｎ−１）
等差数列の和の公式により、
｛ａ＋（ａ＋ｎ−１）｝ｎ／２＝２００６
整理すると、
（２ａ＋ｎ−１）ｎ＝４０１２・・・・・(1)
ここで、４０１２を素因数分解すると、
４０１２ ＝ ２＊２＊１７＊５９
また、
ｎが奇数のときは、２ａ＋ｎ−１は偶数
ｎが偶数のときは、２ａ＋ｎ−１は奇数
すなわち、一方は奇数で、もう一方は偶数
よって、(1)の左辺の積の候補は、
４＊１００３ ６８＊ ５９ ２３６＊ １７ ４０１２＊ １あとは、上の候補をしらみつぶしに調べて、
よって、条件を満たすものは次の３通り
500＋501＋502＋503
110＋111＋112＋・・・＋126
5＋6＋7＋・・・＋63
◆東京都 明 さんからの解答
初項がｎでｋ個の連続する自然数の総和は
ｋｎ＋ｋ(ｋ−１)/２＝(２ｎ＋ｋ−１)ｋ/２
２００６を素数の積で表すと２・１７・５９
よって (２ｎ＋ｋ−１)ｋ＝２・２・１７・５９
２ｎ＋ｋ−１≧ｋより ｋ^２≦４０１２
よって ｋ≦６３
また、ｋが偶数の場合は、(２ｎ＋ｋ−１)は奇数になるため、２・２の因数はｋに含まれなくてはなりません。
したがってｋの取り得る値は、４，１７，５９のみ。
ｋ＝４のとき、 ｎ＝５００
ｋ＝１７のとき、ｎ＝１１０
ｋ＝５９のとき、ｎ＝５
したがって、解は以下のとおりとなります。
５００から連続４個
１１０から連続１７個
５から連続５９個
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
（１） １１０＋１１１＋。。。＋１２６
（２） ５＋６＋。。。。。。。＋６３
（３） ５００＋５０１＋５０２＋５０３
数列の項数が奇数である場合、
数列の中央をＭとするとき ２００６＝Ｍ×奇数である。
一方素因数は、２００６＝２×１７×５９ である。
よって Ｍ＝２、３４、１１８，２００６である。
このうち 自然数＞０であることを満たし、複数項であるのは Ｍ＝３４、１１８の場合である。
数列の項数が偶数である場合、
数列の平均×２をＭ：奇数とするとき ２００６＝Ｍ×整数である。
素因数は、２００６＝２×１７×５９ である。
よって Ｍ＝１、１７、５９，１００３である。
このうち 自然数＞０であることを満たし、複数項であるのは Ｍ＝１００３の場合である。
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