数学の部屋へもどる◆埼玉県の中学校３年生 黒十字 さんからの解答
左上から右に(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)とする。
表を見て(3)には２か３しか入らない。
（１だと縦の計算が出来ない、４以上でも縦の計算が出来ない）
まず(3)を２と考えると、(8)には２が入る。
(1)を６とすると（１、３、５、７は奇数だから不可能。２、４は(3)を２に出来ない）
(2)が１になる。
そうすると、(7)には１〜５が入るが、全て(4)の部分でおかしくなる。
(1)を８とすると、(2)が２になる。
そうすると、(7)には１しか入らなくなるが、これも計算していくと(4)でおかしくなる
次に(3)を３で考えると、(8)には７が入る
(3)→３ (8)→７
そうすると、(1)には８しか入らなくなり (1)→８
(2)には１が入る。
(2)→１
(4)、(7)のどちらから考えてもいいが、
(4)は１〜４が入り、(7)には１〜５が入る
(4)の方が楽そうだから、(4)から考えていくと
(4)を１で計算していくと、(7)がおかしくなる。
(4)を２で計算していくと全ての式が成立する
(4)→２ (5)→７ (6)→６ (7)→３ (10)→７ (9)→４
だから(1)→８
(2)→１
(3)→３
(4)→２
(5)→７
(6)→６
(7)→３
(8)→７
(9)→４
(10)→７
◆静岡県の高校生 Feather さんからの解答
８÷２−１＝３ ２＋７−４＝５ ４＋６−３＝７ ４−３＋７＝８ ８×２÷４＝４ ２＋７−６＝３ １×４＋３＝７ ３×５＋７＝８＜説明？＞
あ い う え ┌─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┐ か│Ａ│÷│２│−│Ｂ│＝│Ｃ│か：Ａー２Ｂ＝２Ｃ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ │×│■│＋│■│×│■│×│ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ き│Ｄ│＋│Ｅ│−│４│＝│５│き：Ｄ＋Ｅ＝９ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ │÷│■│−│■│＋│■│−│ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ く│４│＋│Ｆ│−│Ｇ│＝│Ｈ│く：４＋Ｆ＝Ｇ＋Ｈ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ │＝│■│＝│■│＝│■│＝│ ├─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┤ け│Ｉ│−│３│＋│Ｊ│＝│８│け：Ｉ＋Ｊ＝１１ └─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┘●あ：ＡＤ＝４Ｉ
最初に
Ａ〜Ｊは一桁の自然数
Ａ：偶数
Ｂ：１，２
Ｃ：２，３
Ｄ：Ａ＝２，６の時偶数
Ｅ：≠１
Ｆ：≠９
Ｇ：≦５
Ｈ：２，７
Ｉ：≠１
Ｊ：≧５
Ａ＝２，４，６，８
Ｃ＝２，３から
Ａ＝２の時→Ｂが成り立たない×
Ａ＝４の時→Ｂ＝Ｃ＝１ ×
Ａ＝６の時→Ｂ＝１、Ｃ＝２
Ａ＝８の時→（Ｂ，Ｃ）＝（１，３）（２，２）
よってＡ＝６，８
（Ｉ，Ｊ）＝（６，５）（５，６）（４，７）（３，８）（２，９）
Ａ＝６，８
Ｄ≠１，８，９
から
ＡＤ＝２４，１６，１２
Ｄ＝２，３，４
よって
Ｅ＝５，６，７
Ｆ＝４，５，６
く：Ｇ＝４＋Ｆ−Ｈ
Ｇ＝４＋（４，５，６）−（２，７）
Ｇ＝１，２，３，６，７，８
Ｇ≦５より
Ｇ＝１，２，３
よって
Ｈ＝７ Ｃ＝３
か：Ａ−２Ｂ＝６
より Ａ＝８、Ｂ＝１
く ：Ｆ−Ｇ＝３
う ：Ｊ−Ｇ＝４
う−く：Ｊ−Ｆ＝１
より
Ｊ＝５，６，７
Ｉ＝４，５，６
２Ｄ＝（４，６，８）
Ｉ＝（４，５，６）
より
Ｉ＝（４，６） Ｄ＝（２，３）
Ｄ＝３と仮定すると
き：３＋Ｅ＝９ …Ｅ＝６
い：２＋６−Ｆ＝３ …Ｆ＝５
く：４＋５＝Ｇ＋７ …Ｇ＝２
う：１×４＋２＝Ｊ …Ｊ＝６
け：Ｉ−３＋６＝８ …Ｉ＝５
このとき Ｉ＝（４，６）に矛盾するので
Ｄ＝３は適さない
Ｄ＝２と仮定する
き：２＋Ｅ＝９ …Ｅ＝７
い：２＋７−Ｆ＝３ …Ｆ＝６
く：４＋６＝Ｇ＋７ …Ｇ＝３
う：１×４＋３＝Ｊ …Ｊ＝７
け：Ｉ−３＋７＝８ …Ｉ＝４
よって成り立つ
◆静岡県 medaka さんからの解答
【答え】
８÷２−１＝３
２＋７−４＝５
４＋６−３＝７
４−３＋７＝８
８×２÷４＝４
２＋７−６＝３
１×４＋３＝７
３×５−７＝８
【解法】
？の部分に変数ａ，ｂ，..., ｊを順に割り当てると以下の式が得られる。
（Ａ，Ｄによる書き換え）
a / 2 - b = c ... (1) → A - b = c ... (1)＃
d + e - 4 = 5 ... (2) → 2D + e = 9 ... (2)＃
4 + f - g = h ... (3)
i - 3 + j = 8 ... (4)
a * d / 4 = i ... (5) → A D = i ... (5)＃
2 + e - f = 3 ... (6)
b * 4 + g = j ... (7)
c * 5 - h = 8 ... (8)
ただし、ａ〜ｊは、それぞれ１〜９の整数とする。
(1)，(5)が整数解を持つためには、ａ，ｄは偶数でなければならない。
よって、変数Ａ，Ｄを以下の式により導入する。
a = 2 * A ... (9)
d = 2 * D ... (10)
ａ，ｄは、１〜９の整数であるから、Ａ，Ｄは１〜４の整数に制限される。
(3)，(8)より、
ｆ−ｇ＝５ｃ−１２ ... (11)
(4)，(7)より、
ｉ ＋４ｂ＋ｇ ＝１１ ... (12)
(2)＃，(6)より、
２Ｄ＋ｆ＝８ ... (13)
(11)，(12)より、
ｉ ＋４ｂ＋ｆ ＝５ｃ−１ ... (14)
(13)，(14)より、
ｉ ＋４ｂ−２Ｄ＝５ｃ−９ ... (15)
(1)＃，(15)より、
ｉ −５Ａ−２Ｄ ＝−９ｂ−９ ... (16)
(5)＃，(16)より、
ＡＤ−５Ａ−２Ｄ ＝−９ｂ−９ ... (17)
(17)を整理すると
（Ａ−２）（５−Ｄ）＝９ｂ−１ ... (18)
Ｄ≦４、ｂ≧１より、５−Ｄ＞０、９ｂ−１＞０となるので、
Ａ−２＞０でなければならない。
一方、Ａ≦４であるから、結局、Ａ＝３ｏｒＡ＝４となる。
（１）Ａ＝３の場合
(18)は、５−Ｄ＝９ｂ−１となるが、左辺は４以下、右辺は８以上なので、解は存在しない。
（２）Ａ＝４の場合
(18)は、２（５−Ｄ）＝９ｂ−１となり、左辺は８以下、右辺は８以上であるから、
この解はＤ＝１，ｂ＝１のみとなる。
これより、他の変数の値も以下のように確定する。
ａ＝２Ａ ＝８
ｂ ＝１
ｃ＝Ａ−ｂ ＝３
ｄ＝２Ｄ ＝２
ｅ＝９−ｄ ＝７
ｆ＝ｅ−１ ＝６
ｈ＝５ｃ−８ ＝７
ｇ＝４＋ｆ−ｈ＝３
ｊ＝４ｂ＋ｇ ＝７
ｉ＝１１−ｊ ＝４
◆埼玉県 angel さんからの解答
○解答
８÷２−１＝３ ２＋７−４＝５ ４＋６−３＝７ ４−３＋７＝８ ８×２÷４＝４ ２＋７−６＝３ １×４＋３＝７ ３×５＋７＝８○考え方
？のマスを、左上から順（上の方優先）で、A〜Jとした時、
1.A=2(B+C)
2.D+E=9
3.F+4=G+H
4.I+J=11
5.AD=4I
6.E=F+1
7.4B+G=J
8.5C=8+H
の関係式が出る。以下まとめていくと、
9.B+C≦4
条件1より
10.D(B+C)=2I
条件1,5より。条件5陳腐化、条件1凍結
11.F≦8
条件6より
12.D+F=8
条件2,6より。条件2,11陳腐化、条件6凍結
13.D≦7
条件12より。
14.D+G+H=12
条件3,12より。条件3陳腐化、条件12凍結
15.I≧2
条件4より
16.4B+G+I=11
条件4,7より。条件7陳腐化、条件4凍結
17.(C,H)=(2,2),(3,7)
条件8より。条件8陳腐化
18.(B,C,H)=(1,2,2),(1,3,7),(2,2,2)
条件9,17より。条件9,17陳腐化
19.(B,C,D,G,H,I)=(1,2,2,4,2,3),(1,2,4,1,2,6),(1,3,1,5,7,2),(1,3,2,3,7,4),(1,3,3,1,7,6),(2,2,1,1,2,2)
条件10,13,15,16,18より。条件10,13,15,16,18陳腐化
20.(B,C,D,G,H,I)=(1,3,2,3,7,4)
条件14,19より。条件14,19陳腐化
最終的に、残った条件20と、凍結していた条件1,4,6,12から
(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J)=(8,1,3,2,7,6,3,7,4,7)
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【解答】
８÷２−１＝３ ２＋７−４＝５ ４＋６−３＝７ ４−３＋７＝８ ８×２÷４＝４ ２＋７−６＝３ １×４＋３＝７ ３×５＋７＝８【考え方】
右の縦を考えると
（１）３×５−７＝８ か
（２）２×５−２＝８ のみである。
さらに（１）の場合 上の横列は ８÷２−１＝３ に決まり
（２）の場合は
（２−１）８÷２−２＝２
（２−２）６÷２−１＝２ の２通りである。
以上の３通りに対し、一箇所を未知数として方程式が得られる。
３列３行目をｘとすると
（１）はｘ＝３
（２−１）は ｘ＝１７
（２−２）は ｘ＝１３である。
以上から（１）のみ確認すればよい。
◆東京都 黒人hide さんからの解答
与えられた問題を
『 Ａ÷２−Ｂ＝Ｃ × ＋ × × Ｄ＋Ｅ−４＝５ ÷ − ＋ − ４＋Ｆ−Ｇ＝Ｈ ＝ ＝ ＝ ＝ Ｉ−３＋Ｊ＝８ を満たすように、Ａ〜Ｊに１〜９の数字を入れよ。』とします。
まず、Ｇ,Ｈ,Ｊ＝１〜９より、３列目と４列目の式から、
Ｂ＝１or２,Ｃ＝２or３ ・・・(1)
を得ます。
Ｂ、Ｃが決まると、１行目と４列目の式からＡとＨも決まるので、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｈの組合せは、
（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｈ）＝（８,１,３,７）,（８,２,２,２）,（６,１,２,２）
の３通りです。
これら４つの数字が決まると、あとは残った文字のどれか１つのみを変数として考えることができます。
※『すなわち、Ｄが決まれば２行目と１列目からＥとＩが決まり、Ｅが決まれば２列目からＦが決まり、
Ｆが決まれば３行目からＧが決まり、Ｇが決まれば３列目からＪが決まるからです。
Ｉ、Ｊが決まった後に４行目の式が成り立っていれば、それが答えとなるわけです。
つまり、Ｉ＋Ｊ＝１１であればよいのです。』
Ｄは、Ｉが１〜９であることとＡが６or８であることを考えるとかなり絞られるので、答えは簡単に決まる見通しが立ちます。
また、Ｂ＝２のときはＧ＝１のみなので、これも使えそうです。
それでは、実際に場合分けをして考えてみます。
（@）（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｈ）＝（８,１,３,７）のとき
Ｉが１〜９であることを考慮すると、１列目の式から、
Ｄ＝１〜４となります。
このとき、※にしたがって考えると、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｉ、Ｊの組合せは、
（Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｉ,Ｊ）＝（１,８,７,４,２,８）,（２,７,６,３,４,７） （３,６,５,２,６,６）,（４,５,４,１,８,５）の４通りです。
この中でＩ＋Ｊ＝１１を満たすのは（２,７,６,３,４,７）のみです。
（A）（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｈ）＝（８,２,２,２）のとき
Ｊが１〜９であることを考慮すると、３列目の式から、
Ｇ＝１となります。
このとき、※にしたがって考えると、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｉ、Ｊの組合せは、
（Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｉ,Ｊ）＝（９,０,−１,１,１８,９）
の１通りです。
これらは『可能な数字は１〜９』の条件を満たしていないので答えにはなりません。
（B）（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｈ）＝（６,１,２,２）のとき
Ｉが１〜９であることを考慮すると、１列目の式から、
Ｄ＝２or４or６となります。
このとき、※にしたがって考えると、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｉ、Ｊの組合せは、
（Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｉ,Ｊ）＝（２,７,６,８,３,１２）,（４,５,４,６,６,１０）（６,３,２,４,９,８）
の３通りです。
この中でＩ＋Ｊ＝１１を満たすものはありません。
以上（@）〜（B）をまとめると、条件を満たすＡ〜Ｊの組合せは、
（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊ）＝（８,１,３,２,７,６,３,７,４,７）
となります。
◆千葉県 菜花子 さんからの解答
８÷２−１＝３ ２＋７−４＝５ ４＋６−３＝７ ４−３＋７＝８ ８×２÷４＝４ ２＋７−６＝３ １×４＋３＝７ ３×５＋７＝８
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