『今週の問題』第22回　解答

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

３元１次方程式で解く。
Aの水槽にA匹、Bの水槽にB匹、Cの水槽にC匹のピラニアがいるとする。
題意より、
　2(A-8)=C+8.......1)
　B-7=A+7.......2)
　B-3=C+3.......3)

1),2),3)より
A=32,B=46,C=40

答え　Aの水槽　３２匹　Bの水槽　４６匹　Cの水槽　４０匹。

◆京都府　Java使い さんからの解答。

Ａ、Ｂ、Ｃの水槽に元々入っていたピラニアの匹数をそれぞれＡ、Ｂ、Ｃとする。
命題より以下の３式が得られる。

　２（Ａ−８）＝Ｃ＋８ --- @
　Ｂ−７＝Ａ＋７　--- A
　Ｃ＋３＝Ｂ−３　--- B

式Aより
Ａ＝Ｂ-１４　--- A’

式A’を式@へ代入すると、
　２Ｂ＝Ｃ＋５２　--- C

式Cを式Bへ代入すると、
Ｂ−３＝２Ｂ−５２
　 ↓
Ｂ＝４６ が得られる。

Ｂの値を式A、式Bへそれぞれ代入すると、
Ａ＝３２、Ｃ＝４０となる。(解答終了)

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答。

水槽Ａ、Ｂ、Ｃのピラニアの数をそれぞれｘ、ｙ、ｚとすると

条件１より　ｚ＋８＝２(ｘ−８)・・・(１)

条件２より　ｙ−７＝ｘ＋７・・・(２)

条件３より　ｙ−３＝ｚ＋３・・・(３)

これらの三元連立方程式を解くと
(２)−(３)で

−４＝ｘ−ｚ＋４　→　ｘ＝ｚ−８・・・(４)

(４)を(１)に代入して

ｚ＋８＝２{(ｚ−８)−８}　
　↓
ｚ＋８＝２ｚ−３２
　↓
ｚ＝４０・・・・(５)

(５)を(４)に代入して

ｘ＝４０−８＝３２・・・(６)

(６)を(２)に代入して
ｙ−７＝３２＋７　→　ｙ＝４６

従って水槽Ａ、Ｂ、Ｃのピラニアの数はそれぞれ３２匹、４６匹、４０匹となります。

(※1)三元連立方程式(私のときは習いましたが今は習っているのでしょうか？)
もしわからなければ、条件２よりＢの水槽のピラニアの数はＡの水槽より１４匹多いことがわかり(ａ)

条件３、よりＢの水槽のピラニアの数はＣの水槽より６匹多いことがわかるので(ｂ)

これらより、上記と同じように文字を使って考えると

ｘ＋１４＝ｚ＋６　→　ｘ＋８＝ｚ・・(７)　が導けます。

上記(１)　ｚ＋８＝２(ｘ−８)・・・・(１)
と考え合わせると二元連立方程式で解けます。

残りのＢの水槽の数は求めた答えと(ａ)または(ｂ)により求められます。

【おまけ(1)解答】

まず、一番長い手数(もしかしたら無限かもしれません)がどのようなものか求めてみます。

次の試行が必ずできる最低条件は

ある手番のときにある水槽番号ｎ１が存在してその中に最低14匹いて、かつｎ１とは べつの番号の水槽ｎ２に最低１５匹以上(過密な状態)いることが必要です。

図で示すと 

匹数　　　15　　　　14
・・・・・□・・・・□・・・・・・・・
水槽ａ@　n2　　　　n1
となります。

(１手遡って考えて)このような状態になるためには上記ｎ１、ｎ２とは別の水槽ｎ３に最低１５匹以上いて、かつｎ２には１４匹以上いて、かつｎ１には１３匹以上いることが必要です。

図で示すと
(１手前)

匹数　　　15　　　　14        13
・・・・・□・・・・□・・・・□・・・・
水槽ａ@　n3　　　　n2        n1
となります。
以下同様に考えていくとピラニアの数からいって１２手まで遡れます。

(１３手前になると１＋２＋３＋・・・＋１５＝１２０となってピラニアの数が足りない)

図で示すと

(１２手前)
(このときピラニアは２＋３＋４＋５＋・・・＋１５＝１１９匹となります) 

匹数　　　15　　　　14        13　　　→　　　3       2
・・・・・□・・・・□・・・・□・・・・・・・□・・・□・・・
水槽ａ@　n14　　　 n13       n12　　 →　 　 n2      n1
これが考えられる最長手順のスタートです。

逆に上記１２手前の状態をスタートとして考えて
(匹数15の水槽より今ピラニアがいる水槽に1匹ずつ入れ残りは空の水槽に入れて行くという試行を繰り返すことにして)

１手進めると 

匹数　　　15　　　　14        13　　　→　　　3       1　　　 1
・・・・・□・・・・□・・・・□・・・・・・・□・・・□・・・□・・・　
水槽ａ@　n13　　　 n12       n11　　 →　 　 n1      n15     n16
(n15,n16は別の水槽と言う意味です。)

さらにもう１手進めると 

匹数　　　15　　　　14     →   4　　　　　 2       2　　　 1
・・・・・□・・・・□・・・・・□・・・・・□・・・□・・・□・・・
水槽ａ@　n12　　　 n11    →   n1　　 　 　n15     n16     n17
となるので１３手先は 
匹数　　　15　　　　13        13　　　　　12
・・・・・□・・・・□・・・・□・・・・・□・・・・・・・
水槽ａ@　n1　　 　 n15       n16　　 　  n17
となり次の１４手目が最終手になってしまいます。 
匹数　　　14　　　　14        13
・・・・・□・・・・□・・・・□・・・・・・・・・・・・
水槽ａ@　n15　　　 n16       n17
となり過密な水槽はなくなります。

従ってお店のおじさんの言うことは正しいということになります。

(感想)

この問題は２＋３＋４＋５＋・・・＋１５＝１１９がやはりミソでしょうか。
なぜ１１９匹かを考えてみました結果こうなりました。

◆福岡県　中山 さんからの解答。

A、B、Cの三つの水そうに入っているピラニアの数をそれぞれa、b、cとする。
問題に与えられた条件から以下の３式が成り立つ。

　2(a-8) = c+8
　b-7 = a+7
　b-3 = c+3

これを解くと、a = 32、b = 46、c = 40
よって、Aの水そうに32匹、Bに46匹、Cに40匹入っていた。

『おまけの問題の解答』

答えは”正しい”

常に過密な水そうがあるという状態について考えると、必ず15匹以上入っている水そうがなければならないので、下に示す操作に用いるピラニアが最低限必要である。

最初の状態
（ピラニアの数）		151413・・・210
操作101514321
操作21015432
操作3210543
・
・
・		・
・
・
操作1413121101514
操作151413121015
操作16151413210

このように16日後に元の状態へもどり、16個の水そうでピラニアを循環させることが可能である。
この時必要なピラニアの数は、

1+2+3+・・・+13+14+15 = 120で、過密な状態を維持させるためには最低限 120匹のピラニアが必要である。
よって、119匹のピラニアでは過密な水そうはなくなってしまう。

今回のおまけの問題は、答えはわかるのですが証明しようと思うと難しいですね。
私の解答は証明にはなっていませんが、直感的にわかりやすい考え方という形でかいてみました。
詳しい証明の仕方は、皆さんの解答を参考にさせていただきます。

◆埼玉県の中学校３年生　ＭＡＳＴＥＲ さんからの解答。

まず、２の式では、ＢからＡへ７匹移してＡとＢのピラニアの数が同じになったのだから、
Ｂ−７と、Ａ＋７が等しくなります。

また、３の式では、ＢからＣに３匹移して、ＢとＣのピラニアの数が同じになったのだから、
Ｂ−３とＣ−３が等しくなります。

これを式にして、整理します。

Ｂ−７＝Ａ＋７、Ｂ＝Ａ＋１４

Ｂ−３＝Ｃ＋３、Ｂ＝Ｃ＋６

となります。
これから、ＡとＣの関係は、Ｃ＝Ａ＋８となります。

そして、１の式は、ＡからＣへ８匹移して、ＣのピラニアがＡのピラニアの２倍になっているのですが、Ａのピラニアは　さっきの式より、ＡはＣよりすでに８匹少ないので、最終的に、ＣはＡの２倍で、Ａより２４匹多くなります。
Ａは２４＋８で３２匹、Ｃは４８−８で４０匹となります。
そして、最後に、Ｂを求めると、Ｂ＝４６匹です。

Ａ＝３２、Ｂ＝４６、Ｃ＝４０

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