『今週の問題』第209回　解答

【問題１】

◆北海道　エグゼクター さんからの解答

20-5+2=17

◆熊本県　mit さん、京都府　essential さんからの解答

2^5-0!+0!
あまり綺麗ではありませんね。

◆三重県　とくしん さんからの解答

2^5-0!+0! が綺麗な形だと思います。

◆宮城県　山ちゃん さん、愛知県　Y.M.Ojisan　さんからの解答

［２０＋０−√５］＝１７
ここで、［　］：ガウス記号
（［　］の中の数を超えない最大の整数）

◆東京都　風花 さんからの解答

5 Σ k=2

（k+cos0）−cos0

k+cos0＝k+1
Σの部分の計算が，ｋが２から５までの和なので
３＋４＋５＋６＝１８
で，計算式全体が18−cos0となるので
18-1=17です。

Σを使わない（ていうかkを使わない？）もので考えました。
(5-cos0)²+cos0=4²+1=17

「綺麗」かどうかはわかりませんが，シンプルさではかなりイイ線いってるのではないかと・・・。
2^5-cos0+cos0=2⁴+1=17でもいいですね。

◆東京都　ジュンタ さんからの解答

17
=16+1
=2⁴+1
=2^5-1+1
=2^5-cos0+cos0

または　^∀ｒ∈Ｒ　（任意の実数ｒ）をもちいて
2^{5-r^0}+r⁰

◆海外　ブリタ さん、福岡県の高校生　ルート４ さん、富山県の高校生　T.I さんからの解答

25-8=17　（8は0と0の合成）

◆埼玉県の中学校３年生　たける さんからの解答

５²−８＝１７　(０を２つくっつけて８にする)

◆京都府の中学校３年生　pirochies さんからの解答

２＋５＋２×５＝１７
２０−５＋２＝１７
２⁵−２×２×２＝１７
�狽T＋２＝１７

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

2+0+0+��5=17

◆東京都　昔とった杵柄 さんからの解答

20+0!-φ(5)

◆北海道　さむびと さんからの解答

20-5⁰=17
(８進法なら成立します)

◆福岡県　数学好き子 さんからの解答

［√(２００＋５！)］

◆愛知県　迷子の雄猫 さんからの解答

［２０−√（√５０）］＝[20-2.66]=17

【問題２】

◆東京都　じー さんからの解答

【問題２−１】

数字が確定するところからきめていく。

　数字　1234567890
　最低　2211212113

　数字　123456789
　最低　222121211

　(2)-1増える9の場所を2とすると、

　数字　123456789
　個数　292222229

同様に3,4,5,6,7,8も9とならない
また、同様に9は3個以上にならないので9は1個
　9→1

　数字　12345678
　最低　32212121

　(3)-1増える8の場所を2とすると、

　数字　12345678
　個数　38222222

また、同様に8は3個以上にならないので8は1個
　8→1

　数字　1234567
　最低　4221212

　(4)-1増える7の場所を2とすると、2になる可能性のある数字は全部で6個なので矛盾

　(4)-2増える7の場所を3とすると、

　数字　1234567
　個数　4373333

同様に5,6も7とならない
また、同様に7は4個以上にならないので7は2個
　7→2

　数字　123456
　最低　432121

　(5)-1　1を6と仮定すると、6が2になり、1は6とならないため矛盾

　(5)-2　1を5と仮定すると、4か6が1となる。

　(5)-2-1　4を1と仮定する
6を2個と仮定すると2,3,5は6個にならないので矛盾
同様に6は3個以上とならないので4は1とならない。

　(5)-2-2　6を1と仮定する

　(5)-2-2-1　4を2個と仮定する
　(5)-2-2-1-1　その4の場所を2と仮定すると、

　数字　123456
　最低　432121
　個数　54*2*1　残

　(5)-2-2-1-2　その4の場所を3と仮定すると、

　数字　123456
　最低　432121
　個数　534231

　(5)-2-2-1-3　その4の場所を5と仮定すると、

　数字　123456
　最低　432121
　個数　5**241

　数字　123456
　最低　432121
　個数　552241　→条件を満たし正解   5522412113

　数字　123456
　最低　432121
　個数　5**3*1

　(5)-2-2-3　4を4個と仮定する

　数字　123456
　最低　432121
　個数　5**4*1

　(5)-2-2-3　4は未確定が3つ、すでにある4が1個より、5個以上とはならない。

　(5)-3　1を4と仮定すると、6は2以上となるが3以上とはならない
（未確定が5個しかないため例えば2,3を同時に6個にすることはできない）

よって

　数字　123456
　最低　432121
　個数　4****2 残4合計13

　(5)-3-2　6の場所を2と仮定する。

　数字　123456
　最低　432121
　個数　46***2 残3合計7

３通りの組み合わせの中で条件を満たすのは

　数字　123456
　最低　432121
　個数　463222　→条件を満たし正解   4632222113

5522412113
4632222113

【問題２−２】

２通り

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題２−１】

 現在の
 1の個数は4個です。
 2の個数は6個です。
 3の個数は3個です。
 4の個数は2個です。
 5の個数は2個です。
 6の個数は2個です。
 7の個数は2個です。
 8の個数は1個です。
 9の個数は1個です。
 0の個数は3個です。

 現在の
 1の個数は5個です。
 2の個数は5個です。
 3の個数は2個です。
 4の個数は2個です。
 5の個数は4個です。
 6の個数は1個です。
 7の個数は2個です。
 8の個数は1個です。
 9の個数は1個です。
 0の個数は3個です。

２通り。

【おまけ】

自己言及型の命題というのでしょうか？

例えば下記のような問題。

「１は□個ある。
　２は□個ある。
　０は□個ある。」

０は１個ある。
したがって、１は２個ある。
ところが、２は□個に当てはまる数が決まらない。
よって出来ない問題がある。

◆三重県　とくしん さんからの解答

1から順に4,6,3,2,2,2,2,1,1,3。
試行錯誤でとりあえず1解求めました。

【おまけ】

2桁の数を許すとしても枠の中に
7899999999と書かれていた場合など不可能な事がほぼ自明な組み合わせが存在します。
（この場合9の数に10と書くしかないが他に9と書く余地が残されていない）

余談：枠の中に何も書かれていない場合は2桁を許すと
11,2,1,1,1,1,1,1,1,1という綺麗な解があります。

◆海外　ブリタ さんからの解答

【問題２−１】及び【問題２−２】

各空欄の中の数字をそれぞれA₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀（添字は各空欄の左横の数字に対応）とおく。

また、A₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀にある数字が入っている場合に、
緑の枠内で数字のiを数え上げた個数をN(i) (i=0,1,2,…,8,9)とおく。

以下、題意を満たすA₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀が存在すると仮定して議論を進める。

各空欄も含め、緑の枠内には数字が26個記入されるので、
A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆+A₇+A₈+A₉+A₀=26が成立する。…(1)

各空欄の欄外には既に数字が記入されていることと、題意より、
2≦A₁≦9, 2≦A₂≦9, 1≦A₃≦9, 1≦A₄≦9, 2≦A₅≦9,
1≦A₆≦9, 2≦A₇≦9, 1≦A₈≦9, 1≦A₉≦9, 3≦A₀≦9が成立する。…(2)

(2)より緑の枠内には数字の０の個数が増えることはないので、
A₀=3が確定する。

(2)より緑の枠内における数字の１の個数の上限は７個。
従って2≦A₁≦7。

A₉≧2と仮定すると、（A₂,…,A₈）のうち少なくとも一つが９となるが、
いずれに当てはめてみても題意を満たすA₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀の組み合わせが得られないことから、
A₉=1が確定する。

以上の準備を経て、解を得るためのBASICプログラムは次の通り。

DIM N(0 TO 9)
MAT N=ZER
LET count=0

FUNCTION num(x)
   LET k=0
   IF x=1 THEN LET  k=2
   IF x=2 THEN LET  k=2
   IF x=3 THEN LET  k=1
   IF x=4 THEN LET  k=1
   IF x=5 THEN LET  k=2
   IF x=6 THEN LET  k=1
   IF x=7 THEN LET  k=2
   IF x=8 THEN LET  k=1
   IF x=9 THEN LET  k=1
   IF x=0 THEN LET  k=3
    
   IF a1=x THEN LET  k=k+1
   IF a2=x THEN LET  k=k+1
   IF a3=x THEN LET  k=k+1
   IF a4=x THEN LET  k=k+1
   IF a5=x THEN LET  k=k+1
   IF a6=x THEN LET  k=k+1
   IF a7=x THEN LET  k=k+1
   IF a8=x THEN LET  k=k+1
   IF a9=x THEN LET  k=k+1
   IF a0=x THEN LET  k=k+1
   LET num=k
END FUNCTION

FUNCTION judge(a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,b5,a6,b6,a7,b7,a8,b8,a9,b9,a0,b0)
   LET k=0
   IF (a1=b1) AND (a2=b2) AND (a3=b3) AND (a4=b4) AND (a5=b5) AND (a6=b6) AND (a7=b7) AND (a8=b8) AND (a9=b9) AND (a0=b0) THEN LET  k=1
   LET judge=k
END FUNCTION 

LET  a9=1
LET  a0=3
FOR a8=1 TO 9
   FOR a7=2 TO 9
      FOR a6=1 TO 9
         FOR a5=2 TO 9
            FOR a4=1 TO 9
               FOR a3=1 TO 9
                  FOR a2=2 TO 9
                     FOR a1=2 TO 7
                        IF a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a0=26 THEN                 
                           FOR i=0 TO 9
                              LET N(i)=num(i)
                           NEXT I 
                           IF judge(a1,N(1),a2,N(2),a3,N(3),a4,N(4),a5,N(5),a6,N(6),a7,N(7),a8,N(8),a9,N(9),a0,N(0))=1 THEN
                              PRINT a1;a2;a3;a4;a5;a6;a7;a8;a9;a0
                           END IF
                        END IF
                     NEXT A1
                  NEXT A2
               NEXT A3 
            NEXT A4 
         NEXT A5 
      NEXT A6 
   NEXT A7 
NEXT A8 

END

（A₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀）＝（5, 5, 2, 2, 4, 1, 2, 1, 1, 3）または
（A₁,A₂,…,A₈,A₉,A₀）＝（4, 6, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 3）

【おまけ】

例えば、「このカギカッコの中に１が（　）個ある。」や、
「第３３問　このカギカッコの中に３が（　）個ある。」という問題には解がない。
この場合、（　）の外に既に主語の数と同じ個数だけ数字があるのが共通点のようです。

(感想）
あまり数学的な回答になりませんでした。

◆滋賀県　松尾 さんからの解答

【問題２−１】 【問題２−２】

解は以下の２通りです。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
（解１）	５	５	２	２	４	１	２	１	１	３
（解２）	４	６	３	２	２	２	２	１	１	３

【おまけ】

問題の□に数字が入らない時の １〜０ の個数(0)は

数          １   ２   ３   ４   ５   ６   ７   ８   ９   ０
個数(0)   ( ２   ２   １   １   ２   １   ２   １   １   ３ )

（１） ０ の個数(0)は３個です。
１〜９の個数が個数(0)の値以下になることは無いので、０は３個のまま変りません。
これにより、３は２個以上になります。

（２） １ の個数(0)は２個です。
（１）より３は２個以上、また、個数(0)より少くなることはないため、１になれるのは４、６、８、９の４個だけです。
これにより、６個以下の値になります。

以下、９、８、７、、、の順にどのような数値が入るのか調べます。

（３） ９の個数は２個以上になることはありません。

例えば、２の個数が９になるためには、１、３〜９のうち７つの□が２となる必要がありますが、上の（２）より、１は６以下なのでなりません。
ですから、３〜９を２個としなければなりません。
３、４を２個にするにはさらに□が必要ですが、ありません。
９は１個です。

（４） 同様に８についても、２以上になることはありません。８は１個です。

（５） 同様に７についても、３以上になることはありません。７は２個です。

（１）〜（５）までで以下の結果になります。
１〜６の□には何も入ってない時の個数(7)です。

数        １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(7) （４  ３  ２  １  ２  １）２  １  １  ３
         〜６

（６ー１）６が１個の場合を考えます。個数(6-1)は以下の通りです。

数           １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1)  （５  ３  ２  １  ２）１  ２  １  １  ３
            〜６

数               １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-2)  （５  ４  ２  １）２  １  ２  １  １  ３
                〜６

（６ー１、５ー３）６が１個、５が３個の場合を考えます。
個数は以下の通りです。 個数が５となる□が数字の１〜４に１つ必要です。
右に「」で示します。

数              １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-3) （５  ３  ３  １）３  １  ２  １  １  ３ 「５」
               〜６

４を２個とすると、

数                  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-3,4-2) （５  ４  ３）２  ３  １  ２  １  １  ３ 「４、５」

４を３個とすると、

数                  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-3,4-3) （５  ３  ４）３  ３  １  ２  １  １  ３ 「４、４、５」

（６ー１、５ー４）６が１個で、５が４個の場合を考えます。
個数は以下の通りです。
個数が５となる□が２つ必要です。
右に「」で示します。

数                  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-4)     （５  ３  ２  ２）４  １  ２  １  １  ３ 「５、５」

数                  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-4,4-2)   ５（４  ２）２  ４  １  ２  １  １  ３ 「５」

数                       １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-4,4-2,3-2)    ５（５）２  ２  ４  １  ２  １  １  ３ 「５」

４を３個とすると、

数                  １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-4,4-3)   ５（３  ３）３  ４  １  ２  １  １  ３ 「４、５」

（６ー１、５ー５）６が１個で、５が５個の場合を考えます。
個数は以下の通りです。
個数が５となる□が３つ必要です。
右に「」で示します。

数              １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-1,5-5) （５  ３  ２  ２）５  １  ２  １  １  ３ 「５、５、５」

（６ー２）６が２の場合を考えます。
個数は以下の通りです。
個数が６となる□が１つ必要です。
右に「」で示します。

数             １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(7)      （４  ４  ２  １  ２）２  ２  １  １  ３  「６」

数              １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-2,5-2) （４  ５  ２  １）２  ２  ２  １  １  ３ 「６」

数                   １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-2,5-2,4-1)  （５  ５  ２）１  ２  ２  ２  １  １  ３ 「６」

４を２個とすると、

数                   １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-2,5-2,4-2)  （４  ６  ２）２  ２  ２  ２  １  １  ３ 「４、６」

数                      １  ２  ３  ４  ５  ６  ７  ８  ９  ０
個数(6-2,5-2,4-2,3-3) （４  ６）３  ２  ２  ２  ２  １  １  ３ 「４、６」

以下、略しますが、他の解はありませんでした。
感想です。

２つの解を見て、合計が２６になることに気がつきました。
問題の範囲に２６個の数字があるのですから当然です。
これを使えないかと考えましたが、至りませんでした。

◆東京都　まっちゃん さんからの解答

【問題２−１、２−２】

１０個の空欄に入る数字をx₁,x₂,・・・,x₉,x₀とおきます。

まず緑の枠内にはx₁〜x₀を含め、計２６個の数字があるので
x₁＋x₂＋・・・＋x₉＋x₀＝２６

１〜０の数字は全部１個以上あるのでx₁〜x₀のなかに０はありません。
よってx₀＝３

今わかっている条件を書き出してみると

x₀＝３　　　　　　　　　　　　　（１）
x₁＋x₂＋・・・＋x₉＝２３　　　（２）
x₁,x₂,x₃,x₅,x₇≧２　　　　　 　（３）
x₄,x₆,x₈,x₉≧１　　　　　　　　（４）

ここでx₉＝２と仮定するとx₁〜x₈のうち１個が９となる。
x₁＝９とするとx₂〜x₈のすべてが１となり（２）、（３）に矛盾する。

x₂＝９とするとx₁,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈のうち６個が２とならなければならない。
このときx₁＋x₂＋・・・＋x₉≧２＋９＋２×６＋１＝２４となり（２）に矛盾。

x₃以降を９とすると和がさらに増えるのでx₉≠２とわかる。

またx₉をさらに大きくすることでもこの和は増加するのでx₉は１以外ありえないことがわかる。

x₀＝３,x₉＝１　　　　　　　　 （５）
x₁＋x₂＋・・・＋x₈＝２２　　　（６）
x₁,x₂,x₃,x₅,x₇≧２　　　　　 　（３）
x₄,x₆,x₈≧１　　　　　　　 　　（７）

同様にx₈＝２と仮定するとx₁〜x₇のうち１個が８となる。
x₁＝８とするとx₂〜x₇のうち５個が１となり（３）に矛盾する。

x₂＝８とするとx₁,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇のうち５個が２とならなければならない。
そのとき（６）よりx₁,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇のなかで２でないものは
２２−２ー８ー２×５＝２となり矛盾。

x₃＝８とするとx₁,x₂,x₄,x₅,x₆,x₇はすべて３となるが
このときx₁＋x₂＋・・・＋x₈＝２＋８＋３×６＝２８となり（６）に矛盾。

x₄以降を８とすると和がさらに増えるのでx₈≠２とわかる。

x₈＝３と仮定するとx₁〜x₇のうち２個が８となり、（３）、（７）から
x₁＋x₂＋・・・＋x₈≧３＋８×２＋２×３＋１×２＝２７となり（６）に矛盾。

x₈をさらに大きくすることでもこの和は増加するのでx₈は１以外ありえないことがわかる。

x₀＝３,x₈＝１,x₉＝１　　　　 　（８）
x₁＋x₂＋・・・＋x7＝２1　　 　（９）
x₁,x₂,x₃,x₅,x₇≧２　　　　　　　（３）
x₄,x₆≧１　　　　　　　　　　　（１０）

x₇＝３と仮定するとx₁〜x₆のうち２個が７となり（３）、（１０）から
x₁＋x₂＋・・・＋x₇≧３＋７×２＋２×２＋１×２＝２３となり（９）に矛盾。

x₇をさらに大きくすることでもこの和は増加するのでx₇は２以外ありえないことがわかる。　

x₀＝３,x₇＝２,x₈＝１,x₉＝１　　 　（１１）
x₁＋x₂＋・・・＋x₆＝１９　　　　　（１２）
x₁,x₂,x₃,x₅≧２　　　　　　　　　　（１３）
x₄,x₆≧１　　　　　　　　　　　　　 （１０）

x₆＝１かつx₅＝２と仮定するとx₁〜x₄は４以下の数が入ることになり（１２）を満たすためには
x₁＝x₂＝x₃＝x₄＝４しかありえないが、これは１、２、３、４の個数と一致していないので不適。

x₆＝１かつx₅＝３と仮定するとx₁〜x₄のうち１個が５となる。
１はすでに５個あるのでx₁＝５しかありえない。
このときx₂＋x₃＋x₄＝１０、x₂≧３、x₃≧３、x₄≧１から
（x₂,x₃,x₄）＝
（３,３,４）（３,４,３）（４,３,３）（３,５,２）（４,４,２）
（５,３,２）（３,６,１）（４,５,１）（５,４,１）（６,３,１）

これらはすべて個数を正しく表していないので不適。

x₆＝１かつx₅＝４と仮定するとx₁〜x₄のうち２個が５となる。
１はすでに５個あるのでx₁＝５であり、x₂〜x₄のうち１個が５となる。

このときx₂＋x₃＋x₄＝９、x₂≧３、x₃≧２、x₄≧２から
（x₂,x₃,x₄）＝
（３,２,４）（３,３,３）（４,２,３）（３,４,２）（４,３,２）（５,２,２）

これらのうち個数を正しく表しているのは（５,２,２）のみ。
これは解となっている。

x₆＝１かつx₅＝５と仮定するとx₁〜x₄のうち２個が５となる。
１はすでに５個あるのでx₁＝５であり、x₂〜x₄のうち１個が５となる。

このときx₂＋x₃＋x₄＝８、x₂≧３、x₃≧２、x₄≧１から
（x₂,x₃,x₄）＝
（３,２,３）（３,３,２）（４,２,２）（３,４,１）（４,３,１）（５,２,１）

これらのうち個数を正しく表していないので不適。

x₆＝１と固定するとx₅がとりうるのは５以下なので、x₆＝１の候補はもう無い。

x₆＝２かつx₅＝２と仮定するとx₁〜x₄のうち１個が６となる。

x₁＝６とするとx₂〜x₄のうち２個が１でなければならないが（１３）よりこれは不可能。

x₂＝６とするとx₁,x₃,x₄のうち１個が２となる。
１はすでに４個あるのでx₃,x₄の一方が２となる。

x₃＝２とするとx₁＋x₄＝７かつx₁≧４より
（x₁,x₄）＝（４,３）（５,２）（６,１）が候補となる。

これらはすべて個数を正しく表していないので不適。

x₄＝２とするとx₁＋x₃＝７かつx₁≧４より
（x₁,x₃）＝（４,３）（５,２）（６,１）が候補となる。

このなかで個数を正しく表しているのは
（x₁,x₃）＝（４,３）のみ。これは解となっている。

x₃＝６とするとx₁＝x₂＝x₄＝３としても全体で３が５個しかないので不適。

x₄＝６とするとx₁＝x₂＝x₃＝４としても全体で４が４個しかないので不適。

x₆＝２かつx₅＝３と仮定すると
x₁〜x₄のうち１個が６、さらに別の１個が５となる。

しかし、x₁＋x₂＋x₃＋x₄＝１４、
x₁≧４、x₂≧４、x₃≧３、x₄≧１からこれは不可能。　

x₆＝２と固定するとx₅をさらに大きくすることはできない。

x₆＝３かつx₅＝２と仮定するとx₁〜x₄のうち２個が６となる。

しかし、x₁＋x₂＋x₃＋x₄＝１４、
x₁≧４、x₂≧４、x₃≧３、x₄≧１からこれは不可能。

x₆＝３と固定するとx₅をさらに大きくすることはできない。

x₅≧２よりx₆をさらに大きくできる可能性は無い。

以上から解は

（x₁,x₂,x₃,x₄,x₅x₆,x₇,x₈,x₉,x₀）＝（5,5,2,2,4,1,2,1,1,3）,
（x₁,x₂,x₃,x₄,x₅x₆,x₇,x₈,x₉,x₀）＝（4,6,3,2,2,2,2,1,1,3）の2通り。

◆愛知県　Y.M.Ojisan　さんからの解答

【問題２−１】

【問題２−２】

上記２通り

∵

（１）　枠に入れる数字は１〜９でさらに詳細は下表である。
従って、０は３個に確定である。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
範囲	２〜７	２〜９	１〜９	１〜９	２〜９	１〜９	２〜９	１〜９	１〜９	３

（２）　数字の個数は全部で２６個である。

（３）　数字９の個数が２個以上可能か考える。
上表から数字１は最大７個であり、ここは９ではない。
数字２以上が９個あると、最低でも７箇所が２以上でなければならず数字１４個分である。
これは全部で数字が９＋１４＋３_０＋２_９＝２８個必要な状態であって、２６個を超える。
（_添え字は対応数字）

よって数字９は１個である。

（４）　数字８の個数が２個以上可能か考える。
（１）の表と（３）から、数字１は最大７個であり、ここは８ではない。
数字２以上が８個あると、最低でも６箇所が２以上でなければならず数字１２個分である。
これは全部で数字が８＋１２＋３_０＋１_９＋２_８＝２６個であって、２６個丁度であり、配置が１通りきまる。
しかこれは全体を満足するものでない。
よって数字８は１個である。

（５）ここで範囲を整理すると。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
範囲	４〜６	２〜７	２〜７	１〜７	２〜７	１〜７	２〜７	１	１	３

（６）数字１が最大の６個であるとすると、数字６は２個以上となり、１が減少する。
よって　数字１の個数は４か５である。

（７）数字７が３箇所以上とすると、全部で数字が
５_１＋２×３＋１＋７＋３_７＋１_８＋１_９＋３_０＝２７個であって、２６個を超える。
よって数字７は２個である。

（８）数字６が３箇所以上とするとあきらかに２６個を超過する。
よって１個か２個である。

（９）ここで途中一部省略して範囲を整理すると。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
範囲	４〜５	３〜６	２〜６	１〜４	２〜４	１〜２	２	１	１	３

（１０）数字１が４個とすると、数字６は２個。全体の個数から数字５は２個に、数字４は２個に確定。
数字３が６個になることはなく、数字２が６個確定し全体確定。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
範囲	４	６	３	２	２	２	２	１	１	３

（１１）数字１が５個とすると、数字６が２個とすると、全体の個数が超過するので１個に確定。
数字３が５個とすると全体２７個で超過。
４個とすると２６個で丁度だが、数字４の数が合わない。
２，４，５が３個とすると、３の個数に矛盾が出る。
よって数字５は４個であり、２は５個に限られる。
以上より下表まで絞られる。

数字	１	２	３	４	５	６	７	８	９	０
範囲	５	５	２	２	４	１	２	１	１	３

【おまけ】

今回の問題に限れば、人口知能的な手法で解くことが可能である。
即ち、すでに確定している部分から各数字の個数の下限を、また全体で２６個の条件から上限を決める手法により、単に特定数字毎に範囲を狭めて行き、途中で、数字１の個数を４個と５個の場合に分けて再度絞ることで解が得られた。

一方、数字３の個数で示したように、行き詰まるケースもあり、解が必ずしも存在するわけではない。

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