『今週の問題』第203回　解答

◆千葉県　菜花子 さんからの解答

【問題１】

４ ３ ９
＋１ ２ ８
５６ ７

9=8+1 7=5+2 6≠4+3
9=8+1 7=4+3 6≠5+2
9=7+2 8=5+3 6≠4+1
9=6+3 8=7+1 5≠4+2
9=5+4 8=7+1 6≠3+2
9=5+4 8=6+2 7≠3+1
以上のことから、ＡＢＣ＋ＤＥＦ は、繰り上がりのある式である。

１〜９の数字のうち、偶数は４個、奇数は５個であるから、
Ａ＋Ｄ, Ｂ＋Ｅ, Ｃ＋Ｆは、次のいずれかとなる。

  1. 偶数・偶数・奇数
  2. 偶数・奇数・奇数
  3. 奇数・奇数・奇数
いずれの場合も、繰り上がることによって Ｇ＋Ｈ＋Ｉ は偶数となる。

【問題２】

Ｇ，Ｈ，Ｉの和は、１８ である。

【問題３】

１〜９の数字を使って、ＧとＨとＩの和が偶数になるのは、次の場合である。 

Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝６　・・・３＋２＋１ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１２・・・９＋２＋１、５＋４＋３ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１４・・・９＋４＋１、９＋３＋２ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１６・・・９＋８＋１、９＋４＋３、９＋５＋２ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１８・・・式は成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝２０・・・９＋８＋３、９＋７＋４、９＋６＋５ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝２２・・・９＋７＋６、９＋８＋５ の場合、式は不成立
Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝２４・・・９＋８＋７ の場合、式は不成立
ＧＨＩが次のとき、ＧとＨとＩの和が１８となる。
９８１、９７２、９６３、９５４、８６４、７６５

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題１】

１２４＋６５９＝７８３

【問題２】

G＋H＋Ｉ＝１８

【問題３】

証明

条件として次の関係が存在する。

(1) 100A＋10B＋C＋100D＋10E＋F-100G-10H-I＝0
(2) A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＝45
(3) I−(C＋F)＝0 or 10
(4) G−(A＋D)＝0 or 1

(1)-10*(2)を計算すると

20*(G＋H＋I)＝9*{50＋(I−(C＋F))−10(G−(A+D))}

である。

(3),(4)を用いて右辺を計算すると
　９×４０ or ９×５０　or ９×６０である。

(G＋H＋I)は整数であるので　結局１８か２７であるが、
G+H+Iは高々２４であるから、１８のみである。

◆東京都の小学生　Ｋ．Ｍ． さんからの解答

【問題１】

２ ４ ６
＋７ ３ ５
９８ １

【問題２】

Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１８

【問題３】

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５。

一方、繰り上がりなしの場合
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝Ｇ＋Ｈ＋Ｉ
つまり　２（Ｇ＋Ｈ＋Ｉ）＝４５

繰り上がり１回の場合
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋１−１０＝Ｇ＋Ｈ＋Ｉ
つまり　２（Ｇ＋Ｈ＋Ｉ）＝３６

繰り上がり２回の場合
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋２−２０＝Ｇ＋Ｈ＋Ｉ
つまり　２（Ｇ＋Ｈ＋Ｉ）＝２７

がなりたつ。

つまり、繰り上がりは１回で、Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１８。

◆埼玉県　masaru2002 さんからの解答

場合分けをして考える。

１）Ｉ＝Ｃ＋Ｆ

１−１）Ｈ＝Ｂ＋Ｅ
Ｇ＝Ａ＋Ｄ

（問題１）≪解≫
必要条件　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ　より１〜９までの総和は奇数なので、上記等式を成り立たせるものは存在しない。

１−２）Ｈ＝Ｂ＋Ｅ−１０
Ｇ＝Ａ＋Ｄ＋１

（問題１）≪解≫
必要条件　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ−９　より、　各辺の可能な数の組合わせは、
(45-9)/2=18. 

（１，８，９）
（２，７，９）
（３，６，９）
（３，７，８）
（４，５，９）
（４，６，８）
（５，６，７）
18+9=27 
（１，２，３，４，８，９）
（１，２，３，５，７，９）
（１，２，３，６，７，８）
（１，２，４，５，６，９）
（１，２，４，５，７，８）
（１，３，４，５，６，８）
（２，３，４，５，６，７）
可能な組み合わせは、
(1)　（１，８，９）＝（２，３，４，５，６，７）
(2)　（２，７，９）＝（１，３，４，５，６，８）
(3)　（３，６，９）＝（１，２，４，５，７，８）
(4)　（３，７，８）＝（１，２，４，５，６，９）
(5)　（４，５，９）＝（１，２，３，６，７，８）
(6)　（４，６，８）＝（１，２，３，５，７，９）
(7)　（５，６，７）＝（１，２，３，４，８，９）
(1)の場合
Ｈ＝１．
Ｂ＋Ｅ＝４＋７　⇒
Ｇ＝９、Ａ＋Ｄ＝２＋６、Ｉ＝８、Ｃ＋Ｆ＝３＋５ or
Ｇ＝９、Ａ＋Ｄ＝３＋５、Ｉ＝８、Ｃ＋Ｆ＝２＋６ or
Ｇ＝８、Ａ＋Ｄ＝２＋５、Ｉ＝９、Ｃ＋Ｆ＝３＋６

Ｂ＋Ｅ＝５＋６　⇒　Ｇ＝８、Ａ＋Ｄ＝３＋４、Ｉ＝９、Ｃ＋Ｆ＝２＋７

∴

２４３　３４２　２４３　３５２
６７５　５７６　５７６　４６７
―――　―――　―――　―――
９１８　９１８　８１９　８１９
(2)の場合
Ｈ＝２、Ｂ＋Ｅ＝４＋８．

Ｇ＝７　⇒　Ａ＋Ｄ＝１＋５、Ｉ＝９、Ｃ＋Ｆ＝３＋６
Ｇ＝９　⇒　Ａ＋Ｄ＝３＋５、Ｉ＝７、Ｃ＋Ｆ＝１＋６

∴

１４３　３４１
５８６　５８６
―――　―――
７２９　９２７
(3)の場合
Ｈ≠３　⇒　Ｂ＋Ｅ≧１６は不可能。
従って、Ｈ＝３、Ｂ＋Ｅ＝５＋８．

Ｉ＝６　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋４、Ｇ＝９、Ａ＋Ｄ＝１＋７
Ｉ＝９　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋７、Ｇ＝６、Ａ＋Ｄ＝１＋４

∴

１５２　１５２
７８４　４８７
―――　―――
９３６　６３９
(4)の場合
Ｈ≠３　⇒　Ｂ＋Ｅ≧１７は不可能。
従って、Ｈ＝３、Ｂ＋Ｅ＝４＋９．

Ｉ＝７　⇒
　Ｃ＋Ｆ＝１＋６、Ｇ＝８、Ａ＋Ｄ＝２＋５ or
　Ｃ＋Ｆ＝２＋５、Ｇ＝８、Ａ＋Ｄ＝１＋６

Ｉ＝８　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋６、Ｇ＝７、Ａ＋Ｄ＝１＋５

∴

２４１　１４２　１４２
５９６　６９５　５９６
―――　―――　―――
８３７　８３７　７３８
(5)の場合

Ｈ＝４　⇒
Ｂ＋Ｅ＝６＋８．
Ｉ＝５　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋３、Ｇ＝９、Ａ＋Ｄ＝１＋７
Ｉ＝９　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋７、Ｇ＝５、Ａ＋Ｄ＝１＋３

Ｈ＝５　⇒
Ｂ＋Ｅ＝７＋８．
Ｉ＝４　⇒　Ｃ＋Ｆ＝１＋３、Ｇ＝９、Ａ＋Ｄ＝２＋６
Ｉ＝９　⇒　Ｃ＋Ｆ＝３＋６、Ｇ＝４、Ａ＋Ｄ＝１＋２

∴

１６２　１６２　２７１　１７３
７８３　３８７　６８３　２８６
―――　―――　―――　―――
９４５　５４９　９５４　４５９
(6)　（４，６，８）＝（１，２，３，５，７，９）の場合
Ｈ＝４　⇒
Ｂ＋Ｅ＝５＋９．
Ｉ＝８　⇒　Ｃ＋Ｆ＝１＋７、Ｇ＝６、Ａ＋Ｄ＝２＋３

Ｈ＝６　⇒
Ｂ＋Ｅ＝７＋９．
Ｉ＝４　⇒　Ｃ＋Ｆ＝１＋３、Ｇ＝８、Ａ＋Ｄ＝２＋５
Ｉ＝８　⇒　Ｃ＋Ｆ＝３＋５、Ｇ＝４、Ａ＋Ｄ＝１＋２

∴

２５１　２７１　１７３
３９７　５９３　２９５
―――　―――　―――
６４８　８６４　４６８
(7)　（５，６，７）＝（１，２，３，４，８，９）の場合
Ｈ＝７、Ｂ＋Ｅ＝８＋９
Ｉ＝５　⇒
Ｃ＋Ｆ＝１＋４、Ｇ＝６、Ａ＋Ｄ＝２＋３
Ｃ＋Ｆ＝２＋３、Ｇ＝６、Ａ＋Ｄ＝１＋４

Ｉ＝６　⇒　Ｃ＋Ｆ＝２＋４、Ｇ＝５、Ａ＋Ｄ＝１＋３

∴

２８１　１８２　１８２
３９４　４９３　３９４
―――　―――　―――
６７５　６７５　５７６
２）Ｉ＝Ｃ＋Ｆ−１０
２−１）Ｈ＝Ｂ＋Ｅ＋１
Ｇ＝Ａ＋Ｄ

（問題１）≪解≫
必要条件　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ−９　より、
可能な数の組合わせは、１−２）と同じである。

また解は、１−２）の解を
Ｈ→Ｉ、Ｉ→Ｇ、Ｇ→Ｈと入れ替えれば良い。
（同様に、Ａ〜Ｆの値も入れ替える）

２−２）Ｈ＝Ｂ＋Ｅ−９
Ｇ＝Ａ＋Ｄ＋１

（問題１）
必要条件　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ−１８　より１〜９までの総和は奇数なので、上記等式を成り立たせるものは存在しない。

【解答】

【問題１】

１−２）より 

２４３　３４２　２４３　３５２
６７５　５７６　５７６　４６７
―――　―――　―――　―――
９１８　９１８　８１９　８１９

１４３　３４１
５８６　５８６
―――　―――
７２９　９２７

１５２　１５２
７８４　４８７
―――　―――
９３６　６３９

２４１　１４２　１４２
５９６　６９５　５９６
―――　―――　―――
８３７　８３７　７３８

１６２　１６２　２７１　１７３
７８３　３８７　６８３　２８６
―――　―――　―――　―――
９４５　５４９　９５４　４５９

２５１　２７１　１７３
３９７　５９３　２９５
―――　―――　―――
６４８　８６４　４６８

２８１　１８２　１８２
３９４　４９３　３９４
―――　―――　―――
６７５　６７５　５７６
２−１）より 
３２４　２３４　３２４　２３５
５６７　６５７　６５７　７４６
―――　―――　―――　―――
８９１　８９１　９８１　９８１

３１４　１３４
６５８　６５８
―――　―――
９７２　７９２

２１５　２１５
４７８　７４８
―――　―――
６９３　９６３

１２４　２１４　２１４
６５９　５６９　６５９
―――　―――　―――
７８３　７８３　８７３

２１６　２１６　１２７　３１７
３７８　７３８　３６８　６２８
―――　―――　―――　―――
５９４　９５４　４９５　９４５

１２５　１２７　３１７
７３９　３５９　５２９
―――　―――　―――
８６４　４８６　８４６

１２８　２１８　２１８
４３９　３４９　４３９
―――　―――　―――
５６７　５６７　６５７
ただし、ＡとＤ、ＢとＥ、ＣとＦの値はそれぞれ入れ替え可能です。
（すなわち、それぞれの解は８パターンある）

【問題２】

Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１８

【問題３】

必要条件　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ−９　より

Ｘ＝Ｇ＋Ｈ＋Ｉ、Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆとして下記連立方程式を得る。

Ｘ＝Ｙ−９
Ｘ＋Ｙ＝４５

これを解けば、Ｘ＝１８

∴　Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝１８

【おまけ】

２１×８×２＝３３６

∴　３３６通り

◆東京都　建築家 さんからの解答

○まず簡単の為A＞D、B＞E、C＞Fとする。…(i)

桁ごとに分けた場合
A+D→G
B+E→H
C+F→I
のうち桁上がりするものの数をn個とすると(n=0,1,2)

辺々足して
(A〜F)＝G+H+I+9*n

両辺に(G+H+I)を加えて
(A〜G)＝45＝2*(G+H+I)+9*n

するとG,H,Iが自然数なのでn=1となって
結果　(G+H+I)＝18　となることが分かる。

○次にまた簡単の為
A+D=G
B+E=H-1
C+F=I+10
であるとして考えてみる…(ii)

上の結果よりあり得る(G,H,I)の組の可能性は順不同で

(9,8,1)(9,7,2)(9,6,3)(9,5,4)(8,7,3)(8,6,4)(7,6,5)

後は地道に数えて 

(9,8,1)…４通り
(9,7,2)…２通り
(9,6,3)…２通り
(9,5,4)…４通り
(8,7,3)…３通り
(8,6,4)…３通り
(7,6,5)…３通り
で計２１通り。

☆(9,8,1)を例として考えると

I＝1となるので(C,F)の可能性は(7,4)(6,5)のどちらかで、
残りの数字をA〜D,G,Hにあてはめて成立するのは

657+324=981
657+234=891
567+324=891
746+235=981
の４つである。

☆GHI＝
981(×２),891(×２), 972,792,963,
693,954,594,945,495,873,783(×２),
864,846,486,657,567(×２)
（(×２)はA〜Dの組み合わせが２つづつある）

○(i)(ii)をふまえると（(ii)は桁上がりするのが一と十の位の２通りがある。）

全部で　21*23*2＝３３６通りとなる

◆東京都　高橋　英文 さんからの解答

【問題１】

１ ６ ２
＋３ ８ ７
５４ ９

【問題２】　18

【問題３】

Ａ Ｂ Ｃ
＋Ｄ Ｅ Ｆ
ＧＨ Ｉ

から

A*100+B*10+C+D*100+E*10+F=G*100+H*10+I--(0)

この式を９で割ると
A+B+C+D+E+F=G+H+I (mod 9)--(1)

A,B,C,D,E,F,G,H,Iは1〜9のうちのどれかであるから
A+B+C+D+E+F+G+H+I=45 (1〜9の和)--(1-1)

この式を９で割ると
A+B+C+D+E+F+G+H+I=0 (mod 9)--(2)

(1),(2)から
2(G+H+I)=0 (mod 9)を経て
G+H+I=0 (mod 9)--(3)

またA,B,C,D,E,F,G,H,Iは1〜9のうちのどれかであるから

G+H+I ≧1+2+3=6--(4)
G+H+I ≦9+8+7=24--(5)

(3),(4),(5)からG+H+I=9 または18--(5)

G+H+I=9は矛盾(証明2に譲る)するのでG+H+I=18となる

(証明2)

G+H+I=9の場合矛盾することを以下に示す。
A＜Dと仮定する。

●G=7,8,9はありえない(G+H+I=9となるH,I(Gと異なる1〜9)はない)

●G=1,2はありえない(A,Dが取りうる値を考慮すれば、詳細略)

●G=3のとき(A,D)=(1,2)

G,H,Iの組み合わせとして考えられるのは
(G,H,I)=(3,1,5),(3,2,4),(順序入れ替え版)

H,Iの値で1,2を使っているが、1,2はA,Dの値で用いられているので矛盾

●G=4のとき
繰り上がりを考慮すると(A,D)=(1,2)or(1,3)

G,H,Iの組み合わせとして考えられるのは
(G,H,I)=(4,3,2),(順序入れ替え版)

H,Iの値で2,3を使っているが、2,3はA,Dの値で用いられているので矛盾

●G=5のとき
繰り上がりを考慮すると(A,D)=(1,3)or(1,4)or(2,3)

G,H,Iの組み合わせとして考えられるのは
(G,H,I)=(5,3,1),(順序入れ替え版)

H,Iの値で1,3を使っているが、1,3はA,Dの値で用いられているので矛盾

●G=6のとき
繰り上がりを考慮すると(A,D)=(1,4)or(1,5)or(2,3)or(2,4)

G,H,Iの組み合わせとして考えられるのは
(G,H,I)=(6,1,2),(順序入れ替え版)

H,Iの値で1,2を使っているが、1,2はA,Dの値で用いられているので矛盾

以上

【おまけ】　336

◆東京都　明 さんからの解答

【問題１】

234+657=891

考え方は【問題３】が起点になりましたので、【問題３】で回答します。

【問題２】

ＧとＨとＩの和は18です。

【問題３】

加算で桁上がりが全くない場合は、加算の数の総計と和の数の総計は同じになりますので、加算の数と和の数の総計は2で割り切れな くてはなりません。

一方実際の加算の数と和の数の総計は45となっていますので、少なくとも１つの桁は桁あがりがなくてはなりません。

一つの桁で桁上がりがあった場合は、和の数の総計は加算の数の総計から9を引いたものとなります。

したがって、この場合、加算の数の総計は(45+9)/2=27で、
和の数の総計は27-9=18となります。

２つの桁で桁上がりがあった場合は、和の数の総計は加算の数の総計から18を引いたものとなりますので、
加算の数の総計は(45+18)/2ですが、整数になりませんので、この場合は除外されます。

最上位は桁あがりをしていませんので、結果は１桁のみ桁上がりがある場合のみ覆面算が成立し、
この時、ＧとＨとＩの和は18です。

加えて18になる３つの数の組み合わせを拾い上げ１桁のみ繰り上がりがある条件で覆面算が成立するよう数値を決めて行きました。

【おまけ】

加えて18になる３つの数の組み合わせを拾い上げると

(9,8,1)、(9,7,2)、(9,6,3)、(9,5,4)、(8,7,3)、(8,6,4)、(7,6,5)

の7通りのみ。

(9,8,1)の場合、繰り上がりができるのは
和の"1"の桁が7+4、6+5の２通り。

7+4の場合、324+567=891が覆面算に適合します。

１つの解に対し、桁上がりの位置を変えたもの（1の位と10の位）と加算の数値の上下を入れ替えたものの16通りの組み合わせが同種の解 となります。
（例　243+675=918、564+327=891　等)

7+4の場合、他に別種の解が２種類あります。

この方法ですべての場合を洗いだしました。
基本的な解は以下21通りとなりました。
（桁上がりを１位に揃えました。）

234+657=891
324+567=891
324+657=981
235+746=981
134+658=792
314+658=972
215+478=693
215+748=963
127+368=495
317+628=945
216+378=594
216+738=954
124+659=783
214+569=783
214+659=873
127+359=486
317+529=846
125+739=864
128+439=567
218+349=567
218+439=657
すべての適合する解は上記の基本解について、桁上がりの位を10の位にしたものと、加算の数値の上下を入れ替えたもので総計336通りとなります。
確認のため計算機で総当りをして、適合数336個を確認しました。

適合する場合が意外に多いので不思議に感じました。
適合し易い理由が何かあるのでしょうか。

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