数学の部屋へもどる。
◆富山県 ユウ☆ＣＨＡＮ さんからの解答。
取りあえずぅ、連立方程式でも作ってみましょぉ〜、ってなわけで、連立方程式作ってみました
ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄ＝１００００・・(1)
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝５０・・(2)
取りあえず作ってみたけど・・・方程式２つじゃ、変数４つ求めるのはムリやなぁ（涙）
だって、変数の数だけ方程式ないと、変数が分からないんだもんねぇ
ココで、「無理っ！！」って言っちゃうのもいぃ〜んだけどぉ
でも、少し粘りましょっ
ってワケで、(2)を変形しましてｃをｃ以外の変数でまとめてみました
ｃ＝５０−（ａ＋ｂ＋ｄ） ・・（2'）
んでもって、(2')を(1)に代入してみます
ａ＋１０ｂ＋１００｛５０−（ａ＋ｂ＋ｃ）｝＋１０００ｄ＝１００００
−９９ａ−９０ｂ＋９００ｄ＝５０００
−９（１１ａ＋１０ｂ）＋９００ｄ＝５０００ ・・(3)
取りあえずぅ、ココまで（変数３つ）まで来たけど・・・やっぱ躓いてしまった（涙）
さてさて、「現場１００回」って言葉にしたがい、(1),，(2)を見てみるコトにしました
うぅ〜ん・・・有り得ない値を見つけてみました
ｄは５から９の値のハズ
５以下だと、どぉ〜考えても１００００円に到達出来なくなっちゃう
９以上だと、１００００円超えてしまう
コレを、（３）に入れてみると
・ｄ＝５
−９（１１ａ＋１０ｂ）＋９００×５＝５０００
−９（１１ａ＋１０ｂ）＝５００
９（１１ａ＋１０ｂ）＝−５００
・ｄ＝６
−９（１１ａ＋１０ｂ）＝−４００
９（１１ａ＋１０ｂ）＝４００
・ｄ＝７
−９（１１ａ＋１０ｂ）＝−１３００
９（１１ａ＋１０ｂ）＝１３００
・ｄ＝８
−９（１１ａ＋１０ｂ）＝−２２００
９（１１ａ＋１０ｂ）＝２２００
・ｄ＝９
−９（１１ａ＋１０ｂ）＝−３１００
９（１１ａ＋１０ｂ）＝３１００
・・・（４）
（４）のいずれの式からも、問題の条件を満たす答えが見つからない
なぜなら・・・（１１ａ＋１０ｂ）の値が小数になってしまうから
なのに、（１１ａ＋１０ｂ）は明らかに整数のハズなのにコレはおかしい
なんで、こぉ〜なったのかと思ったら・・・最初に成り立ちもしない連立方程式を導入したから
だから、始めから１００００円にしよ〜なんて無理な相談だったんだ。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
１円玉をＷ個、１０円玉をＸ個、１００円玉をＹ個、１０００円札をＺ枚使用するとする。
Ｗ、Ｘ、Ｙ、Ｚは負でない整数とする。
Ｗ＋Ｘ＋Ｙ＋Ｚ＝５０．．．．．．．．．．．．．．．．．１）
Ｗ＋１０Ｘ＋１００Ｙ＋１０００Ｚ＝１００００．．．．．２）
２）−１）
９（Ｘ＋１１Ｙ＋１１１Ｚ）＝９９５０．．．．．．．．３）
９９５０＝２×５×５×１９９。
９９５０は３の素因数を持たないので３）式を満たすＸ、Ｙ、Ｚは存在しない。
したがってＷも存在しない。
答え 不可能です。
◆徳島県 佐藤 千恵 さんからの解答。
答えは不可能だった。
なぜなら、一円玉はこの場合十枚以上にして十円、二十円、三十円、四十円、とあらわすことができる
それと 十円玉をたして、百円、二百円、三百円となるように枚数を合わす。
そして百円玉を Ｚまい、 千円札を Ｍまい にして、
◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
１０００円５０枚で５万円です。
このうち何枚かを、１円、１０円、１００円と入れ替えて、１万円になるようにするわけですが、
１円に替えると、９９９円減、
１０円に替えると、９９０円減、
１００円に替えると、９００円減となり、いずれも９の倍数だけ変化します。
これらの組み合わせで、４万円減（９の倍数でない）は作れないので、金額を１万円にすることは出来ない。
◆千葉県 Lliy of the valleyさんからの解答。
We put x : the number of '1yen dama',
y : the number of '10yen dama',
z : the number of '100yen dama'. (x+y+z＜51)
so x+10y+100z+1000(50-x-y-z)=10000 (*)
then ,x equiv 0 (mod. 10)
x+10y equiv 0 (mod. 100)
x+10y+100z equiv 0 (mod.1000)
so we may put x=10a
a+y=10b
b+z=10c (a,b,c is natural number including 0)
then we get x=10a,y=10b-a,z=10c-b into (*)
10a+10(10b-a)+100(10c-b)+1000(50-10a-10b+a-10c+b)=10000
1000(50-9a-9b-9c)=10000
then 9(a+b+c)=40
but a+b+c is natural number(including 0), and 9N not 40
so x,y,z satisfying the question is not exist.
p.s. if n=50 ,9(a+b+c) not 40...x,y,z is not exist.
then if n=9N+10
1000(9N+10-9a-9b-9c)=10000
so 9N=9(a+b+c)
N=a+b+c
when a=b=0,c=N,
x=y=0,z=10N,
x+10y+100z+1000(9N+10-x-y-z)
=1000(10N+10-10N)=10000
so if n=9N+10 ,x,y,z is exist.
◆東京都 imopy さんからの解答。
１円，１０円，１００円，１０００円で１万円を（枚数を気にせずに）作るには，例えば
１円：１０枚
１０円： ９枚
１００円： ９枚
１０００円： ９枚
合 計：３７枚 で可能。
ここで，枚数を５０枚にするには１３枚増やす必要があります。
が，同額の１万円を達成するには
１０００円→１００円：９枚増
１００円→ １０円：９枚増
１０円→ １円：９枚増
となり，これらの組み合わせということになると，９の倍数しか増加しません。
従って，３７枚＋９枚＝４６枚はできても，それ以上５０枚に近づけることはできないことになります。
これは１０００円：１０枚からスタートしても，勿論他の状態からスタートしても同じ結果になります。
（１０００円：１０枚からスタートしても，１０＋９Ｘ＝４６枚が５０枚に一番近い答えということになります。）
っということで，題意とおり５０枚で１万円は作れない。
◆石川県 ☆ゆうさんからの解答。
１００００を作るのですから、一、十、百の位は０にしなければならないので、
一の位は０なので
１→×１０ ×２０ ×３０ ×４０ ×５０
１０→× ９ × ８ × ７ × ６ × ５
１００→× ９ × ９ × ９ × ９ × ９
１０００→× ９ × ９ × ９ × ９ × ９
――――――――――――――――――――――――――
枚 数 ３７ ４６ ５５ ６４ ７３
と、なるので、５０枚というのはありません。
同じように、一の位を０にしても、
１→× ０ × ０ × ０ × ０ × ０
１０→×１０ ×２０ ×３０ ×４０ ×５０
１００→× ９ × ８ × ７ × ６ × ５
１０００→× ９ × ９ × ９ × ９ × ９
――――――――――――――――――――――――――
枚 数 ２８ ３７ ４６ ５５ ６４
５０枚と、いうのはない。
しかも枚数は、十の位は、−１され、一の位は、＋１されていて、規則的になっています。
同様に一、十の位を０にしても、枚数は左から「１９，２８，３７，４６，５５」になるので、
１，１０，１００，１０００で１００００を作るのは無理だと思います。
◆岡山県 AZさんからの解答。
１０００円札 a枚
１００円玉 b枚
１０円玉 c枚
１円玉 ｄ枚 とする。
1000a+100b+10c+d = 10000 ・・・@
a+ b+ c+d = 50 ・・・A
@-A
999a+ 99b+ 9c =9950
9(111a+ 11b+ c) =9950
a，b，cは自然数より左辺は９の倍数
しかし、右辺の９９５０は９の倍数でない。
したがって、題意を満たすa,b,c,dは存在しない。
◆神奈川県 三島 久典さんからの解答。
＜結論＞不可能。
１円玉の枚数をａ
１０円玉の枚数をｂ
１００円玉の枚数をｃ
１０００円札の枚数をｄ
とすると、問題は、
ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄ＝１００００……（１）
かつ
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝５０……（２）
を満たす０以上の整数ａ、ｂ、ｃ、ｄを求めよ、
ということになる。
（１）（２）を９の剰余類（９で割った余り）で考えると、
（１）の左辺＝ａ＋１０ｂ＋１００ｃ＋１０００ｄ
≡ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ（mod 9）
≡（２）の左辺
（１）の右辺＝１００００
≡１（mod 9）
ところが、
（２）の右辺＝５０
≡５（mod 9）
となり、
（１）の右辺≠（２）の右辺（mod 9）
よって、（１）（２）を同時に満たすような０以上の整数ａ、ｂ、ｃ、ｄは存在しない。
＜コメント＞
５円、５０円、５００円、５０００円も許すと、問題は飛躍的に難しくなります。
線形計画法で地道にやるぐらいしか思い付きません。
◆千葉県 Lliy of the valleyさんからの解答。
上のコメントについて、多少考察してみましたので、報告いたします。
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(問)1、5、10、50、100、500円玉、1000、5000円札を合わせて n 枚使って、合計金額をちょうど一万円にすることができるでしょうか？ (答) すくなくても(n=2) または (5＜n＜2001) のとき可能 |
(解) まず、1000円をあらわすのに、1000×1 → 500×2 とすると、 金額は変化せずに、使用する枚数のみが 1 増加します。
このような変換を Ｔ変換とよぶことにすると、
10000 = 1000×10 ：10枚
→1000×9＋500×2 ：11枚
→1000×8＋500×4 ：12枚
→ … … …
→1000×0＋500×20 ：20枚
というように、10000 = 1000a＋100b＋10c とあらわされているときは、Ｔ変換を繰り返しおこなうことによって、
n=(a+b+c)枚〜2(a+b+c)枚に対して合計金額をちょうど一万円にすることができる。
また、10000 = 1000×10 ：10枚
→1000×9＋100×10 ：19枚
→1000×8＋100×20 ：28枚
というようにあらわすこともできて、
10000 = 1000×a＋100×10(10-a) (0＜a＜11) …(1)
とあらわされているとき、
10000 = 1000×(a-1)＋100×10(11-a) …(2)
ともでき、このとき(1)式では
n=a+10(10-a)=100-9a 枚〜200-18a 枚のとき、合計金額を一万円にでき
(2)式では n=109-9a 枚〜220-18a 枚のとき、条件をみたすことがわかる。
ここで、 (200-18a)-(109-9a)=91-9a > 0 より、
(1)、(2)式をもちいて、条件をみたす n の範囲をもとめるとき、
(1) 100-9a → 200-18a
(2) 109-9a → 220-18a
というように、範囲がリレー方式でつながっていくので、結局
10000 = 1000×10 ：10〜20枚
→ 1000×9＋100×10 ：19〜38枚
→ 1000×8＋100×20 ：28〜56枚
→ … … …
→ 1000×0＋100×100 ：100〜200枚
となり、 10＜n＜200 のとき、合計金額を一万円にできることがわかる。
同様にして、 10000 = 100×100 となっているときもかんがえると、
10000 = 100×100 ：100〜200枚
→100×99＋10×10 ：109〜218枚
→100×98＋10×20 ：118〜236枚となり、
10000 = 100×b＋10×10(100-b) (0＜b＜101) …(1) のとき
10000 = 100×(b-1)＋10×10(101-b) …(2) とでき、
(1)式では n=1000-9b 枚〜2000-18b 枚のとき条件をみたし、
(2)式では n=1009-9b 枚〜2018-18b 枚のとき条件をみたす。
ここで、(2000-18b)-(1009-9b)=991-9b>0 より、このときも先程と同様に範囲がリレー方式でつづいているので、結局
10000 = 100×100 ：100〜200枚
→ … … …
→100×0＋10×1000 ：1000〜2000枚
の、99＜n＜2001 のとき、条件をみたすことがわかる。
ここで、n=2 のときは 5000×2
n=6 のときは 5000×1＋1000×5
： これはＴ変換を繰り返しおこなうことにより、5＜n＜12 のとき条件をみたすことを意味する。
ゆえに、まとめると、n=2, 5＜n＜2001 のとき条件をみたすことがわかった。
ここで、n=50 のときをかんがえてみると、
10000 = 1000×6＋100×40 ：46枚
とできるので、これにＴ変換をおこなうと、たとえば
10000 = 1000×6＋100×36＋50×8 や
10000 = 1000×2＋500×8＋100×40 などといった方法であらわせる。
一般的なアルゴリズムはおそらく発見できないが、
10000 = 1000×a＋100×b＋10×c (24＜a+b+c＜51)
という形になる a,b,c をもとめて、それにＴ変換をおこなうことであろう。
しかし、この方法で最多の場合 ３50-(a+b+c)個の組み合わせができてしまうので、
n=50 のときの組み合わせすべてをもとめるには、そうとうな苦労が必要であろう。
(感想)どうにかしてアルゴリズムをもとめることができないものでしょうか。
◆長野県 深澤 隆英 さんからの解答。
「不可能」
１円玉を10枚集めると10円
10円玉を10枚集めると100円
‥‥
というように、硬貨は10枚単位にまとめないと端数が必ず出てしまう。
よって、10000円というちょうどの数にするには計50枚という数では不可能。
◆京都府 みなみようへい さんからの解答。
題意を満たす一円玉，十円玉，百円玉，千円札の枚数をA，B，C，Dとし、その存在を仮定する。
そして、
A＋10B＋100C＋1000D＝10000 …(1)
A＋B＋C＋D＝50 …(2)
とすると、(1)−(2)より、
9B＋99C＋999D＝9950 …(3)
(3)の左辺は9の倍数なのに右辺は9の倍数ではないから矛盾する。
よって題意を満たすA，B，C，Dは存在しないので、
「不可能」である。
感想
50円玉や500円玉を使うとできるかもしれませんね。
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