数学の部屋へもどる◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
【問題１】
西暦2004年は平成16年ゆえ
（H,P)＝（1、6）
与式に代入
1A66Y+NEW-YEAR＝2004
1A66Y+NEW ＝2004+YEAR
左辺≧10662
∴Y=8 or 9
（T）Y=8のとき
1A668+NEW-8EAR=2004
8+W-R＝10α +4
α+6+E-A＝10β +0
β+6+N-E＝10γ +0
γ+10+A-8＝ 2
（α、β、γ ＝ 0 or 1 繰り上がりを表わす値）
まとめると
4+W-R＝10α (1)
α+6+E-A＝10β (2)
β+6+N-E＝10γ (3)
γ+A＝0 (4)
(4)より（γ、A)＝（0、0）
(2)α+6+E＝10β、6≦α+6+E≦16
6≦ 10β ≦16
∴β＝1
α+6+E＝10
α+E＝4
（α、E)＝（0、4）or（1、3）
(3) 7+N-E＝0
7+N＝E＝3or4
N≧0 ゆえ、矛盾
（U）Y＝9のとき 同様に γ+A＝1 より
（γ、A)＝（0、1）or（1、0）
（U−i）γ＝0、A＝1のとき
同様に 7+N＝E=4or5 を得る
N≧0 ゆえ、矛盾
（U−ii）γ＝1、A＝0 のとき
同様に （α、E)＝（0、4）or（1、3） を得る
7+N-E＝10
N-E＝3
∴（N,E)＝（7、4）or（6、3）
P＝6 ゆえ N≠6
∴N＝7
（N,E,α）＝（7、4、0）
5+W-R＝10α
5+W-R＝0
5＝R-W
9 4 Y=9,E=4 X以上より
8 3 〇
7 2 N=7 X
6 1 P=6,H=1 X
5 0 A=0 X
H A P Y N E W R 1 0 6 9 7 4 3 8与式は 10669+743-9408＝2004
◆神奈川県の小学生 林 直人 さんからの解答
【問題１】
まず、Hが1で、Pが6だということが、2004年が平成16年だということから分かりました。
次に、
1×10000+A×1000+6×110+Y×1+N×100+E×10+W×1-Y×1000-E×100-A×10-R×1=2004
という式が立てられ、数が分かっている10660を2004から引くと、-8656になります。
それは、990A+100N+W-999Y-90E-Rの答えになります。
そして、計算をしてみると、Yが9の時しかその式が成り立たないことが分かります。
なぜなら、999Y+90E+Rが、Aを0としても、100N+Wの最低値である203プラス8656以上にならなくてはいけないからです。
そして、Yがたとえ9であるとしても、Aが1以上だとYをほとんど打ち消してしまうので、Aは必ず0でなくてはいけないのです。
次に、N、E、R、Wを求めます。式を立てると
100N+W-90E-R=8991-8656=335
となります。
つまり、NとEの差は330前後になるはずです。
そのことから、NとEの差は3だということが分かり、残った数の中で、差が3となる組み合わせ、かつ、この式に当てはまるのは(7、4)です。
そして、W、Rの組み合わせは(8、3)、(3、8)、(7、2)、(2、7)のどれかになります。
Nが7と決まってしまったので、(7、2)(2、7)の組み合わせは、同じ数を使ってはいけないという問題の条件に反することになり、使えません。
(8、3)(3、8)の組み合わせで当てはまる方を考えると、W、Rの順に、3、8となります。
これですべての文字が求められました。
表を書いて推理していったら何とかできました。
ぼくは、時間をかけて問題を解くのが好きなので楽しかったです。
この問題でぼくが使った、10の位なら10倍し、100の位なら100倍するというやり方は効率的なやり方だと思います。
もっと早いやり方があったら知りたいです。
また、ぼくは算数が好きなので来週の問題もやってみたいです。
◆京都府の中学校２年生 pirochies さんからの解答
【問題１】
解答は、H=1,A=0,P=6,Y=9,N=7,E=4,W=3,R=8です。
覆面算の答えは、10669+743-9408=2004です。
そう考えた理由
H=1,P=6とということははじめにわかっています。
これを筆算にあらわすと、 1A66Y
+ NEW
- YEAR
= 2004
です。
Ａには１か０が入りますが、１はすでに使われているので、Ａは０です。
すると、Ｙが９じゃないと、覆面算の答えが２００４にはなりません。
よってＹは９です。
ここまでを筆算にすると、 10669
+ NEW
- 9E0R
2004
です。
次に、十の位と百の位に注目します。
十の位「６＋Ｅ−０＝１０」 →Ｅは３で一の位が繰り上がる 又は Ｅは４で一の位は繰り上がらない
百の位「６＋Ｎ−Ｅ＝０か１０」
十の位より、Ｅは３か４です。
しかし、Ｅを３とした場合、
百の位は「１（繰り上がり）＋６＋Ｎ−３＝１０」となり、Ｎが６でないと成り立たなくなります。
６はすでに使われているので、Ｎ＝６には出来ません。
つまり、Ｅ＝３とするとあわなくなります。
よってＥ＝４。
Ｅは４なので、百の位は「１（繰り上がり）＋６＋Ｎ−４＝１０」
よってＮ＝７。
ここまでを筆算にすると、 10669
+ 74W
- 940R
2004
最後に、１の位。まだ使われていない数は（２，３，５，８）の４種類です。
この４種類の数を使って、「９＋Ｗ−Ｒ＝４」となるのは、Ｗ＝３、Ｒ＝８のときだけです。
よって、Ｗ＝３，Ｒ＝８。
だから、各文字に当たる数字は[H=1,A=0,P=6,Y=9,N=7,E=4,W=3,R=8]
式は、[10669+743-9408=2004]となりました。
感想：
僕は覆面算に興味があるので、このような問題は大好きです。
実ははじめ、Ｈ＝１，Ｐ＝６としなければいけないのがわからなくて、「できた！」とおもったら「Ｐは６です」といわれてやり直し、、、ということがありました。
難しそうな問題でしたが、がんばって理詰めで解くことが出来ました。
来週の問題も挑戦しようと思います。
◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
【問題１】
[1] 千の位を考えて，A≦2 かつ Y≧7 を得る。
[2] このとき一の位を考えると，十の位からの借りを含む
10＋Y＋W−R ＝ 4
となることはあり得ない 。
(∵13＋W ≦ 6＋Y＋W ＝ R)
したがって，
Y＋W−R ＝ 4 または 14
である。
[3] このとき十の位は
6＋E−A ＝ 0 または 10
7＋E−A ＝ 0 または 10
のいずれかとなる。
A≦2 だから百の位からの借りを含む場合はあり得ない。
さらに，
4＋E ≦ 6＋E−A ＝ 0 または 10
5＋E ≦ 7＋E−A ＝ 0 または 10
であるから右辺は 10 に確定する。
したがって，(A, E) の組は
(A, E) ＝ (0, 4), (0, 3), (1, 5), (1, 4), (2, 5)
のいずれかである。
(E＝6 は P と重複する)
[4] このとき百の位は
7＋N−E ＝ 0 または 10
である。
E＝3, 4，5 だから千の位からの借りはあり得ない。
さらに，右辺は 10 に確定する。このとき，E と N の組は
(E, N) ＝ (4, 7), (5, 8)
のどちらかである。
(N＝6 は P と重複する)
[5] このとき千の位は
11＋A−Y ＝ 2
であるから，
(A, Y) ＝ (0, 9)
と確定する。
したがって，[3] と [4] より
(E, N) ＝ (4, 7)
と確定する。
このとき，[2] から [3] への繰り上がりはないから
9＋W−R ＝ 4 ⇒ 5＋W ＝ R
となるので，他の文字との重複を考えて
(W, R) ＝ (3, 8)を得る。
【問題２】
次のような方法に基づいて 9 通りの解が得られました。
【１】演算子
演算子を「＋」「−」「＊」「÷」「＾」「．」の６種類とする。
各演算子の意味と制限は次のとおり：
・「＋」… x＋y で x に y を加える （制限なし） ・「−」… x−y で x から y を引く （制限なし） ・「＊」… x＊y で x に y を掛ける （制限なし） ・「／」… x／y で x を y で割る （制限： y ≠ 0） ・「＾」… x＾y で x を y 乗する （制限： 注１） ・「．」… x．y で x に y を後接する（制限： x，y は計算結果でない）
・y＝0 のとき： ‐x＝0 のとき： 不能 ‐それ以外のとき： 1 ・y＞0 のとき： ‐y が整数のとき： ‐|x＾y| の結果が 1010 を超えるとき： 不能 *) ‐それ以外のとき： x＊x＊…＊x （y個の積） ‐それ以外のとき： ‐x＞0 のとき： exp(y logx)) ‐x＝0 のとき： 0 ‐x＜0 のとき： ‐1/y が整数となり，それが奇数のとき： -((-x)＾y) ‐それ以外のとき： 不能 ・y＜0 のとき ‐x＝0 のとき： 不能 ‐それ以外のとき： 1／(x＾(-y))*) 理論上は (ab)1/b などの中間結果で 1010を超えることがあり得るが，本問の場合はこの制限をつけても問題がないことを確認した。
【２】演算の順序
６個の数，５個の演算子を用いて演算を行う順序を考える。
xとyに演算opを施すことを次の木構造（演算木）で表現する： op┳x
┗y
演算子を n 個含む演算木を T(n) と書くと，
T(0):
数
T(n+1):
op┳T(r)
┗T(n-r)
（r＝0，…，n）
となるが，図が増えるのを避けるために r≦n-r とした演算木を以下に示す。
演算木の接続構造はこれで尽くしている。
ただし，演算を●で，数を□で表す。T(0):
□
T(1):
●┳□
┗□
T(2):
●┳□
┗●┳□
┗□
T(3):
●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗□
T(4):
●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
●┳□
┗●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗□
●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
T(5):
●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
●┳□
┗●┳□
┗●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗□
●┳□
┗●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗□
●┳●┳□
┃ ┗●┳□
┃ ┗□
┗●┳□
┗●┳□
┗□
したがって，本問の T(5) の場合には 6 通りの構造があり，順序を含めると，
各構造に対する順序を考慮して
16＋4＋8＋8＋2＋4＝42 通りある。
この 5 ヶ所の●に 6 種類の演算子を入れ，6 ヶ所の□に 6 通りの数を入れる。
ただし，数を入れるときは，2 つの「2」は区別しない。
また，重複を避けるため，T(1) の部分木において演算が「＋」または「＊」の場合には，
（上段の数）＜（下段の数）となるようにする。
演算結果に関してはこのルールは適用しない。
【３】結果
以上の準備を元にパソコンで全解探索を行ったところ，本質的に異なる解として次の 9 通りの結果を得た。
（後接演算子「．」は表示しない）
●オリジナル
((2 + 2) * 3) * 167 ＝ ((2 * 2) * 3) * 167 ＝ (2 2* 3) * 167
●解答
(1) 12 * (6 3 - 7 2)
(2) 6 * (71+2 - 3 2)
(3) 6 * (7 3 - (1 + 2) 2)
(4) 12 3 + 276
(5) 3 * (27 2 - 61)
(6) 3 * (26 2 - (1 + 7))
(7) (3 + 6 * 7) 2- 21
(8) (3 * 672) - 12
(9) (6 + 7 * 23) * 12
以上
【感想】
時間に追われるように，あまり考えることもなく，あわててperlでプログラムを作って実行させてしまいました。
実行時間はPentium III，650MHzという遅いマシン上のLinuxで数分でした。
この解答を書く方が時間がかかってしまいました。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
１０６６９＋７４３−９４０８＝２００４
ＨＡＰＰＹ＋ＮＥＷ＝２００４＋ＹＥＡＲとして考える。
Ｈ＝１ Ｐ＝６ は確定
Ｈ＝１になるにはＹ＝８｜９である。
Ｙ＝８とすると Ａ６６４＋ＮＥＷ＝ＥＡＲ でなければならず Ａ＝０である。
つまり ６６４＋ＮＥＷ＝Ｅ０Ｒ である。
Ｎは２以上だからＥ＝９しかない。
代入すると ６６４＋２９Ｗ＝９０Ｒ
つまり ５４＋Ｗ＝Ｒ でなければならず成立しない。
よって Ｙ＝９ である。
つまり Ａ０００＋ＮＥＷ＝３３５＋ＥＡＲ である。
１は使えないのでこの式からＡ＝０が確定する。
代入すると ＮＥＷ＝３３５＋Ｅ０Ｒ である。
この式よりＥは３、４である。
３の場合はＮ＝６なので成立しない。
よって Ｅ＝４、Ｎ＝７である。
つまり ５＋Ｗ＝Ｒである。
７と９は使用済みなので Ｗ＝３、Ｒ＝８である。
【問題２】
ＰＣ探索によった。基本的に異なるのは下記である。
３×６７２−１２ ：括弧、冪乗不要
１２×（２３×７＋６） ：冪乗不要
１２3＋２７６ ：括弧不要
６×（７3−（１＋２）2） ：２桁数不要
６×（７1+2−３2） ：同上
１２×（６3−７2）
３×（２６2−７−１）
（６×７＋３）2−２１
３×（２７2−６１）
◆北海道 おっ さんからの解答
【問題１】
ＨとＰはすぐ埋まると思う，という文面及びＰに６以外の数字を入れると「Ｐは６です」と言われることから，
Ｈ＝１，Ｐ＝６として考える．
もっとも，Ｈが１以外の場合，この覆面算は成立しないだろうが．
ＨとＰが決まったので，ＡとＹを考える．
下の桁の繰り上がりを考える（繰り下がりは，１６＋Ｎ−Ｅ＝０を満たせず，不適）と，
１０＋Ａ−Ｙ（＋繰り上がり）＝２となり，Ｙ−Ａは８〜９の範囲になる．
ここで既に１が使われているので，ＡとＹの組み合わせは（０，８），（０，９）が考えられ，Ａは０になる． １０６６Ｙ
＋ ＮＥＷ
− ＹＥ０Ｒ
−−−−−−
２００４
Ｙ＝８の場合，繰り上がりがないため，６＋Ｎ−Ｅ＝０．
これを満たすのは繰り上がりがある場合は（Ｎ，Ｅ）＝（２，９），
繰り上がりがない場合は（３，９）．
ここからＥ＝９となるが，６＋９−０（＋繰り上がりあるいは繰り下がり）は１４〜１６となり，不適．
Ｙ＝９を考えると，６＋Ｎ−Ｅ＋１（繰り上がり）＝１０
（１０の位の６＋Ｅ−０は０にはなりえず，そのため繰り上がりが発生する）．
よって，Ｎ−Ｅ＝３．
また，６＋Ｅ（＋繰り上がり）−０＝１０より（Ｙ＝９のため，１の位の繰り下がりは起きない），Ｅ＝３〜４．
これより，これを満たすのが（７，４）．
この場合，９＋Ｗ−Ｒ＝４．
使用できる数字が２，３，５，８の中でこれを満たすＷとＲは（３，８）となり，条件を満たす．
答）
１０６６９
＋ ７４３
− ９４０８
−−−−−−
２００４
なお，Ｐ＝６という前提条件を外すと，
１０２２８＋４７９−８７０３＝２００４
１０５５９＋８４７−９４０２＝２００４
１０７７９＋４２８−９２０３＝２００４
という解もある．
【問題２】
２×２×３×１６７が例として挙がっているので，１と２を組み合わせて１２とすることも可能であるとして，
考えられうるすべての例について（取りこぼしがある可能性あり），Ｅｘｃｅｌ２０００＋ＶＢＡにて計算した．
発見できたのは以下の通り．
なお，例題及び例題を含む交換法則で等価になる式については掲載していない．
１２×（２３×７＋６）＝２００４
１２3＋２７６＝２００４
１２×（６3−７2）＝２００４
３×（２６2−１−７）＝２００４
３×（２７2−６１）＝２００４
３×６７２−１２＝２００４
（６×７＋３）2−２１＝２００４
６×（７1+2−３2）＝２００４
６×（７3−（１＋２）2）＝２００４
◆愛知県 とくしん さんからの解答
【問題２】
C++でプログラムを書いて求めました。
バグが無ければこれで全部だと思います。
上が逆ポーランド記法での出力形式で、下が数式に直した物です。
答えが大量に出てくるとチェックが大変で計算も遅くなるので和、差の交換と積、商の交換を排除するように工夫してみました。
プログラムは普通に逆ポーランドの数式を作って答えが2004になるかどうか調べるだけの単純なものです。
が、そのままだといつまでたっても終わらないので途中で交換の排除をする事によって高速化しました。
適当に書き殴った汚いソースコードでコメントも書いてありませんが、折角なので公開します。
根性のある人は解読してみてください（ぉ12 6 3 ^ 7 2 ^ - *
12 6 7 23 * + *
2 2 * 3 * 167 *
276 12 3 ^ +
3 2 2 + * 167 *
3 2 2 ^ * 167 *
3 26 2 ^ 1 - 7 - *
3 27 2 ^ 61 - *
3 6 7 * + 2 ^ 21 -
3 672 * 12 -
6 7 1 2 + ^ 3 2 ^ - *
6 7 3 ^ 1 2 + 2 ^ - *
12*(63-72)
12*(6+7*23)
2*2*3*167
276+123
3*(2+2)*167
3*22*167
3*(262-1-7)
3*(272-61)
(3+6*7)2-21
3*672-12
6*(71+2-32)
6*(73-(1+2)2)
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