◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
Ａ→Ｅ，Ｂ→Ａ，Ｆ→Ｂ，Ｅ→Ｆ，Ａ→Ｅ，
Ｇ→Ｈ，Ｃ→Ｇ，Ｄ→Ｃ，Ｂ→Ａ，Ｃ→Ｂ，
Ｇ→Ｃ，Ｆ→Ｇ，Ｅ→Ｆ，Ａ→Ｅ，Ｂ→Ａ，
Ｃ→Ｂ，Ｇ→Ｃ，Ｃ→Ｄ，Ｆ→Ｇ，Ｇ→Ｃ，
Ｅ→Ｆ，Ｈ→Ｇ，
十進ベーシックでプログラミングしました。
最短手数 ２２手A→E １４０通り。
D→H １４０通り。
F→E ７５６通り。
G→H ７５６通り。
計 １７９２通り。
全ての結果はこちら(lzh圧縮 11KB)です。
【問題２】
X=A*100000+B*10000+C*1000+D*100+E*10+F
Y=G*100+H*10+I とする。
2002/14=143=11*13
X=Y*11*13
Xは６桁の数、Yは3桁の数であるから、
999＞Y＞700
142857＞X＞100100 でなければならない。
A=1となる。
X≧123456でなければならないので、
G＞8.63...
G=9となる。
A=1,G=9であるときＲから、
987≧Y≧923でなければならない。
B=3またはB=4となる。
もしB=4とすると、
X≧142356
Y=X/143≧995.4 となり、不適。
B=3となる。
138765≧X≧132456
972≧Y≧927
A=1,B=3,G=9 確定。
Xは11の倍数でなければならない。
1+C+E=3+D+F
C+E=D+F+2 ........................(1)**
Xは13の倍数でなければならない。
D＞1であるから、
(D*100+E*10+F)-(130+C)≡0 (mod 13)
D*9+F≡C+E*3 (mod 13)
(1)を代入して整理すると、
D*4≡E+1 (mod 13) ..(2)**
今後は(mod 13)を省略する。
1の位の数
D=4 のとき E≡3 Eは不適。
D=5 のとき E≡6 Eは不適。
D=7 のとき E≡1 Eは不適。
D=8 のとき E≡5 E=8,C=11 不適。
この場合は不適。
D=2 のとき E≡7 E=7,C=1 不適。
D=5 のとき E≡6 E=6,C=5 不適。
D=6 のとき E≡10 Eは存在しえない。
D=7 のとき E≡1 Eは不適。
この場合は不適。
D=5 のとき E≡6 E=6,C=3 不適。
D=6 のとき E≡10 Eは存在しえない。
D=7 のとき E≡1 Eは不適。
これらは不適。
D=8 のとき E≡5 E=5,C=7,H=6
| 137852 964 | =143 (***) |
この場合は題意をみたす。
D=2 のとき E≡7 E=7,C=5,H=4
| 135278 946 | =143 (***) |
この場合は題意をみたす。
D=4 のとき E≡3 Eは不適。
D=5 のとき E=6 E=6,C=9 不適。
D=7 のとき E≡1 Eは不適。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
２２手の解を下図gifアニメに示す｡
|
【問題２】
| 答え | １３５２７８ ９４６ | と | １３７８５２ ９６４ |
∵
(1)
2002/14 = 143
即ち 分母３桁×１４３＝分子６桁
(2)
分母最大は987 ,
よって 分子最大＝143×987＝141141
→分子= 12???? | 13???? | 14????
(3)
分子を 14???? とすると 分子最小は142356,
よって 分母最小＝142356/143=996
分母は99? で９がダブル →分子=14????でない。
(4)
分子を 13???? とすると 分子最小は132456,
よって 分母最小＝132456/143=927
従って分子に９は使えず分子最大は138765 ,
よって 分母最大＝138765/143=970
(5)
(4)において 分母、分子の１の桁には 1,3,9 以外が使えるが、
143×？を考えると,
*5×*3＝*5 , *7×*3＝*1 により 2,4,6,8だけが可能である。
従って(4)において分母の可能性は
928,942,946,948,952,954,956,958,962,964,968
の１１種だけである。
これらと１４３の乗算を行うと、946と964の場合に条件を満たす。
(6)
分子を 12???? とすると 分子最小は123456,
よって 分母最小＝123456/143=864
一方分子最大は129876,
よって 分母最大＝129876/143=908
しかし、908以下で0を含まずダブらない最大数は 897であるから,分母は8??である。
(7)
(6)において 分母、分子の１の桁には 1,2,8 以外が使えるが、
143×？を考えると,
*5×*3＝*5 , *7×*3＝*1 *4×*3＝*2 により3,6,9だけが可能である。
従って(4)において分母の可能性は
869,873,876,879,893,896 の ６種だけである。
これらと１４３の乗算を行うと、条件を満たすものはない。
【感想】
２つの解が 13(52)⇔(78) と 9(4)⇔(6) であるのは不思議。
◆東京都 You.O さんからの解答
【問題１】
Ｆ→Ｅ，Ｂ→Ｆ，Ａ→Ｂ，Ｅ→Ａ，Ｆ→Ｅ，
Ｂ→Ｆ，Ｇ→Ｈ，Ｃ→Ｇ，Ｄ→Ｃ，Ｃ→Ｂ，
Ｇ→Ｃ，Ｆ→Ｇ，Ｅ→Ｆ，Ａ→Ｅ，Ｂ→Ａ，
Ｃ→Ｂ，Ｇ→Ｃ，Ｃ→Ｄ，Ｆ→Ｇ，Ｇ→Ｃ，
Ｅ→Ｆ，Ｈ→Ｇ
【問題２】
| ＡＢＣＤＥＦ ＧＨＩ | ＝ | ２００２ １４ |
ここで、ＡＢＣＤＥＦ＜１４３×１０００＝１４３０００であるから、Ａ＝１
ゆえに、
｛Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ｝＝｛２，３，４，５，６，７，８，９｝
また、ＧＨＩ≦９８７であるが、
１４３×９８７＝１４１１４１となり、
Ａ＝Ｃ＝Ｄ＝Ｆ，Ｂ＝Ｅとなってしまうため、ＧＨＩ≠９８７
ゆえに、ＧＨＩ≦９８６となり、
ＡＢＣＤＥＦ≦１４３×９８６＝１４０９９８＜１４１０００
ここで、Ｂ＝４とすると、Ｃ＝０となってしまう。
したがって、Ｂ＝２またはＢ＝３
さらに、Ｇ≦７とすると、
１４３×ＧＨＩ＜１４３×８００＝１１４４００＜１２００００となるため、
Ｇ＝８またはＧ＝９
また、Ｆ≡３×Ｉ（mod 10）であるから、
（Ｆ，Ｉ）＝
（３，１），（６，２），（９，３），（２，４），（５，５），
（８，６），（１，７），（４，８），（７，９） ………（※）
Ｆ≠Ｉであるため、このうち（Ｆ，Ｉ）＝（５，５）は除かれる。
［ア］Ｇ＝８の場合
１４３×ＧＨＩ＜１４３×９００＝１２８７００＜１３００００であるから、
Ｂ＝２
ゆえに、｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ｝＝｛３，４，５，６，７，９｝
（※）で挙げた（Ｆ，Ｉ）の組のうちこれを満たすのは、
（Ｆ，Ｉ）＝（９，３），（７，９）
（@）（Ｆ，Ｉ）＝（９，３）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛４，５，６，７｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋２（mod 10）であるから、
（Ｅ，Ｈ）＝（７，５）
ところがこのとき、Ｃ＝１，Ｄ＝９となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛４，５，６，７｝を満たさない。
（A）（Ｆ，Ｉ）＝（７，９）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛３，４，５，６｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋８（mod 10）であるから、
（Ｅ，Ｈ）＝（３，５）
ところがこのとき、Ｃ＝２，Ｄ＝８となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝＝｛３，４，５，６｝を満たさない。
［イ］Ｇ＝９の場合
ＧＨＩ≧９１２であるから、
１４３×ＧＨＩ≧１４３×９１２＝１３０４１６＞１３００００
となり、Ｂ＝３
ゆえに、｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｉ｝＝｛２，４，５，６，７，８｝
（※）で挙げた（Ｆ，Ｉ）の組のうちこれを満たすのは、
（Ｆ，Ｉ）＝（６，２），（２，４），（８，６），（４，８）
（@）（Ｆ，Ｉ）＝（６，２）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛４，５，７，８｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋８（mod 10）
これらを満たす（Ｅ，Ｈ）の組は存在しない。
（A）（Ｆ，Ｉ）＝（２，４）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛５，６，７，８｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋７（mod 10）であるから、
（Ｅ，Ｈ）＝（５，６），（８，７）
《あ》（Ｅ，Ｈ）＝（５，６）のとき
Ｃ＝７，Ｄ＝８となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛５，６，７，８｝を満たす。
《い》（Ｅ，Ｈ）＝（８，７）のとき
Ｃ＝９，Ｄ＝２となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛５，６，７，８｝を満たさない。
（B）（Ｆ，Ｉ）＝（８，６）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛２，４，５，７｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋５（mod 10）であるから、
（Ｅ，Ｈ）＝（７，４）
このとき、Ｃ＝５，Ｄ＝２となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ｝＝｛２，４，５，７｝を満たす。
（C）（Ｆ，Ｉ）＝（４，８）の場合
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛２，５，６，７｝
また、Ｅ≡３×Ｈ＋４（mod 10）であるから、
（Ｅ，Ｈ）＝（２，６），（５，７）
《あ》（Ｅ，Ｈ）＝（２，６）のとき
Ｃ＝８，Ｄ＝４となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛２，５，６，７｝を満たさない。
《い》（Ｅ，Ｈ）＝（５，７）のとき
Ｃ＝９，Ｄ＝８となり、
｛Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｈ｝＝｛２，５，６，７｝を満たさない。
以上により、条件を満たすものは次の２通りであることがわかる。
☆ Ａ＝１，Ｂ＝３，Ｃ＝５，Ｄ＝２，Ｅ＝７，Ｆ＝８，Ｇ＝９，Ｈ＝４，Ｉ＝６のとき
| １３５２７８ ９４６ | ＝ | ２００２ １４ |
★ Ａ＝１，Ｂ＝３，Ｃ＝７，Ｄ＝８，Ｅ＝５，Ｆ＝２，Ｇ＝９，Ｈ＝６，Ｉ＝４のとき
| １３７８５２ ９６４ | ＝ | ２００２ １４ |
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