◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】 白
【問題２】（８，１）
∵下図参照。
（８，１）を通過する通路は赤線で示す１とおりである。
従って（８，１）は６４番に隣接するので ６３番か１番である。
６３番とすると、６０番までの距離が長く３回では到達できない｡
よって１番である。
【問題３】 下図。１とおり。
∵ 下図参照。
問題２のような考え（黄色）と、条件（青）間の可能な通路中選択の余地が無いもの（橙色）｛例：５４番と黒線｝で絞込む。
行き詰まったところで、３４番３５番（緑）のところでもう一つの可能性である、３７番３８番と２者択一となる。
それぞれを（橙色）に同じく必須通過点（灰色）で絞り込むと後者は矛盾があり、一方前者は図の１通りが残った｡
【感想】
問題３は手ごわかった。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答
【問題１】
ナイトの動き方から考えて、黒のマス目が偶数回なら、白のマス目は奇数回になります。
だから出発点「１」は、白のマス目です。
【問題２】
ナイトの動き方から考えて、
(8,1)は「１」か「63」のどちらかであるとわかります。
しかし、「64」と「60」の位置からみて「63」ではありえません。
だから、(8,1)が出発点「１」です。
【問題３】
(8,1)→(6,2)→(5,4)→(4,2)→(6,1)→
(8,2)→(6,3)→(5,1)→(7,2)→(6,4)→
(4,5)→(5,7)→(3,8)→(1,7)→(2,5)→
(1,3)→(2,1)→(3,3)→(5,2)→(7,1)→
(8,3)→(7,5)→(8,7)→(6,8)→(4,7)→
(6,6)→(7,8)→(8,6)→(7,4)→(5,5)→
(3,6)→(2,8)→(1,6)→(2,4)→(1,2)→
(3,1)→(4,3)→(2,2)→(4,1)→(5,3)→
(3,4)→(1,5)→(2,7)→(4,6)→(5,8)→
(3,7)→(1,8)→(2,6)→(1,4)→(3,5)→
(2,3)→(1,1)→(3,2)→(4,4)→(6,5)→
(8,4)→(7,6)→(8,8)→(6,7)→(4,8)→
(5,6)→(7,7)→(8,5)→(7,3)
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題１】
白、黒、白、黒、...の順番で移動しているので、偶数は黒のため、奇数である１は白のマス目です。
【問題２】
ループであるため(8,1)からは（6,2)あるいは64から一つの移動で離れています。
(8,1)は６３あるいは１ですが、６３だと１から離れすぎて、１しかなりません。
よって、出発点は(8,1)です。
【問題３】
(8,1)→(6,2)→(5,4)→(4,2)→(6,1)→
(8,2)→(6,3)→(5,1)→(7,2)→(6,4)→
(4,5)→(5,7)→(3,8)→(1,7)→(2,5)→
(1,3)→(2,1)→(3,3)→(5,2)→(7,1)→
(8,3)→(7,5)→(8,7)→(6,8)→(4,7)→
(6,6)→(7,8)→(8,6)→(7,4)→(5,5)→
(3,6)→(2,8)→(1,6)→(2,4)→(1,2)→
(3,1)→(4,3)→(2,2)→(4,1)→(5,3)→
(3,4)→(1,5)→(2,7)→(4,6)→(5,8)→
(3,7)→(1,8)→(2,6)→(1,4)→(3,5)→
(2,3)→(1,1)→(3,2)→(4,4)→(6,5)→
(8,4)→(7,6)→(8,8)→(6,7)→(4,8)→
(5,6)→(7,7)→(8,5)→(7,3)
【解説】
まず、定義をします。
定義：移動順序でイのマス目はアのマス目からｋ回の移動で離れている場合は「イはアのｋ隣」といいます。
ｋ＝１の時は、「イはアの隣」といいます。
【定理１】
各マス目は二つの隣が存在する。
証明：ループであるため。
【定理２】
アの可能な隣はイとウの２つしかない場合、アの隣はイとウになります。
証明：
定理１より、アに移動する前とアからの移動したあとのマス目が必要で、アの隣はイとウしかなりません。
【定理３】
アはウの２隣で、アとウの可能な隣はイ一つしかない場合、イの隣はアとウになります。
証明：
アはウの２隣のため、アとウの間は、一つの隣が必要です。
アとウの可能な隣は一つしかないため、イはアとウの隣にならないといけません。
【定理４】
ア、イ、とウはエのすべての可能隣で、アはウの２隣ではない場合、エの一つの隣はイになります。
証明：
エの隣はアとウ両方ではありえないため、エの一つの隣はイにならないといけません。
問題２）から１は(8,1)だとわかり、
１の隣は６３以外は(6,2)しかないため(6,2)は２で、２と４の隣は(5,4)しかないため、(5,4)は３です。
(8,8)の隣(7,6)と(6,7)です。
問題から与えられた順序は４回移動ずつ離れているため、(7,6)と(6,7)の隣は与えられた順序にしかならないため、(7,6)の隣は５６で、(6,7)の隣は６０になります。
(6,1)の可能な隣は４、４０、６４、と(8,2)なのですが、４、４０、６４は(移動数で)かなり離れているため、(8,2)は(6,1)の隣になり、もう一つの隣は４０か６４だと考えると、(8,2)は３８、４２あるいは６２になりますが、いずれも、３６、４４あるいは６０から離れすぎるため、(6,1)の隣は４であり、(6,1)は５、(8,2)は６です。
８と６の隣は(6,3)のため、(6,3)は７です。
(1,1)の隣は(3,2)と(2,3)で、(1,8)の隣は(2,6)と(3,7)です。
(3,7)は５０だと、５２から離れすぎるため、(3,7)は４６で、(2,6)は４７です。
(2,1)の隣は１６と(3,3)です。
(3,2)か(2,3)、どちらか５３で、５６までに移動できるためには、５４が(4,4)にしかなりません。
５４と５６の唯一の隣である(6,5)は５５になります(定理３)。
(7,8)の一つの隣は(6,6)です(定理４)。
２８の隣は(7,4)と(7,8)です(定理２)。
(7,4)の隣は２８のほかに(5,5)があります(定理２)。
(5,8)の隣は４６、４４、(6,6)(２６あるいは３０になる)、と(7,7)であるため、(5,8)は４５、４３、３１、２５になる可能性があります。
(5,8)が４３だと(7,7)は４２になり、(7,7)と４０は隣がないためありえません。
３１と２５も不可能です。
よって、(5,8)は４５になります。
(8,7)の一つの隣は(7,5)です(定理４)。
もう一つの隣は(6,6)だと(7,5)は３２あるいは２４になってしまい、矛盾が生じます。
よって、(8,7)の隣は(7,5)と２４です。
さらに(8,7)は２３で、(7,5)は２２であることがわかります。
(4,7)２５です(定理３)。
３２の隣は(1,6)と(3,6)です(定理２)。
(1,6)は３１だと２８から遠すぎるため、(1,6)は３３になり、(3,6)は３１になります。
よって(5,5)、(7,4)、(7,8)、(6,6)は３０、２９、２７、２６の順番になります。
(8,3)は２１です(定理３)。
また(5,2)は１９になります(定理２)。
よって、(8,5)は６３になります(定理２)。
(7,7)は６２で、(5,6)は６１です(定理２)。
１２の隣は(4,5)と(3,8)で(定理２)、(3,8)が１１だと８から遠すぎます。
よって、(3,8)は１３で、(4,5)は１１になります。
(1,7)は１４です(定理２)。
よって、(2,5)は１５になります(定理３)。
そのため、(2,1)は１７で、(3,3)１８です。
(7,2)は４１、３９、あるいは９です。
４１だと３隣で４４まで移動できる方法がないためありえません。
(7,2)は３９だと、(6,4)３８で、(4,3)は３７ですが、この場合は８の隣は７しかないため矛盾(定理１)。
よって、(7,2)は９で(6,4)は１０です(定理３)。
４０の隣は(4,1)と(3,4)です(定理２)。
また(4,1)の隣は４０と(2,2)です(定理２)。
(2,2)は４２だと(3,4)が４３になってしまい矛盾です。
したがって(4,1)、(2,2)、(3,4)は３９、３８、４１の順になります。
また(4,3)は３７であることがわかります(定理３)。
よって、(1,2)は３５になります(定理２)。
(2,4)は３４です(定理３)。
(3,2)は５１だと３隣で４８まで辿りつけないため、(3,2)は５３で、(2,3)は５１であることがわかります。
(1,5)は４２で(定理２)、(2,7)は４３です(定理３)。
(3,5)は５０で、(1,4)は４９です(定理２、３)。
以上でコース再現されました。
◆東京都 You.O さんからの解答
【問題１】
ナイトの位置を平面上の格子点を表す座標（２つの整数値の組）で（ｍ，ｎ）のように表示する。
１回の移動でナイトが点（ｍ'，ｎ'）に移動したとすると、
（ｍ'，ｎ'） ＝（ｍ−２，ｎ−１），（ｍ−２，ｎ＋１） （ｍ−１，ｎ−２），（ｍ−１，ｎ＋２） （ｍ＋１，ｎ−２），（ｍ＋１，ｎ＋２） （ｍ＋２，ｎ−１），（ｍ＋２，ｎ＋１）の８通りの場合が考えられる。
問題図中の左および上の整数値を順に並べたものを座標として扱うことにすると、白いマス目、黒いマス目は座標の和がそれぞれ奇数、偶数となる。
ナイトが４番目に通ったことを示す"４"の数字が黒いマス目に記されていることから、ナイトの出発点となるマス目すなわち数字"１"が記されるべきマス目の色は白であることがわかる。
なぜなら、ナイトは出発点から３回の移動で"４"のマス目に到達している。
ナイトが１回移動するたびに、ナイトが存在する点の座標の和の偶奇、すなわちマス目の色（白／黒）が変化するため、３回の移動を経るとやはりマス目の色が変化する。
"４"のマス目が黒であるから、出発点となるマス目の色は白である。
【問題２】
上で述べたように、盤の中央付近ではナイトは８方向に移動可能であるが、ここから離れるにしたがってナイトが移動可能な方向は限定され、その数は減少する。
そして、盤の角にある４つのマス目（(1,1),(1,8),(8,1),(8,8)）についてはナイトが移動可能な方向は２つに限定される。
ナイトが盤のすべてのマス目を巡回して最後に出発点に戻っていることから、ナイトがたどったコースのすべてを折れ線で結ぶと、６４コあるすべてのマス目からそれぞれ２本の線分が出ていることになる。
ここで、左下角のマス目（８，１）に着目する。
このマス目から１回の移動で到達することのできるマス目は（６，２），（７，３）の２つであるため、（８，１）のマス目はこれら２つのマス目と線分で結ばれている。
ここで、マス目（７，３）にはナイトが最後に通ったことを示す"64"の数字が記されているため、ナイトがマス目（７，３）を通る直前にマス目（８，１）を通ったとすれば、（８，１）には"63"の数字が記されることになり、マス目（６，２）に"62"の数字が記されることになる。ところが、"60"の数字が記されているマス目は（４，８）であり、ナイトの２回の移動で（４，８）から（６，２）へ移動することは不可能なため、このようなことは起こり得ないことがわかる。
ゆえに、ナイトはマス目（７，３）を通った直後にマス目（８，１）を通っていることになる。
（７，３）はナイトが最後に通ったマス目であり、その直後に出発点に戻っていることから、マス目（８，１）が出発点であることが決定する。
【問題３】
４の倍数の数字が記された問題の図中に、【問題２】で求めた出発点を示す"１"の数字を書き込むと下の図１のようになる。
【問題２】でおこなった考察と同様にして、
数字"２"が（６，２）（▲の位置），"３"が（５，４）（■の位置）のマス目に記すことができ、その結果、図２のようになる。
【問題１】でおこなった考察を拡張すると、ナイトの２回の移動による座標の変化のパターンが（ナイトが現在いる地点に再び戻ってくることを含めて）３３通りあることがわかる。
図２の★（８，２）は黒いマス目で４の倍数の数字が記されていないことから、
４ｋ−２（ｋは整数，１≦ｋ≦１６）番目にナイトが通ったことがわかる。
ゆえに、ナイトがこのマス目に到達する２つ前および到達した２つ後にナイトがいたマス目には
それぞれ"４(ｋ−１)"，"４ｋ"の数字が記されているはずである。
ところが、この★のマス目からナイトが２回の移動で到達できる、４の倍数の数字が記されたマス目は、
"４"，"８"，"20"，"28"，"40"，"56"，"64"の７つであり、これらのなかで隣り合った４の倍数は"４"と"８"のみである。
（ナイトの経路がループ状であることを考えると"64"と"４"も条件を満たすが、"２"のマス目がすでに（６，２）に決定しているため、ｋ＝１であるとは考えられない。）
したがって、ｋ＝２と決定し、★のマス目には"６"の数字が記される。
さらに、▲は"７"，■は"５"と決定し、その結果、図３のようになる。
【問題２】と同様に考えると、★のマス目は"47"または"49"となるが、"52"のマス目の位置から★は"47"に決定する。
これにより、▲は"46"となり、結果は図４のようになる。
次に"54"が記されるマス目を決定する。
"52"，"56"のマス目からナイトが２回の移動で到達できるマス目のうち、まだ数字が記されていないマス目をそれぞれ○，□で表すことにより、それらの共通部分となる◎のマス目が"54"であることがわかる。
これにより、▲が"55"となる。結果を図５に示す。
"20"のマス目の位置から、"19"は▲または▼のマス目ということになるが、"16"の位置から▼が"19"ということはあり得ないことがわかる。
したがって、"19"は▲に決定する。
これにより、"18"は□または■ということになるが、同様の考察から"18"は■に決定する。
また、"19"の決定により、"21"は▼，"63"は◆と決定する。
結果を図６に示す。
図２と同様の考察を★のマス目について行う。
このマス目からナイトが２回の移動で到達できる、４の倍数の数字が記されたマス目は、位置関係的には
"12"，"24"，"28"，"40"，"44"，"56"，"60"，"64"の８つであるが、
このうち"12"，"28"，"40"，"56"のマス目には実際には到達できないことがわかる。
残りの"24"，"44"，"60"，"64"のなかで隣り合った４の倍数の組は（"60"，"64"）の１通りのみである。
したがって、★のマス目は"62"に決定する。これによって、▲は"61"に決定する。
結果は図７のようになる。
"57"は△または▲ということになるが、△が"57"だとすると、ナイトはここから３回の移動で"60"のマス目へ到達できないため、"57"は▲に決定する。
これにより、■が"58"に、◆が"59"に決定する。
結果を図８に示す。
▲と■はそれぞれ"23"，"25"のいずれかであるが、■が"23"だとするとナイトは"21"のマス目から２回の移動で"23"のマス目へ到達できないため、▲が"23"，■が"25"となる。
また、◆は"22"に決定する。
結果は図９のようになる。
図６と同様の考察を★のマス目について行う。
このマス目からナイトが２回の移動で到達できる、４の倍数の数字が記されたマス目は、位置関係的には
"８"，"12"，"20"，"24"，"36"，"40"，"48"，"56"，"60"，"64"の１０通りあるが、
このうち"20"，"24"，"60"，"64"のマス目には実際には到達できないことがわかる。
残りの"８"，"12"，"36"，"40"，"48"，"56"のなかで隣り合った４の倍数の組は
（"８"，"12"），（"36"，"40"）の２通りである。
ここで、★が"38"であるとすると、△が"37"となり、"９"は▽または▲となる。
ところが、▽は"51"または"53"であり、▲が"９"だとすると★が"37"に決定しているため"10"の数字が記される可能性のあるマス目が存在しなくなってしまう。
したがって、★のマス目は"10"に決定する。
これによって、■は"11"に決定する。
このとき、▲のマス目からナイトが１回の移動で到達できるマス目は"８"，"40"，"56"そして"10"の数字が記された★の４つとなるが、このなかで差が２である組は（"８"，"10"）の１通りのみである。
よって、▲は"９"に決定する。
結果を図１０に示す。
▲と◆はそれぞれ"27"，"29"のいずれかであるが、▲が"29"だとすると■が"30"となり、ナイトはここから２回の移動で"32"のマス目へ到達できないため、▲が"27"，◆が"29"となる。
これにより、■が"26"，▼が"30"，●が"31"と決定する。
これにより、★は"33"となる。
結果は図１１の通り。
▲が"13"，■が"14"，◆が"15"，▼が"17"に決定する。
これにより、●は"45"となる。
結果を図１２に示す。
▲と▼はそれぞれ"51"，"53"のいずれかであるが、▼が"51"だとすると▽が"50"となり、ナイトは"48"のマス目から２回の移動で"50"のマス目へ到達できないため、▲が"51"，▼が"53"となる。
結果は図１３に示す。
"34"は△または▲のいずれかである。
"34"が△だとすると、"35"は◆，"37"は■，"38"は▲となり、"39"の数字が記される可能性のあるマス目が存在しなくなってしまう。
したがって、"34"は▲と決定する。
このとき、"37"は■または◆のいずれかとなる。
"37"が■だとすると、"38"の数字が記される可能性のあるマス目が存在しなくなってしまう。
ゆえに、"37"は◆となる。
これにより、"35"は■となる。
結果を図１４に示す。
"38"は△または▲のいずれかであるが、"38"が△だとすると、ナイトはここから２回の移動で"40"のマス目へ到達できないため、"38"は▲と決定する。
このとき、"39"は■または◆のいずれかとなる。"39"が◆だとすると、"41"は■となり、"42"の数字が記される可能性のあるマス目が存在しなくなってしまう。
ゆえに、"39"は■となる。
これにより、"41"は◆，"42"は▼，"43"は●となる。
結果を図１５に示す。
▲が"49"，■が"50"に決定する。
結果を図１６に示す。
このようにして、ナイトが巡回したコースのすべてが再現できた。
これを座標で表示すると、下のようになる。
＜解答＞
【問題１】 白のマス目
【問題２】 左下角（８，１）のマス目
【問題３】
(8,1)→(6,2)→(5,4)→(4,2)→(6,1)→
(8,2)→(6,3)→(5,1)→(7,2)→(6,4)→
(4,5)→(5,7)→(3,8)→(1,7)→(2,5)→
(1,3)→(2,1)→(3,3)→(5,2)→(7,1)→
(8,3)→(7,5)→(8,7)→(6,8)→(4,7)→
(6,6)→(7,8)→(8,6)→(7,4)→(5,5)→
(3,6)→(2,8)→(1,6)→(2,4)→(1,2)→
(3,1)→(4,3)→(2,2)→(4,1)→(5,3)→
(3,4)→(1,5)→(2,7)→(4,6)→(5,8)→
(3,7)→(1,8)→(2,6)→(1,4)→(3,5)→
(2,3)→(1,1)→(3,2)→(4,4)→(6,5)→
(8,4)→(7,6)→(8,8)→(6,7)→(4,8)→
(5,6)→(7,7)→(8,5)→(7,3)
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