『今週の問題』第13回　解答

◆京都府　ネットＯＬ さんからの解答。

４０，２５，２０の公倍数の２００円を持っていたと仮定すると、それぞれ１個の値段が５円、８円、１０円となる。
次の同じ個数だけ買ったという事でその代金は５＋８＋１０＝２３円の倍数になる。
２００÷２３をするとあまりは１６円。

実際は８０円ということで本当の所持金は２００円の５倍の１０００円。

◆北海道　近ドー さんからの解答。

ミカン１個の値段を、x 円
ナシ１個の値段を、y 円
リンゴ１個の値段を、z 円　とする。

ミカン４０個を買った値段と、ナシ２５個を買った値段と、リンゴ２０個を買った値段はすべて等しい（そして、これが持ち金）ので、

40x=25y=20z

すべての辺を２００で割って、
x/5=y/8=z/10

ここで、x/5=y/8=z/10=kとして、分母を払うと、
x=5k,y=8k,z=10k となる。
（このとき、持ち金は、40x=200k)

ここで、ミカン、ナシ、リンゴをすべて p 個ずつ買ったときの値段は、
p(5k+8k+10k)=23kp
で、お釣りが８０円になる、ということから、
200k-80=23kp …ア

これを式変形して、 k(200-23p)=80

よって、k は８０の約数。（1,2,4,5,8,10,16,20,40,80)

また、アの式変形の仕方をかえて、
40(5k-2)=23kp

右辺が２３の倍数なので、5k-2 も２３の倍数でないとダメ。
このことを満たして、しかも８０の倍数になってる k は５しかない。
よって、持ち金は、200k=1000

以上の構成より、１０００円しかない、、。

うーん。長くて面白くない解答になっちゃいましたね。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

最初に持っていたお金をχ円とする。
みかん、なし、りんごをそれぞれＹ個かったとする。

題意より
（χ／４０＋χ／２５＋χ／２０）×Ｙ＋８０＝χ．．．１）

１）式を整理する。
２３×χ×Ｙ＋１６０００＝２００×χ．．．２）

２）式から
χ＝１６０００／（２００−２３Ｙ）．．．３）

１６０００＝２⁷×５³

（７＋１）×（３＋１）＝３２
（２００−２３Ｙ）が１６０００の３２個の約数のどれかにならなければならない。
また、２００−２３Ｙ＞０であるから、０＜Ｙ＜９。
２００−２３Ｙ＝１６．．．４）
Ｙ＝８．．．５）
これしかない。

これを２）式に代入する。
１８４×χ＋１６０００＝２００×χ．．．６）
１６×χ＝１６０００
χ＝１０００

１０００÷４０＝２５。
１０００÷２５＝４０。
１０００÷２０＝５０。

（２５＋４０＋５０）×８＝９２０。
９２０＋８０＝１０００。

題意を満たす。　答え　１０００円。　

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

所持金を１とすると、みかん、なし、りんごの１個の値段は

1/40,1/25/1/20。

１個ずつ買うと 1/40+1/25+1/20＝23/200

１−23/200×８＝16/200・・・余ったお金

８０÷16/200＝１０００　　答え　１０００円

◆滋賀県　まさし さんからの解答。

最初に持っていたのは　１０００円です
それぞれの値段は、みかん２５円、なし４０円、りんご５０円です

回答
それぞれ４０個、２５個、２０個をおつりなしで購入できることから、最初に持っているお金は、４０、２５、２０の公倍数になる。
４０、２５、２０の最小公倍数は２００なので
最初の所持金は　２００ｎ　円（ｎは自然数）となる

みかん、なし、りんごの単価をそれぞれｘ、ｙ、ｚ円とすると
２００ｎ＝４０ｘ　つまり　ｘ＝５ｎ　　・・・（１）
２００ｎ＝２５ｙ　つまり　ｙ＝８ｎ　　・・・（２）
２００ｎ＝２０ｚ　つまり　ｚ＝１０ｎ　・・・（３）

また、すべて同数（ａ個）ずつ買ったとき８０円余るので

（ｘ＋ｙ＋ｚ）ａ＝２００ｎ−８０　　　・・・（４）

上記（１）（２）（３）（４）より
（５ｎ＋８ｎ＋１０ｎ）ａ＝２００ｎ−８０
（２００−２３ａ）ｎ＝８０　・・・（＊）

ａ、ｎはともに自然数なので（＊）を満たすのはａ＝８，ｎ＝５　この組み合わせに限られる
よって最初の所持金は２００×５＝１０００円　になる

◆福島県　ぐぅふぃ さんからの解答。

前回同様、算数で考えます。
まず、４０と２５と２０の最小公倍数を求めると、１０００になります。
財布の中に入っていたのは１０００の倍数であることがわかります。
１０００円財布の中に入っていたとき、みかん２５円、なし４０円、りんご５０円ならば、それぞれお金が余ることなく買える。

始めの所持金が２０００円、３０００円、あるいはそれ以上の場合は、それぞれの値段が２倍、３倍の時もある。
みかん、なし、りんごを１個づつ買うと１１５円になる。
それぞれの値段が２倍、３倍の時でも、結局は１１５の倍数になるので、１１５円の場合のみ考えればよい。

ためしに１０００円を１１５円で割ると余りは８０円になり、問題の条件を満たしている。
よって、財布の中に入っていたのは１０００円。

と言いたいところだが、、、出題者が想定していた答えは１０００円だとは思うが、２４０００円を１１５円で割っても余りは８０円。
他の答えもある。

これは１１５円と１０００円の公倍数の２３０００円を足していけばよく、４７０００円、７００００円、、、といくらでも解答がある。

感想
１０００円の答えは、結構簡単に出ました。
ほかにも答えがありそうだと思い、それぞれの値段が２倍、３倍になった時は、どう処理するのかなとちょっと悩みました。
同じになる事に気がつけば楽になりますね。
蛇足な解答だったかな。

【コメント】

一瞬どきっとしましたが、例えば２４０００円なら、みかん６００円、なし、９６０円、りんご１２００円となり、 合計２７６０円。
２４０００÷２７６０＝８　余り　１９２０ですから、成り立たないですね。
１１５で割ることにはならないので。。。

◆東京都　imopy さんからの解答。

もっているお金をχとすると、
みかん１個は（χ／40）円
なし　１個は（χ／25）円
りんご１個は（χ／20）円

みんな同じ個数買うのだから、すべて１個ずつ買ったときの値段は
χ/40＋χ/25＋χ/20＝（23/200）χ・・・（円）となる。

このことから最大限買うとすると８個ずつ買うことができることがわかる。
（つまり23×8＝184＜200、23×9＝207＞200）

この時おつりは、（１−184/200）×χ＝80・・・（円）だから
χ＝80×200/16＝1000円となり、持っていたお金は1000円であることがわかる

ちなみに
みかん１個：25円（今時安い！！）
なし　１個：40円（これまた安い！！）
りんご１個：50円（やっぱり安い！！）ということで、このような場合、家に帰ってもっと買いだめすることを母親に提案することが正解であろう！？

◆千葉県　Lily of the valleyさんからの解答。

最初にもっているおかねを χ 円とすると、
みかん代 χ／４０ 円
なし代 χ／２５ 円
りんご代 χ／２０ 円 と、なる。

ここで、結局迷った末に、みかん、なし、りんごを ｗ 個買ったとすると、

χ−ｗ（χ／４０＋χ／２５＋χ／２０）＝８０

を得る。整理すると、
χ（２００−２３ｗ）＝８０×２００
２００−２３ｗ＞０　より、ｗ≦８
ｗ＝８ とすると、χ＝１０００ となり、これは題意を満たす。 【感想】

この問題、なんか奥が深いような気がします。
でも、一般化をめざそうとすると、解答が長くなっちゃうんですー。
エレガントな解法があるのでしょうか？

◆ＧＯＦＹ・和人さんからの解答。

最初の所持金をχとします。
それぞれの単価をＡ，Ｂ，Ｃとすると
χ＝４０Ａ（みかん）
χ＝２５Ｂ（なし）
χ＝２０Ｃ（りんご）となります。

Ｂ，ＣをＡとの比に直します。
Ｂ＝４０Ａ／２０＝８Ａ／５
Ｃ＝４０Ａ／２０＝２Ａ

みかん、なし、りんごをそれぞれ同数買うのですが、りんごを２０個買ってしまうと残りが買えません。
試しに１０個ずつ買ってみましょう。
１０Ａ＋１０×８Ａ／５＋２０Ａ＞４０Ａ

９個ずつでは？
９Ａ＋９×８Ａ／５＋１８Ａ＞４０Ａ

８こずつでは？
８Ａ＋８×８Ａ／５＋１６Ａ＝３６．８Ａ

んっ、いけそうだ。
同数ずつ買ったら残金が８０円なら、
４０Ａ−３６．８Ａ＝８０
３．２Ａ＝８０
Ａ＝２５・・・みかんの単価

８個ずつに単価を掛けて、残金を足すと
χ＝８×２５＋８×８×２５／５＋８×５０＋８０
χ＝１０００

所持金１，０００円かぁ。学生の時、１０００円が無くて、電車に乗れず歩いたことがあったなぁ。

◆海外　林澤源さんからの解答。

１０００

方法 は 全部のお金 Ｘ 必ず ４０ ２５ ２０ の 倍数
たから χ＝２００ｍ ｍ は 整数です

χーχ／４０＋χ／２５＋χ／２０）＝８０
χ（１ー（ ２３／２００）Ｙ）＝ ８０
χ（２００ ー ２３Ｙ）＝ ２００ｘ８０
ｍ（２００ ー ２３Ｙ）＝ ８０
Ｙ 必ず ＝ ８

◆愛知県　Sherlock Holmesさんからの解答。

最初の所持金をａ、みかん、なし、りんごの値段をそれぞれχ、ｙ、ｚとすると、
ａ＝４０χ＝２５ｙ＝２０ｚ。

これよりａは４０，２５，２０の公倍数であり、４０，２５，２０の最小公倍数２００，ある自然数ｋをもって

ａ＝２００ｋと書ける。

また、
χ＝ａ／４０，ｙ＝ａ／２５，ｚ＝ａ／２０
と変形し、ａ＝２００ｋを代入すると
χ＝５ｋ，ｙ＝８ｋ，ｚ＝１０ｋ となる。

くだものをそれぞれｐ個ずつ買うとすると（χ＋ｙ＋ｚ）ｐ円かかるので、
（χ＋ｙ＋ｚ）ｐ＝ａ−８０
（５ｋ＋８ｋ＋１０ｋ）ｐ＝２００ｋ−８０
２３ｋｐ＝２００ｋ−８０
（２００−２３ｐ）ｋ＝８０

この式より２００−２３ｐは８０の約数であり、さらにｐが整数になるのは２００−２３ｐ＝１６の場合のみ。
これよりｐ＝８，ｋ＝５，ａ＝１０００，χ＝２５，ｙ＝４０，ｚ＝５０がわかる。　　
よって最初の所持金は１０００円。

◆神奈川県　せいちゃん さんからの解答。

答え　１０００円

注：かなり省略させていただきます

持っている金額をx円とする。
みかんをａ円、なしをｂ円、りんごをｃ円とする。

a=χ/40
b=x/25
c=x/20

ここで80円お釣より x-80が （それぞれ同じ個数より）
χ/40+x/25+x/20 で割り切れれば良い。

これを解くとx=1000

◆東京都　 スーパーサマリア人さんからの解答。

（未知数はいずれも自然数である）
もらったお金は、４０の倍数かつ２５の倍数（かつ２０の倍数）だから結局２００の倍数である。
そこで、もらったお金を２００χ円とする。

みかん、なし、りんごそれぞれ１個の値段をＭ、Ｎ、Ｌとすると与えられた条件から、
Ｍ＝５χ、Ｎ＝８χ、Ｌ＝１０χとおける。

次に、それぞれＹ個ずつ買ったとすると
（５χ＋８χ＋１０χ）Ｙ＋８０＝２００χ

これを【右辺が定数だけになるように】変形して

（２００−２３Ｙ）χ＝８０

２００−２３Ｙ、χはともに自然数だから８０の約数になるので
（１，８０）（２，４０）（４，２０）（５，１６）（８，１０）のいずれかの組み合わせになる。
ひとつずつ調べていくと
Ｙは自然数だから２００−２３Ｙ＝１６だけが条件をみたすので
Ｙ＝８、χ＝５とわかる。

したがって最初にもらったお金は５×２００で、１０００円です。

（それぞれの単価はＭikan＝２５、Ｎashi＝４０、Ｌingo＝５０）

◆京都府　 田嶋　利剛さんからの解答。

４０・２５・２０の最小公倍数は２００
所持金２００円として各単価は５・８・１０円
この時最高８個ずつ買えておつり１６円
実際はおつり８０円なのですべて５倍すればＯＫ

所持金は１０００円

◆神奈川県　 KATO-MANさんからの解答。

最初に持っていた所持金は、40と25と20の公倍数であるので、最小公倍数の200を用いて200x（円）とする。

みかん1個の値段は　200x/40=5x（円）
なし1個の値段は　　200x/25=8x（円）
りんご1個の値段は　200x/20=10x（円）となる。

また、同じ数ずつy（個）買ったとすると、条件より

(5x+8x+10x)y=200x-80　　

が成り立つ。
整理すると、(200-23y)x=80

ここで、x、yはともに自然数であるので　200-23y>0　が成り立つ。
よって条件を満たすyは　1,2,3,4,5,6,7,8　のいずれかである。
また、xも自然数なので、この両方の条件を満たすx,yは（5,8）である。
よって所持金は　1000円

◆京都府　 T.N.さんからの解答。

みかんなら４０個、なしなら２５個、りんごなら２０個ちょうど買える値段なので、この３つの数の最小公倍数の２００単位のお金を最初に持っているとする。
すると、相対的にみかんは５単位、なしは８単位、りんごは１０単位の価格であることが分かる。
これらを同数買うのだから、１セットの価格は２３単位である。
最初の所持金の２００単位をこれで割ると、８セット買えて、１６単位のお金が残る。
実際には８０円残ったのだから、１単位は５円にあたり、最初の所持金は１０００円であったことが分かる。

答え １０００円

数学と離れて久しいので、久しぶりに良い頭の体操をさせていただきました。

◆兵庫県　 富吉　武司さんからの解答。

みかんの値段をχ、なしの値段をｙ、りんごの値段をｚ、所持金をＡ、みかん、なし、りんごを同数買ったときの個数をｍとします。

所持金でみかんが４０個余りなしで買えることから
　　４０χ＝Ａ　Ａ＝χ／４０・・１)

所持金でなしが２５個余りなしで買えることから
　　２５ｙ＝Ａ　Ａ＝ｙ／２５・・２)

所持金でりんごが２０個余りなしで買えることから
　　２０ｚ＝Ａ　Ａ＝ｚ／２０・・３)

みかん、なし、りんごを同数買ったときに８０円余ることから

（χ＋ｙ＋ｚ）ｍ＋８０＝Ａ

(1)(2)(3)を代入して計算すると
(23/200)Ａ・ｍ＋８０＝Ａ
２３Ａ・ｍ＋１６０００＝２００Ａ
（２００−２３ｍ）Ａ＝１６０００

所持金は正の整数でできるだけ大きく且つ１６０００を割ることができなければならないので ２００−２３ｍ＞０　ｍ≦８

ｍ＝８の場合
（２００−２３×８）Ａ＝１６０００
１６Ａ＝１６０００
従って　Ａ＝１０００

　Answer　１０００円　／／

◆神奈川県　 すざ さんからの解答。

みかんの値段を M円
なしの値段を N円
りんごの値段を R円
最初に持っていた所持金を X円　とすると
題意より40M = 25N = 20R = X (1)

一番値段の安いMを単位とすると
N = (8/5)M (2)
R = 2M (3)

ここで、全てを1個ずつ買うと
M + N + R = 4.6M　　(4)

買った個数をY個とすると最初の所持金 X = 40M を超えない最大のYは

Y (M + N + R) < 40M (5)

より、Y = 8の時、金額は36.8M

題意より( 40 - 36.8 ) M = 3.2M = 80 (6)

よって、M = 25 (7)

(1), (7)よりX = 1000

答え：　最初の所持金は1000円

◆岡山県　 AZさんからの解答。

みかん1個　x円
なし　1個　y円
りんご1個　z円
それぞれを　k個ずつ買うとする。

所持金は　40x＝25y＝20z　・・・�@
条件より　k(x+y+z)=40x-80 ・・・�A
(0 �@より　8x＝5y＝4z
∴y＝(8/5)x
　z=2x

�Aに代入　k(x+(8/5)x+2x)=40x-80
23kx=200x-400
(200-23k)x=400

xは整数なので、200-23kは400の約数でかつkは整数でなければならない。
これをみたすのは　200-23k=16
k=8　　のみ。

∴　x=400/16=25

したがって所持金は40×25=1000円。

◆大阪府　 ぴぽっぱん さんからの解答。

40と25と20の最小公倍数は、200なので　まず持ち金を200円とすると、みかんは1個5円、なしは1個8円、りんごは1個10円となり、1個ずつ買うと23円で、8個ずつ買えて　お釣りは16円になります。
ということは、16を5倍すると80になるので、持ち金は200円の5倍で、1000円。

前回もそうですが、言葉では、なんとか説明できるんですが、数学的にかっこよく式とか使って答えるのは、むずかしいですね。

◆埼玉県　 ＭＡＳＴＥＲ さんからの解答。

まず、それぞれの果物が買える個数４０，２５，２０の最小公倍数を出します。
４０，２５，２０の最小公倍数＝２００
所持金は２００の倍数となります。
所持金を２００円として、みかん、なし、りんごの値段を出します。　

　みかん　　２００÷４０＝５
　なし　　　２００÷２５＝８
　りんご　　２００÷２０＝１０
　合計　　　５＋８＋１０＝２３　　　

所持金が２００円の時、３つの果物１個ずつの値段は２３円になります。　
次に、３つの果物を同じずつ買ってのこりが８０円だから、３つの果物を買った合計の値段は、１０の倍数でなくてはならなくなります。
つまり、最低で２３０円となります。

さらに、所持金は２００の倍数なので、果物の合計の値段の１０の位は２でなくてはならなくなります。
つまり、値段は９２０円となります。
あとは、残りの８０円をたすだけです。

９２０＋８０＝１０００
問題の計算にあっているので、所持金は１０００円です。

◆群馬県　 ハッシー さんからの解答。

みかん、なし、りんごの値段をそれぞれx円、y円、z円とし、最終的に買うことにした個数をn個とする。

題意から、
40x = 25y = 20z = (x + y + z)*n + 80

これより、y = 8/5x, z = 2x

従って、代入により
40x = (x + 8/5x + 2x)*n + 80

整理すると、 (200 - 23n)x = 400

nおよび、xは正の整数であるから、200 - 23n が、400の約数となるようにnを決めればよい。

n = 1 から順に計算すると、 n = 8 の時 400 - 23n = 16 となって、条件を満たす。

n = 8 より、x = 25, y = 40, z = 50。
以上より、最初の所持金は 1000円である。

◆兵庫県　中川原中３年選択スマイリー さんからの解答。

「解答」 １０００円

「求め方」
４０、２５、２０の最小公倍数を求めると２００となります。
このとき、求める答えは最小公倍数の倍数となります。
２００の倍数においてそれぞれ条件を満足するものを選びます。

○２００の場合、みかんは５円、なしは８円、りんご１０円となり計２３円となり、８０円のおつりだから
１２０÷２３＝５．２１７・・・となり条件を満足しない。

以下２００の倍数を考えていくと、条件を満たすのは１０００円となる。

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