『今週の問題』第122回　解答

◆千葉県　しまだきよこ さんからの解答

【問題１】

5→2→8→1 あるいは
2→5→8→1 あるいは
1→7→4→8　あるいは
4→7→2→8

[サンタ＝４人、雪だるま＝３人] の場合 (4回)

 1 2 3 4 5 6 7 8 9
===================
|A|B|A|B|A|B|A| | |
===================
|A|B|A|B| | |A|A|B| 1
|A| | |B|B|A|A|A|B| 2
|A|A|B|B|B|A|A| | | 3
| | |B|B|B|A|A|A|A| 4

5→2→9→4→1 あるいは
2→9→6→3→10

[サンタ＝５人、雪だるま＝４人] の場合 (5回)

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
========================
|A|B|A|B|A|B|A|B|A| | |
========================
|A|B|A|B| | |A|B|A|A|B| 1
|A| | |B|B|A|A|B|A|A|B| 2
|A|A|A|B|B|A|A|B| | |B| 3
|A|A|A| | |A|A|B|B|B|B| 4
| | |A|A|A|A|A|B|B|B|B| 5

7→4→11→6→8→1 あるいは
2→11→6→9→3→12 あるいは
5→8→1→11→4→1 あるいは
5→8→4→11→8→1　あるいは
5→8→11→4→8→1

[サンタ＝６人、雪だるま＝５人] の場合 (6回)

 1 2 3 4 5 6 7 8 910111213
============================
|A|B|A|B|A|B|A|B|A|B|A| | |
============================
|A|B|A|B|A|B| | |A|B|A|A|B| 1
|A|B|A| | |B|B|A|A|B|A|A|B| 2
|A|B|A|A|A|B|B|A|A|B| | |B| 3
|A|B|A|A|A| | |A|A|B|B|B|B| 4
|A|B|A|A|A|A|A| | |B|B|B|B| 5
| | |A|A|A|A|A|A|B|B|B|B|B| 6

[サンタ＝（Ｎ＋１）人、雪だるま＝Ｎ人] の場合
最短手数は、（Ｎ≧２）の時（Ｎ＋１）回です。
＊（Ｎ＝１）のときは、１回です。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１】

1→7→4→8
４回

【問題２】

2→9→6→3→10
５回

【問題３】

2→11→6→9→3→12
６回

左詰め サンタ ６ 雪ダルマ ５

  2  11   6   9   3  12 
  3   8   2  11   6  12 
  6  11   2   9   3  12 
 11   6   3   8   2  12 

右詰め サンタ ６ 雪ダルマ ５

  2   7  10   5  11   1 
 10   7   2   5  11   1 
 11   2   7   4  10   1 

  3   6  11   2   8   1 
  5   8   1   4  11   1 
  5   8   1  11   4   1 
  5   8   4  11   8   1 
  5   8  11   4   8   1 
  7   4  11   6   8   1 

Ｎ＝１のときは１回で例外。
Ｎのとき （Ｎ＋１）回が予想されます。

Ｎ＝５
　２，９，６，３，１０

Ｎ＝６
　２，１１，６，９，３，１２

Ｎ＝７
　２，１３，１０，５，９，３，１４

規則性が見られます。

Ｎ＝７ のとき

０）ＳＤＳＤＳＤＳＤＳＤＳＤＳ□□
１）Ｓ□□ＤＳＤＳＤＳＤＳＤＳＤＳ
２）ＳＳＤＤＳＤＳＤＳＤＳＤ□□Ｓ
３）ＳＳＤＤＳＤＳＤＳ□□ＤＤＳＳ
４）ＳＳＤＤ□□ＳＤＳＳＤＤＤＳＳ
５）ＳＳＤＤＳＳＳＤ□□ＤＤＤＳＳ
６）ＳＳ□□ＳＳＳＤＤＤＤＤＤＳＳ
７）ＳＳＳＳＳＳＳＤＤＤＤＤＤ□□ 

N≧4
N=4　2,9,6,3,10
N=k　2,2k-1,・・・・・,3,2k ((k+1)個の数列）

(・・・・・)の部分は１通りではないですが、規則性がいまいちですね。

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答

【問題１】　４回

1→7→4→8

【問題２】　５回

2→9→6→3→10
5→2→9→4→1

【問題３】　６回

5→8→1→11→4→1
5→8→11→4→8→1
3→8→2→11→6→12
7→4→11→6→8→1

【おまけ】

nが奇数の場合
ABABABABABABABAOOから
AAAAAAAABBBBBBBOOにするには

n+1 2

+

n+1 2

=n+1回以上必要です。

nが偶数の場合
ABABABABABABAOOから
AAAAAAABBBBBBOOにするには

n 2

+

n 2

=n回以上必要です。

実際は、n+1回が必要です。(ｎ＝2,3,4,5,6,...)
(n=1の場合:1回でできます。)

●n=4kの場合：

2,2n+1,6,2n+5,10,2n+9,...,n-8,n+11,n-2,n+5,
n+2,
n-1,n+6,n-5,n+10,...,3,2n+2

合計＝2[

n 4

]+1+2[

n 4

]=4k+1=n+1回

●n=4k+1の場合：

3,2n-2,7,2n-6,11,2n-10,...,n-6,n+7,n-2,n+3
n-3,n+6,n-7,n+10,...,6,2n-3,2,2n+1,
n+1,2n+2

合計＝2[

n-1 4

]+2[

n-1 4

]+2=4k+2=n+1回

●n=4k+2の場合：

2,2n+1,6,2n+5,10,2n+9,...,n-8,n+11,n-4,n+7,
n+4,n-1,n+3,
n-3,n+8,n-7,n+12,...,3,2n+2

合計＝2[

n-2 4

]+3+2[

n-2 4

]=4k+3=n+1回

●n=4k+3の場合：

3,2n-2,7,2n-6,11,2n-10,...,n-8,n+9,n-4,n+5
n-2,n+4,
n-5,n+7,n-9,n+11,n-13,n+15,..,2,2n+1,
n+1,2n+2

合計＝2[

n-3 4

]+2+2[

n-3 4

]+2=4k+4=n+1回

以上、n+1回で入れ替え可能です。

ちなみに、ｎが奇数の場合、並んでいる２人の間に空間があってもよいでしたら、n回で移動可能と予想できます。
たとえば、n=5の場合の入れ替えの手順は次のようになります。
3→8→5→11→2
5→8→1→11→4

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題１】　４回

1→7→4→8
2→5→8→1
4→7→2→8
5→2→8→1

【問題２】　５回

2→9→4→8→1
2→9→6→3→10
5→2→9→4→1

【問題３】　６回

2→7→10→5→11→1
2→11→6→9→3→12
3→6→11→2→8→1
3→8→2→11→6→12
5→8→1→4→11→1
5→8→1→11→4→1
5→8→4→11→8→1
5→8→11→4→8→1
6→11→2→9→3→12
7→4→11→6→8→1
10→7→2→5→11→1

【おまけ】

【問題　N=２】　３回

2→5→1
3→5→1

【問題　N=１】　１回

1

【問題　N≧２】　Ｎ＋１回　より多くない。

Ｎ＋１回の場合ならば　N mod 4 の値により若干異なる４タイプの方法がある。
Ｎ＝２と３の場合は一般解の見通しが分かりにくいのでＮ＝６、７の場合を示した。

（１）
どのタイプも初手は２番

（２-１）
Ｎ mod ４　が０〜２の場合は、両側から４個づつ区切り
（１グループだけオーバーラップさせる）、
各グループの中央の２個を外側から互いに交換する。
すると[（Ｎ＋３）／２]手目で、中央の空白に隣接の１個を除き両側から同種２個ずつまとまった形になる。
ただし、Ｎ mod ４＝１の場合、最後は２個右にずらした位置を移動する。
（Ｎ＝５の図黄色枠部）。

（２-２）
Ｎ mod ４　が３の場合は、右側２個を別にし、両側から４個づつ区切り
（１グループだけオーバーラップさせる）、
各グループの中央の２個を外側から互いに交換する。
そして[（Ｎ＋３）／２]手目で右端の２個を移動（Ｎ＝７の図黄色枠部）すると中央の３個のまとまりを除き、同種２個ずつ左右対称にまとまった形になる。

（３）同種２個の組を中から外へ、左右交換して行く。

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