『今週の問題』

『今週の問題』第１回　解答

◆広島県　清川　育男さんからの解答。

ａｂｃ－１
(ａ－１)(ｂ－１)(ｃ－１) ＝ｋ

Ｋは自然数とする。

１＜ａ＜ｂ＜ｃ，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＞２であるから
２≦ｋ≦３

ｃ＝ａｂ（必要十分条件）とする。
ａｂｃ－１＝ｃ²－１＝(ｃ＋１)(ｃ－１) であるから、

ｃ＋１＝ｋ(ａ－１)(ｂ－１)

ｋ＝２のとき、
ｃ＋１＝２(ａ－１)(ｂ－１)
ａｂ＋１＝２ａｂ－２ａ－２ｂ＋２

ｂ＝２ａ－１
ａ－２

ａ＝３，ｂ＝５，
ｃ＝２×(３－１)×(５－１)－１＝１５

２２４
１１２＝２
ｋ＝３のとき、
ｃ＋１＝３(ａ－１)(ｂ－１)
ａｂ＋１＝３ａｂ－３ａ－３ｂ＋３

ｂ＝３ａ－２
２ａ－３

ａ＝２，ｂ＝４，
ｃ＝３×(２－１)×(４－１)－１＝８

６３
２１＝３

答え (ａ＝２,ｂ＝４,ｃ＝８),(ａ＝３,ｂ＝５,ｃ＝１５)　　　

◆神奈川県　三島　久典さんからの解答。

　Ａ＝ａ－１, Ｂ＝ｂ－１, Ｃ＝ｃ－１とおくと、

　ａｂｃ－１
＝(Ａ＋１)(Ｂ＋１)(Ｃ＋１)－１
＝ＡＢＣ＋(ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)

∴

ａｂｃ－１
(ａ－１)(ｂ－１)(ｃ－１)

＝ＡＢＣ＋(ＢＣ＋ＣＡ＋ＡＢ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)
ＡＢＣ

＝１＋( １
Ａ＋１
Ｂ＋１
Ｃ )＋( １
ＢＣ＋１
ＣＡ＋１
ＡＢ )

この値が整数値となればよい。
Ａ, Ｂ, Ｃの取り得る最小値は、Ａ＝１, Ｂ＝２, Ｃ＝３

よって、

＜１＋( １
１＋１
２＋１
３ )＋( １
６＋１
３＋１
２ )

＝１＋１７
６

つまり、

( １
Ａ＋１
Ｂ＋１
Ｃ )＋( １
ＢＣ＋１
ＣＡ＋１
ＡＢ )

が１または２となるＡ, Ｂ, Ｃを求めればよい。

(1) Ａ＝３のとき、Ｂ, Ｃの取り得る最小値は、Ｂ＝４, Ｃ＝５であるが、
このとき、

( １
Ａ＋１
Ｂ＋１
Ｃ )＋( １
ＢＣ＋１
ＣＡ＋１
ＡＢ )

＝５９
６０

よって、Ａの取り得る値は、１、２のみ。

(2) Ａ＝１のとき。
Ｂ, Ｃの取り得る最小値は、Ｂ＝２, Ｃ＝３であるから、

( １
Ａ＋１
Ｂ＋１
Ｃ )＋( １
ＢＣ＋１
ＣＡ＋１
ＡＢ )

＝１＋２( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ

＜１＋１１
６

よって、

２( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ

の取り得る値は１のみ。

Ｂ＝４のときＣの最小値は、Ｃ＝５であるが、
このとき、

２( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ＝１９
２０

よって、Ｂの取り得る値は、２、３のみ。

Ｂ＝２のとき解は無い。Ｂ＝３のときＣ＝７となる。

このとき、(ａ, ｂ, ｃ)＝(１＋１, ３＋１, ７＋１)＝(２, ４, ８)

(3) Ａ＝２のとき。
Ｂ, Ｃの取り得る最小値は、Ｂ＝３, Ｃ＝４であるから、

( １
Ａ＋１
Ｂ＋１
Ｃ )＋( １
ＢＣ＋１
ＣＡ＋１
ＡＢ )

＝１
２＋３
２ ( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ

＜３５
２４

よって、

１
２＋３
２ ( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ

の取り得る値は１のみ。

Ｂ＝６のときＣの最小値は、Ｃ＝７であるが、
このとき、

１
２＋３
２ ( １
Ｂ＋１
Ｃ )＋１
ＢＣ＝８３
８４

よって、Ｂの取り得る値は、３、４、５のみ。

Ｂ＝３、５のとき解は無い。Ｂ＝４のときＣ＝１４となる。

このとき、(ａ, ｂ, ｃ)＝(２＋１, ４＋１, １４＋１)＝(３, ５, １５)

以上より、題意を満たすようなａ、ｂ、ｃの組は、

(２, ４, ８), (３, ５, １５) の２通り。

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（コメント）
最初の置き換え、及び、範囲の絞り込みがポイントです。
こういう手法を示すだけでも、教育的価値はあると思います。

◆宮城県　アンパンマンさんからの解答。

a(bc-1)
(a-1)(b-1)(c-1) ＜ abc-1
(a-1)(b-1)(c-1) ＜ abc
(a-1)(b-1)(c-1)

(b-1)(c+1)＜bc-1＜bc≦ (b+1)(c-1)

a
a-1 ＜ a(c+1)
(a-1)(c-1) ＜ abc-1
(a-1)(b-1)(c-1) ＜ a(b+1)
(a-1)(b-1) ＜ a+2
a-1

>From the problem, abc-1
(a-1)(b-1)(c-1) is an integer.

Because a-1 is also an integer, therefore

abc-1
(a-1)(b-1)(c-1) = a+1
a-1 =1+ 2
a-1

This yields a=2, 3.

Case1; a=2

2bc-1
(b-1)(c-1) = 3 → (b-3)(c-3)=5. → b-3=1, c-3=5

We thus have a=2, b=4, c=8.

Case2; a=3

3bc-1
2(b-1)(c-1) = 2 → (b-4)(c-4)=11.→ b-4=1, c-4=11

We thus have a=3, b=5, c=15.

With similar argument, we can find that all the integer solutions 0＜a＜b＜c＜d for

K= abcd-1
(a-1)(b-1)(c-1)(d-1) to be an integer are

(a,b,c,d)=(2,4,10,80) and (3,5,17,255) with K=3, 2 respectively.

Also, all the integer solutions 0＜a₀＜a₁＜...＜a_n for

K= a₁*a₂*...*a_n-1
(a₁-1)(a₂-1)...(a_n-1) to be an integer are

(a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n)
=(3¹-1,3¹+1,3²+1,3⁴+1,...,3^(2^n-3)+1,3^(2^n-2)-1)

and

(a₁,a₂,a₃,a₄,...,a_n)
=(2¹+1,2²+1,2⁴+1,2⁸+1,...,2^(2^n-2)+1,2^(2^n-1)-1)
with K=3, 2 respectively.

◆神奈川県　チャーリーブラウンさんからの解答。

abc-1が(a-1)(b-1)(c-1)を約数に持つ場合、a,b,cは全て偶数か全て奇数かのどちらかとなる。

（∵）a,b,cいずれか1つが偶数だとすると、abc-1は奇数となるので、
その約数である(a-1)(b-1)(c-1)は偶数にはなれない。
よって、a-1,b-1,c-1全て奇数、すなわちa,b,c全て偶数。
従って、a,b,cの差は偶数。

ここでc=abとすると、abc-1=c²-1=(c-1)(c+1)となり、c-1を因数に持つ。

そこで、c=ab+2d(mは整数)とおいて、abc-1がc-1を因数に持つ条件を求める。

abc-1=c(c-2m)-1=c²-2mc-1をf(c)とおくと、
f(c)がc-1を因数に持つ条件は、因数定理からf(1)=0。
これを解いて、m=0。すなわち、c=abが唯一の条件。

次に求める条件は、ab+1が(a-1)(b-1)を約数に持つための条件。
b=a+2n(nは自然数）とおくと、

ab+1=b(b-2n)+1=b²-2nb+1。

これをg(b)とおくと、g(b)がb-1を因数に持つ条件は、因数定理からg(1)=0。

これを解いて、n=1。すなわち、b=a+2が唯一の条件。

このとき、ab+1=a(a+2)+1=(a+1)²より、確かにb-1=a+1を因数に持つ。

最後に、a+1がa-1を約数に持つ場合、a+1≠a-1なので、
a+1はa-1と2以上の整数との積であり、a+1≧2(a-1)を満たす必要があるが、
この不等式を解くと、a≦3。
従って、a＞1と併せて、a=2,3の2通りだけが候補となる。

それぞれの場合、確かにa+1はa-1を約数に持つことが簡単に確かめられるので、どちらも解となる。

以上から、求める整数の組は、(a,b,c)=(2,4,8),(3,5,15)の2組。

おもしろい問題でした。
はじめに具体例を挙げるのに10分程度費やし、ようやく見つけた(2,4,8)を足がかりにして、30分以上も考えて解答にたどりつきましたが、皆さんきれいな解答をしてますね。

◆北海道　u1248 さんからの解答。

abc-1=N(a-1)(b-1)(c-1)…(1)と置く(N:自然数)
1＜a＜b＜c…(2)

N= abc
(a-1)(b-1)(c-1) + 1
(a-1)(b-1)(c-1)

f(x)= x
x-1 とすると

N=f(a)f(b)f(c)- 1
(a-1)(b-1)(c-1)

∴N＜f(a)f(b)f(c)≦f(a)f(a+1)f(a+2)= a+2
a-1 =1+ 3
a-1 …(3)

a≧2よりN＜4

N=1とすると(1)よりc(a-1)+a(b-1)+b(c-1)=0となり(2)に矛盾

∴N=2,3　さらに(3)から

イ）N=2 → a=3((1)でN=2ならa,b,cすべて奇数）
ロ）N=3 → a=2

が得られる。それぞれの場合(1)から

イ）(b-4)(c-4)=11、b=5,c=15
ロ）(b-3)(c-3)=5 、b=4,c=8

が得られる。

(a,b,c)=(3,5,15),(2,4,8)

◆海外の高校生　nc622　さんからの解答。

偶数*偶数=偶数
偶数*奇数=偶数
奇数*奇数=奇数

a,b,cが全て偶数の場合，
abc-1は奇数になり，(a-1)(b-1)(c-1)も奇数になる．
よって，除算で余りが無い．

a,b,cの何れかに奇数が入っている場合，
abc-1は奇数になり，(a-1)(b-1)(c-1)は偶数になる．
よって，除算で余りが1になる．

a,b,cが全て奇数の場合，
abc-1は偶数になり，(a-1)(b-1)(c-1)は偶数になる．
よって，除算で余りが無い．

従って，題意を満たすa,b,cは全て偶数か、全て奇数．

a,b,cが全て偶数の場合、 2x*2y*2z-1
(2x-1)(2y-1)(2z-1) =dとできる．

これを展開して整理すると，

8xyz-1
8xyz-4xy-4yz-4zx+2x+2y+2z-1 となり，

abc-1=8xyz-1だから，abcは8の倍数．

＃この条件で検査して，2,4,8を見付けました．
奇数の具体例はランダムで計算して，3,5,15を求めました．

abc- 1
(a-1)(b-1)(c-1) = abc
(a-1)(b-1)(c-1)+1 - 1
(a-1)(b-1)(c-1)

1＜a＜b＜cだから，a,b,cを満たす最小の数はa,a+1,a+2で，a,b,cにそれぞれ代入し，

abc- 1
(a-1)(b-1)(c-1) ＜ abc
(a-1)(b-1)(c-1)+1

= a(a+1)(a+2)
(a-1)a(a-1)

= a+2
a-1

= 1+ 3
a-1 を得る．

よって，1＜aで，abc- 1
(a-1)(b-1)(c-1) =dは，最大で3になる．

d=1の時，a,b,cで題意を満たす数は無い．
d=2の時，a,b,cは3,5,15．
d=3の時，上の2,4,8になる．

よって，a,b,c=(2,4,8),(3,5,15)

＃上の偶数、奇数での場合分けは、直接の証明には関係ありません。
最初に題意を満たす値を検査しようとした時に定めた条件です。
「難問です」というコメントに惹かれて解いてみました。
楽しかったです。

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