『中学生からの挑戦状Part30』解答

◆愛知県　迷子の雄猫 さんからの解答。

○(k+1)=○k*10+1
○(k+1) mod 527 = ((○k mod 527)*10+1 ) mod 527　であるので、
○p mod 527 = 0 を満たすpの最小値は 240 となるのは計算で求めましたが、本来はどういう解き方をするものでしょうか？
他の方のご回答に期待します。

◆東京都の高校生　もやし さんからの解答。

まず、「ある自然数ｍで割り切れる最小の○ｎを○ｎ_ｍ　と表すとするならば、
○ｋｎ_ｍはｍで割り切れて、○（ｎ_ｍ＋ｔ）はｍで割り切れない」ことを証明する。
（ただし、ｋ，ｔ　は自然数で、ｔ≠ｎ_ｍの倍数）

前者

○２ｎ＝１０^ｎ×○ｎ＋○ｎ
○３ｎ＝１０^２ｎ×○ｎ＋１０^ｎ×○ｎ＋○ｎ

と表せるので、以下同様にして、

○ｋｎ＝１０^{(ｋ−１)ｎ}×○ｎ＋１０^{(ｋ−２)ｎ}×○ｎ＋…１０^２ｎ×○ｎ＋１０^ｎ×○ｎ＋○ｎ

と表せる。

従って、○ｋｎは○ｎで割り切れるので、○ｋｎ_ｍも○ｎ_ｍで割り切れる。
よって、○ｋｎ_ｍはｍで割り切れる。

後者

○(ｎ＋１)＝１０¹×○ｎ＋○１
○(ｎ＋２)＝１０²×○ｎ＋○２

と表せるので、以下同様にして、

○(ｎ＋ｔ)＝１０^t×○ｎ＋○ｔ

と表せる。

従って、○（ｎ_ｍ＋ｔ）＝１０^t×○ｎ_ｍ＋○ｔ　と表せるので、
○ｔ　がｍで割り切れないことを示せばよい。

ｔ＜ｎ_ｍの場合、○ｎ_ｍの定義から無論割り切れない。

ｔ＞ｎ_ｍの場合、
自然数ｕ，ｓ（ｓ＜ｎ_ｍ）を用いてｔ＝ｕｎ_ｍ＋ｓと表せるので、結局上記から割り切れない。

よって、○（ｎ_ｍ＋ｔ）はｍで割り切れない。

以上のことから、ある自然数ｍで割り切れる最小の○ｎを○ｎ_ｍと表すとするならば、
２番目以降は○２ｎ_ｍ，○３ｎ_ｍ，…と続くことがわかる。

これを踏まえて本題に入ると、
５２７＝１７×３１であり、

１７で割り切れる最小の○ｎは○１６、
３１で割り切れる最小の○ｎは○１５なので、
１７で割り切れる○ｎは、○１６，○３２，○４８，…と続き、
３１で割り切れる○ｎは、○１５，○３０，○４５，…と続くことがわかる。

よって、５２７で割り切れる○ｐ、 すなわち１７でも３１でも割り切れる○ｐのｐの最小値は、１６と１５の最小公倍数２４０である。

∴ｐ＝２４０

ちなみに１だけを並べてできる自然数を、レピュニットと呼ぶそうです。
１が２４０個も並ぶ数字なんて見たくないですね…

◆大分県　matsu さんからの解答。

527＝17×31

○n が17で割り切れる場合，31で割り切れる場合を考える。

○16＝17 × 11×73×101×137×5882353
○15＝31 × 3×37×41×271×2906161
（『１１１・・』解答をそのまま使ってます。あしからず）

であるから，a，b を自然数とすると，
○16a は17で割り切れ，○15b は31で割り切れる。

15と16の最小公倍数は240であるから，
○240c（c は自然数）は17でも31でも割り切れる。

すなわち，527で割り切れる。

よってpの最小値はc＝1のときで，240 ・・・（答）

ちなみに，(○240)÷527の商は，（Excel使用）
21083702298123550495467004005903436643474594138730761121652962260172886358844613114062829432848408180476491671937592241197554290533417668142525827535315201349356947079907317098882563778199451823740248787687117857895846510647269660552393

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

 ○ 2 = 11 
 ○ 3 = 3 * 37 
 ○ 4 = 11 * 101 
 ○ 5 = 41 * 271 
 ○ 6 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 
 ○ 7 = 239 * 4649 
 ○ 8 = 11 * 73 * 101 * 137 
 ○ 9 = 3 * 3 * 37 * 333667 
 ○10 = 11 * 41 * 271 * 9091 
 ○11 = 21649 * 513239 
 ○12 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37 * 101 * 9901 
 ○13 = 53 * 79 * 265371653 
 ○14 = 11 * 239 * 4649 * 909091 
 ○15 = 3 * 31 * 37 * 41 * 271 * 2906161 
 ○16 = 11 * 17 * 73 * 101 * 137 * 5882353

○16 は　１７で割り切れる。
○15 は　３１で割り切れる。
１６と１５の最小公倍数は２４０。

○240　は　５２７で割り切れる最少のものということになる。

Ｐ＝２４０。

○ｐ=

10P-1 9

ですね。

フェルマーの小定理で解くのでしょうか。

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