◆神奈川県 vitamin2b さんからの解答。
10=3・3+1です。
ある素数pについて、（以下 mod 3）
p≡0、p≡1、p≡2で分類する。
p≡0なら、p=3
p≡1なら、p+10≡2
p+10+10≡0
p+10+10+10≡1
・・・（以下余りの値は繰り返し）
p≡2なら、p+10≡0
p+10+10≡1
p+10+10+10≡2
・・・（以下余りの値は繰り返し）
となり、ｐがどんな数でも３連続数のうちどれかひとつは３で割り切れてしまい、素数ではない。
ところで、3は唯一3の倍数の素数であり、
p=3のとき、p+10=13，p+10+10=23となり３連続で素数となる。
◆滋賀県 ippei さんからの解答。
pが3以外の素数ならば、pは3で割ってあまり1か2である。
余り2の数ならp+10は3の倍数となる。
余り1の数ならp+20は3の倍数となる。
P＝3なら、3、13、23 と素数が3つ続く。
従って、条件を満たす数はP＝3のみである。
◆茨城県 変態数学教師見習い さんからの解答。
ｐが３以外の素数のとき
(?@)ｐ≡１ (mod３) ならば
ｐ＋２０≡０ (mod３) より，ｐ＋２０は素数ではない．
(?A)ｐ≡２ (mod３) ならば
ｐ＋１０≡０ (mod３) より，ｐ＋１０は素数ではない．
なので，題意の操作を繰り返して得られる素数は高々２個．
一方，題意の操作を３からはじめると
３…素数，１３…素数，２３…素数，３３…合成数となり，ちょうど３個の素数が得られる．
したがって，題意は示された．
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【証明】
補題 ： 任意の非負整数ａにおいて、
ａ , ａ＋１０ , ａ＋２０ のいずれかは３の倍数である。
【補題の証明】
ｋを任意な非負整数とすると、
ａは ａ＝３ｋ , ａ＝３ｋ＋１ , ａ＝３ｋ＋２ のいずれかである。
[ａ＝３ｋのとき]
明らかに、ａは３の倍数
[ａ＝３ｋ＋１のとき]
ａ＋２０＝(３ｋ＋１)＋２０＝３ｋ＋２１＝３(ｋ＋７)
∴ ａ＋２０は３の倍数。
[ａ＝３ｋ＋２のとき]
ａ＋１０＝(３ｋ＋２)＋１０＝３ｋ＋１２＝３(ｋ＋４)
∴ ａ＋１０は３の倍数。
補題は証明された。
すると、初項ｐ公差１０の等差数列では、連続３項のいずれかは３の倍数である。
ところが、この数列の第２項以降の値が３の倍数なら、明らかにそれは素数ではない。
よって、連続３項とも素数であるためには、初項ｐが３の倍数である素数、つまり３でなければならない。
（必要条件証明終わり）
そこで、初項を３とすると、数列の値は、３ , １３ , ２３ , ３３ , … である。
明らかに、初稿から第３項までは素数であるが、第４項は素数ではない。
（十分条件証明終わり）
よって、条件を満たすのはｐ＝３のときだけであり、得られる素数は高々３個である。
証明終わり。
◆広島県 hekiheki さんからの解答。
素数は、２と３を除き、自然数ｋを用い、６ｋ±１で表される。
このことから、６ｋ±１に１０を加えると、
（１）６ｋ＋１１（２）６ｋ＋９
となります。
（２）は３（２ｋ＋３）となり、素数にはならない。
また、（１）にさらに１０を加えると、
６ｋ＋２１＝３（２ｋ＋７）となり、
素数にはならず、いずれの場合も３つ連続しない。
２に１０を加えると１２＝４×３より、素数ではない。
また、３の場合３、１３、２３はいずれも素数で３つ連続する。
以上より、題意は証明できた。
◆兵庫県 三日月 さんからの解答。
素数ｐの各桁の数字の和をｘとする。
（例：１７のときｘ＝１＋７＝８）
このときｘは整数なので
ｘ＝３＊ｍ,３＊ｍ＋１,３＊ｍ＋２のいずれかの形で表せる。
(@)ｘ＝３＊ｍのとき
ｐは３の倍数であるので素数ではない。
ただしｐ＝３のときのみｘ＝３＊１となるがｐは１と３以外では割り切れないので素数である。
(A)ｘ＝３＊ｍ＋１のとき
ｐに１０を加えることにより１０の位の数字が１増える。
よって各桁の数字の和ｘ２はｘ２＝３＊ｍ＋２
さらにｐに１０を加えると
各桁の数字の和ｘ３＝３＊ｍ＋３となり
ｐ＋２０は３の倍数となる。
(B)３＊ｍ＋２のとき
(A)と同様にするとｘ２＝３＊ｍ＋３となり
ｐ＋１０は３の倍数となる。
◆秋田県の高校生 Ｊーレオ さんからの解答。
素数ｐは、
ｐ＝３ｋ＋１…(1)、ｐ＝３ｋ＋２…(2)、ｐ＝３ｋ…(3)に分けられる。
〜(1)の場合〜
ｐ＋１０
＝３ｋ＋１＋１０
＝３ｋ＋１１
＝３（ｋ＋３）＋２≠（３の倍数）
ｐ＋２０
＝３ｋ＋１＋２０
＝３（ｋ＋７）＝（３の倍数）
ゆえに、ｐに２０足すと３の倍数になり、合成数となる。
〜(2)の場合〜
ｐ＋１０
＝３ｋ＋２＋１０
＝３（ｋ＋４）＝（３の倍数）
ゆえに、ｐに１０足すと３の倍数になり、合成数となる。
〜(3)の場合〜
ｐ＋１０
＝３ｋ＋１０
＝３（ｋ＋３）＋１≠（３の倍数）
ｐ＋２０
＝３ｋ＋２０
＝３（ｋ＋６）＋２≠（３の倍数）
ゆえに、ｐ＋１０、ｐ＋２０の両方共が素数である可能性がある。
しかし、３ｋが素数の場合は３しかない。
３＋１０＝１３、３＋２０＝２３より、
ｐ＝３は条件を満たす。
ゆえに、ｐ＝３の時のみ成り立つ事が分かる。
また、ｐ＝３の時、
ｐ＋３０＝３＋３０＝３＊１１
ゆえに、ｐ＋３０の時は合成数となる。
以上より、得られる素数の連続が最も大きいのは
ｐ＝３の時で、得られる素数は１３、２３である。
したがって、連続して得られる素数は高々３個でありそのときはｐ＝３の時である。
証明終了！