『(2+√3)ⁿ』解答

◆東京都の高校生　MATIX さんからの解答。

a=2+， b=2- とおく。

a,bは、解と係数の関係より、次の方程式の解となる。

x²-4x+1=0　・・・(１)

ここで、C(n)=aⁿ+bⁿ とおく。

(１)より、x²=4x-1

a²=4a-1，b²=4b-1　・・・(２)

したがって、（２）の両辺にそれぞれ、aⁿ,bⁿをかけると、

aⁿ⁺²=4*aⁿ⁺¹-aⁿ
bⁿ⁺²=4*bⁿ⁺¹-bⁿ

この２式を辺々加えることによって
C(n+2)=4*C(n+1)-C(n)

ここで、C(1)=4，C(2)=(a+b)²-2ab=14

したがって、漸化式による帰納的定義により、C(n)は整数となる。

また、定義より、C(n)が正の数になるのは明らか。
さらに、0＜b＜1であるから0＜bⁿ＜1
つまり、f(n)=[aⁿ]=C(n)-1

ところが、漸化式および第１項と第２項をみると、
C(n),C(n+1)が偶数ならば、C(n+2)も偶数であることがわかる。

C(n)が奇数であれば、条件を満たす。
ところが、そのようなnは存在しない。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

f(n)=[(2+)ⁿ]
[ ] ガウスの記号。

ペルの方程式 X²-3*Y²=1

(2+)ⁿ=X_n+Y_n
X₁=2，Y₁=1

f(n)=2*X_n-1

したがって、f(n)が偶数になることはない。

◆京都府　大空風成 さんからの解答。

(2+)nを超えない最大の整数が偶数であるとして、これを2kとおくと、 2k≦(2+)n＜2k+1 ここで、0＜2-＜1だから、0＜(2-)n＜1であることを利用して、 2k＜(2+)n+(2-)n＜2k+2　・・・(1) (2+)n+(2-)nを展開すると、 の付いた項はすべて消える（下の（参考）を参照）ので、 この数は整数となり、(1)より、 (2+)n+(2-)n=2k+1　・・・(2) (2)の式の左辺を展開したときの各項は整数で, 等しい項が必ず2項ずつある（下の（参考）を参照）ので、 (2)の式の左辺は偶数である。 ところが、右辺は奇数だから、矛盾する。 よって、(2+)nを超えない最大の整数が偶数であるようなnはない。 （参考） 2項定理による展開式（乗法記号*が必要なところも、できるだけ省略しています） (2+)n+(2-)n =nC02n+nC12n-1() +nC22n-2()2+・・・+nCn-12() n-1+nCn() n+nC02n+nC12n-1(-) +nC22n-2(-)2+・・・+nCn-12(-√ 3)n-1+nCn(-)n ｎが偶数(2m)のとき、 nC02n+nC12n-1() +nC22n-2*3+・・・+nCn-12*3m-1√ 3+nCn3m+nC02n- nC12n-1()+nC22n-2*3+・・・- nCn-12*3m-1+nCn3m =2(nC02n+nC22n-2*3+・・・ +nCn3m) ｎが奇数(2m+1)のとき、 nC02n+nC12n-1() +nC22n-2*3+・・・+nCn- 12*3m+nCn3m√ 3+nC02n-nC12n-1() +nC22n-2*3+・・・+nCn-12*3m- nCn3m =2(nC02n+nC22n-2*3+・・・ +nCn-12*3m)

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