◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
初項をa1とし第ｎ項anで両数列の和が等しくなるとする。
公差をｄ、公比をｒとする
an = a1 + (n-1)d = a1* rn-1 から
| 式 d=a1* | rn-1-1 n-1 |
でｄを消去する。 |
D ≡ 等差数列の第ｎ項までの和−等比数列の第ｎ項までの和
a1＝0 の場合 明らかにD=0
a1≠0の場合
n=1,2の場合、明らかにD＝0
n≧3の場合
r≧0の場合
| D a1 |
＝ n + | n(n-1)d 2a1 |
- 1 - r - r2 - ... - rn-1+ | nrn 2 |
| ＝( | n 2 |
- 1) - r - r2 - ... - rn-2 + rn-1 ( | n 2 | - 1) |
| ＝(ｒ−１){ ( | n 2 |
- 1) rn-2+ ( | n 2 | - 2) rn-3 + ( | n 2 | - 3) rn-4 + (- | n 2 | +1+k)rk + ... (- | n 2 | + 3)r2 + (- | n 2 | +2 )r + (- | n 2 | +1 )} |
| ＝(ｒ−１)2{ ( | n 2 |
- 1) rn-3+{ ( | n 2 | - 2)+( | n 2 | - 1)} rn-4 +{( | n 2 | - 2)+( | n 2 | - 1)+( | n 2 | - 3)}rn-4 + ... + | k 2 | *(n-k-1)rn-k-2+ ... ] |
| ＝ | 1 2 |
*(r-1)2 | n-2 Σ k=1 | k *(n-k-1)rn-k-2≧ 0 |
r＜0の場合
| D a1 | ＝ n + | n 2 |
*(rn-1-1) - | 1-rn 1-r |
| ＝ | ( n - 2) ( 1 - rn ) - nr *( 1 - rn-2) 2(1-r) |
| nが奇数の場合、 | D a1 |
＞０ |
| −１＜r＜０の場合、 | D a1 |
＞０ |
| r＝−１の場合、 | D a1 |
＝０ |
| r＜−１の場合、 | D a1 |
＜０ |