◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
結論は不可能だと思います。
初項をχ1、項差をｄ（＞０）とする。
初項から第１０項までの和をｓとする。
ｓ＝χ1×１０＋ｄ×４５
＝５×（χ1×２＋ｄ×９）
ｓは第１０項までの和であるから偶数でなければならない。
（χ1×２＋ｄ×９）が偶数でなければならない。
（ｄ×９）が偶数でなければならない。
結局、項差ｄは偶数でなければならない。
したがって、初項χ1は２ではありえない。
各項は奇素数でなければならない。
χ10＜２１００であるから、２≦ｄ≦２２０
３、５、７の剰余の考えから、ｄは３の倍数、５の倍数、７の倍数でなければならない。
そうすると少なくとも
ｄ＝２×３×５×７＝２１０でなければならない。
２２０以下であるから。
χ10＜２１００からこの場合の最大の奇素数は２０９９となる。
ｓｑｒｔ（２０９９）＝４５．８１．．＜４６
４６以下の最大の素数は４３である。
３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３
３、５、７はクリア出来るがそれより大きい素数がクリア出来ない。
したがって題意を満たす等差数列を作ることが出来ない。
証明とは程遠いですが、多少の説明にはなっているか？
条件のχ1＜＞１９９の意味が解りません。
それが理解出来れば証明になるのでしょうね。
◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
χ1は素数なので奇数である。
（∵偶数ならば２の倍数であるため素数でなくなり、χ1が２であったとしても等差数列のためχ3が必ず２の倍数となってしまう）
さらに、公差はχ1より小さい素数の最小公倍数でなければ数列は素数にならない。
素数なのは第１０項目までなので、χ1は９より大きくなければならない。
（∵１０項目までにχ1の倍数がでてしまう）
以上を考慮すると次の数列が得られる。
９より大きい素数のうち最小のものは１１であり、
１１よりも小さい素数の最小公倍数は２×３×５×７＝２１０。
よって初項１１公差２１０の数列は題意を満たす。
１１，２２１，４３１，６４１，８５１，１０６１， １２７１，１４８１，１６９１，１９０１（ちょっと感想）
まだ全部が素数なのかは確かめていませんが、理屈では素数だと思います。
大学入試にも出てきそうないい問題だと思います。
【コメント】
ちょっと今日は検討している時間がないのですが、もし不可能という説が正しいのなら、素因数分解できるはずなのですがどうでしょう。
◆大阪府の高校生 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
私の解答の訂正
できると言い、しかもその数列を書いていましたが、後で調べてみると、２つ目の２２１がもろに１３の倍数でした。
私の解答は間違いです。すいませ〜ん。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
χ1≠１９９の意味が解りました。
項差２１０とする。
１９９，４０９，６１９，８２９，１０３９，１２４９，１４５９，１６６９，１８７９
確かにχ1＝１９９が許されると項差２１０の等差数列になります。
各項は素数。
答えは不可能であることが予想されますが、理由を再考しなくてはなりません。
ユークリッドの互除法？と関係がありそうですね。
２１０−１９９＝１１
１１，７，５，３。確かに予感がします。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
求める等差数列の構造が解りました。
項差をｄとする。ｄ＝２×３×５×７
ｄ−１１，２ｄ−１１，３ｄ−１１，４ｄ−１１，
５ｄ−１１，６ｄ−１１，７ｄ−１１，８ｄ−１１，
９ｄ−１１，１０ｄ−１１
ｄ＝２×３×５×７＝１２０。
したがって初項は１２０−１１＝１９９。
１９９は素数である。
１９９，４０９，６１９，８２９，
１０３９，１２４９，１４５９，１６６９，
１８７９，２０８９
各項はすべて素数である。
初項は１９９であってはいけないの条件がある。
上記の構造を満たす初項は１９９以外にない。
したがって、結論は不可能です。
答え 不可能です。
ここで疑問があります。上記の場合は条件を満たしています。
しかし１１で割り切れないことは保障していますが、それより大きい素数で割り切れないという保障はありません。
この場合でいえば、
１３、１７、１９、２３、３１、３７、４１、４３です。
例えば 同じ構造の、
（ｄ＝２×３×５＝３０）、（３０−７＝２３）を考えます。
２３，５３，８３，１１３，１４３＝１１×１３，１７３
第５項が素数ではありません。
この構造は一般的な場合には、必要条件ではあるが、十分条件にはなっていません。
成り立つ場合もあるということでしょうか。
しかし、今回の問題はどのようにして発見されたのでしょうか。
おもしろくもあり不思議な気分にさせる問題でした。
◆京都府 the king of water gate さんからの解答。
２０２０４５１５９１−２２４４９４６２０ｉ
（０≦ｉ＜１０）は条件を満たす。
（１）２０２０４５１５９１−２２４４９４６２０ｉ
（０≦ｉ＜１０）は全て素数。
（２）２０２０４５１５９１≠１９９。
（３）１１＜２１００。