◆神奈川県 諏訪 冬葉 さんからの解答。
【問題１】
便宜上
α、β、γの各角がある点をＡ，Ｂ，Ｃ
三角形の中にある点をＰ
大きい円をＯ１、小さい円をＯ２とする
Ｏ１は三角形ＰＡＢに外接し、ＢＣに接しているので
∠ＰＡＢ（α）＝∠ＰＢＣ（β）
同様に、Ｏ２は三角形ＰＢＣに外接し、ＣＡに接しているので
∠ＰＢＣ（β）＝∠ＰＣＡ（γ）
よって∠α＝∠β＝∠γ
【問題２】
上の逆をたどる
ＡＢを通りＢでＢＣに接する円Ｏ１を描く。
ＢＣを通りＣでＣＡに接する円Ｏ２を描く。
Ｏ１とＯ２のＢでない交点が求める点Ｐである。
【参考】
http://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html
◆出題者のコメント。
諏訪冬葉 さん、解答ありがとうございます。
正解です。
円の接線とその接点を通る弦の作る角は，その角内にある孤の張る円周角に等しい。
この「接弦定理」を利用すると、いきなりやさしい問題になりますね。
接弦定理より、
Ａを通りＢで直線ＢＣに接する円の、弦ＡＢに対しＣ側にある弧ＡＢでは、
その弧上の点をＸとすると、
∠ＸＡＢ＝∠ＸＢＣ が成立します。
同じ理屈で、
Ｂを通りＣで直線ＣＡに接する円の、同様な弧上の点Ｙは
∠ＹＢＣ＝∠ＹＣＡ が成立し、
Ｃを通りＡで直線ＡＢに接する円の、同様な弧上の点Ｚは
∠ＺＣＡ＝∠ＺＡＢ が成立します。