◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
A＜B＜C＜D＜E とする。A+B
A+C
A+D
A+E
B+C
B+D
B+E
C+D
C+E
D+E
10通りの組合せの和
4*(A+B+C+D+E)
9通りの組合せの和
48+56+70+79+84+92+93+101+115=738
738/4=184...2
10通りの組合せの和は４で割り切れなければならない。
残り１組の和は、４で割ったとき、余り２とならなければならない。
これを満たすのは、７０。
（７３８+７０）÷４＝２０２
A+B+C+D+E=202
A+B=48
D+E=115
A+B+D+E=163
C=202-163=39
A+C=56
A=17
B=48-17=31
C+E=101
E=101-39=62
D=115-62=53
A 17、B 31、C 39、D 53、E 62 となる。
◆東京都 由釜与祢弥 さんからの解答。
(A+B)+(A+C)+(A+D)+(A+E)+(B+C)+(B+D)+(B+E)+(C+D)+(C+E)+(D+E) = 4*(A+B+C+D+E) 、48+56+70+79+84+92+93+101+115 = 738 ≡ 2 (mod 4) 、
したがって、≡ 2 (mod 4) となるものが重複しているが、
それは 70 のみである。
このとき、A+B+C+D+E = 202 。
A+B=48, A+C=56, C+E=101, D+E=115 はそれぞれ小さなもの2つ、大きなもの2つである。
ここから、C=39, A=17, E=62 。
3番目に小さなものは A+D と B+C が考えられるが、どちらも 70 となる。
したがって、B=31, D=53 。
まとめると、(A, B, C, D, E) = (17, 31, 39, 53, 62) 。
重複しているものが何か特定できればあとはスンナリといきそうです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
答え 17、31、39、53、62
(1) １０有る組み合わせ中、同一値は１種だけであるから、全員の歳は異なる。
即ち Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜Ｅ である。
(2) 各組み合わせの上下関係は下図である。
(3) 下図よりC+Dは偶数であり、９２か８４である。
(4) よって
D+E=115、E+C=101、A+C=56、A*B=48、C+D=92 or 84 より
(A,B,C,D,E)=(17,31,39,53,62) or (21,27,35,49,66) であるが、
後者はA+E=87 で条件にあわない。
一方前者は A＜B＜C＜D＜Eで
B+D=84、A+E=79、C+B=70 で条件を満たす。
◆大阪府 ひで さんからの解答。
Ａ＋Ｂ＝48，Ａ＋Ｃ＝56，Ｃ＋Ｅ＝101，Ｄ＋Ｅ＝115 は自明。（※１）
これにより，Ｄ−Ｂ＝（Ｃ＋Ｄ）−（Ｂ＋Ｃ）＝22 が導ける。
Ｂ＋ＣとＣ＋Ｄの年齢の和の差が22であるのは，次の４種類。
（Ｂ＋Ｃ，Ｃ＋Ｄ）
＝（48,70）(70,92）(79,101）(93,115）
ここで，「Ａ＋Ｂ＜Ｂ＋Ｃ」より，48＜Ｂ＋Ｃ
また，「Ｃ＋Ｄ＜Ｃ＋Ｅ」より，Ｃ＋Ｄ＜101
ゆえに，Ｂ＋Ｃ＝70，Ｃ＋Ｄ＝92 である。（※２）
（※１），（※２）より，
Ａ＝17，Ｂ＝31，Ｃ＝39，Ｄ＝53，Ｅ＝62
感想：なかなかおもしろい問題ですね。
◆島根県の中学校３年生 支離滅裂 さんからの解答。
次のような等式が成り立つ。
A+B=48
A+C=56
A+D=70
A+E=79
B+C=70
B+D=84
B+E=93
C+D=92
C+E=101
D+E=115
後は、これを解いて…
A=17歳
B=31歳
C=39歳
D=53歳
E=62歳
と成る。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答。
◆出題者のコメント。
解答ありがとうございます。
全員正解です。
出題の翌日に６人もの解答者があったのには驚きました。
出題者としてはとても嬉しいものです。
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
条件からわかることは
Ａ＋Ｂ＝４８（→Ａ≦２３、Ｂ≧２５、Ａ＝４８−Ｂ）
Ｄ＋Ｅ＝１１５（→Ｄ≦５７、Ｅ≧５８、Ｅ＝１１５−Ｄ）
さらに、最小・最大から２番目の値より
Ａ＋Ｃ＝５６、Ｃ＋Ｅ＝１０１
（その他の組み合わせでは最小・最大から２番目の値にはなりえません）
というわけで、これらより
Ｃ＝５６−Ａ →Ａ＝５６−Ｃ
Ｃ＝１０１−Ｅ →Ｅ＝１０１−Ｃ
ここからさらに、ＡとＢ、ＤとＥの関係から
Ｃ＝Ｂ＋８ →Ｂ＝Ｃ−８
Ｃ＝Ｄ−１４ →Ｄ＝Ｃ＋１４
ＢとＤの範囲より、３３≦Ｃ≦４３
１０通りの組み合わせのうち、Ａ＋Ｂ，Ａ＋Ｃ，Ｃ＋Ｅ，Ｄ＋Ｅはわかっていますから、残り６通りを考えてみます。
Ａ＋Ｄ＝（５６−Ｃ）＋（Ｃ＋１４） ＝７０ Ａ＋Ｅ＝（５６−Ｃ）＋（１０１−Ｃ）＝１５７−２Ｃ（７１以上９１以下） Ｂ＋Ｃ＝（Ｃ−８） ＋ Ｃ ＝２Ｃ−８ （５８以上７８以下） Ｂ＋Ｄ＝（Ｃ−８） ＋（Ｃ＋１４） ＝２Ｃ＋６ （７２以上９２以下） Ｂ＋Ｅ＝（Ｃ−８） ＋（１０１−Ｃ）＝９３ Ｃ＋Ｄ＝ Ｃ ＋（Ｃ＋１４） ＝２Ｃ＋１４ （８０以上１００以下）Ａ＋Ｄ、Ｂ＋Ｅの値はちゃんと組み合わせ一覧にありますね。
和が９２歳になりうるのはＢ＋ＤとＣ＋Ｄですが、
Ｂ＋Ｄ＝９だったとしてＣを求め、上の各式にあてはめてみると、組み合わせ一覧にない数字がでてきてしまいました・・・
というわけで、Ｃ＋Ｄが９２歳。よってＣは３９歳。
したがって
Ａ＝ ５６−３９＝１７（若い！）
Ｂ＝ ３９−８ ＝３１
Ｃ ＝３９
Ｄ＝ ３９＋１４＝５３
Ｅ＝１０１−３９＝６２
（すべて、上の方でそれぞれ書いた年齢範囲内でおさまっています）
念のため、組み合わせの不明分を検証してみると
Ａ＋Ｅ＝７９、Ｂ＋Ｃ＝７０、Ｂ＋Ｄ＝８４。
すべて組み合わせ一覧にあります。
５人の中から２人を組み合わせる方法は１０通りのはずなのですが、一覧の値は９つしかありません。
ということは１０通りのうち２つの値が同じということですね。
見ると、Ａ＋ＤとＢ＋Ｃが同じ値になっています。
というわけで、出てきた答えはちゃんと条件を満たしています。
答え： Ａは１７歳、Ｂは３１歳、Ｃは３９歳、Ｄは５３歳、Ｅは６２歳
◆出題者のコメント。
鳳奥人さん、解答ありがとうございます。
正解です。
「すべての組み合わせ年齢の合計は４で割り切れる筈。」
皆さんの解答を改めて拝見すると、これを利用した解法と利用しない解法の２タイプですね。
（２対５）
いろいろな解法があってとても参考になります。
◆佐賀県の小学生 秋元 裕太 さんからの解答。
それぞれの人の年齢をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとする。
(Ａ＜Ｂ＜Ｃ＜Ｄ＜Ｅ)
問題から分かることだけを書いていくと
Ａ＋Ｂ＝４８
Ａ＋Ｃ＝５６
Ｃ＋Ｅ＝１０１
Ｄ＋Ｅ＝１１５
また５人の年齢の和の組み合わせは重なりがなければ１０種類のはずなので
この問題はある２つの年齢の和が同じになっていると考えられる。
年齢の組み合わせを全て足すと
４×(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ)となるのでこれは４で割れるということになる。
一方問題の９種類の数字を全て足すと
４８＋５６＋７０＋７９＋８４＋９２＋９３＋１０１＋１１５＝７３８である
７３８÷４＝１８４…２なので
重なっている年齢の和は４で割って２余る数である。
問題の数字の中でこの条件に当てはまる数字は７０のみなので
重なっている年齢の和は７０である。
よって
４×(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ)＝７３８＋７０＝８０８である
したがって
Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝２０２
ここで
Ａ＋Ｂ＝４８
Ｄ＋Ｅ＝１１５より
Ｃ＝３９
また
Ａ＋Ｃ＝５６
Ｃ＋Ｅ＝１０１
なので
Ａ＝１７
Ｄ＝６２
さらに
Ａ＋Ｂ＝４８
Ｄ＋Ｅ＝１１５
なので
Ｂ＝３１
Ｄ＝５３
まとめると
Ａ＝１７
Ｂ＝３１
Ｃ−３９
Ｄ＝５３
Ｅ＝６２
◆出題者のコメント。
秋元裕太さん、解答ありがとうございます。
みごと正解です。
小学生の解答と知って、とても喜んでいます。
それにしても、小学生とは思えないほど、推論の一歩一歩がしっかりしていて説得力がありますね。
◆東京都 mon さんからの解答。
Ｄ＋Ｅ＝１１５ 一番大きい和
Ａ＋Ｂ＝４８ 一番小さい和
７３８
＝４Ａ＋（Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）＋３Ｂ＋（Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）＋２Ｃ＋（Ｄ＋Ｅ）＋Ｄ＋Ｅ
＝４Ａ＋４Ｂ＋４Ｃ＋４Ｄ＋４Ｅ
＝４（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ）
＝７３８
全部で１０通り有るはずなのでどれかがだぶっている。
５６とするとＡ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝７９４／４＝１９８．５（５人の年齢の和）
７０とすると ８０８ ２０２
７９とすると ８１７ ２０４．２５
８４とすると ８２２ ２０５．５
９２とすると ８３０ ２０７．５
９３とすると ８３１ ２０７．７５
１０１とすると ８３９ ２０９．７５
よってだぶっているのは、７０歳のところということがわかる。
５人の年齢の和は２０２歳
ＡＢＤＥの４人の年齢の和は１６３歳
２０２−１６３＝３９・・・・Ｃの年齢
Ｃは、年齢順にして３番目の人。
これがわかると、他の人の年齢が順に明らかになる。
Ａ＋Ｂ＝４８ だから Ｂ＝３１
Ａ＋（Ｂ＋８）＝Ａ＋Ｃ＝５６だから、Ａ＝１７
Ａ＋（Ｂ＋２２）＝Ａ＋（Ｂ＋８＋１４）＝Ａ＋Ｃ＋１４＝Ａ＋Ｄ＝１７＋Ｄ＝７０
Ａ＋（Ｂ＋３１）＝Ａ＋Ｂ＋８＋１４＋９＝Ａ＋Ｄ＋９＝Ａ＋Ｅ＝７９
Ａ＋（Ｂ＋３６）＝Ｄ＋Ｅ−３１＝８４だから
Ａ＋Ｂ＋４４＝Ｄ＋Ｅ−２３＝Ｃ＋Ｄ＝９２
Ａ＋Ｂ＋４５＝Ｂ＋Ｅ＝９３
Ａ＋Ｂ＋５３＝Ｄ＋Ｅ−１４＝Ｃ＋Ｅ＝１０１
Ｅ＝１０１−３９＝６２
Ａ＋Ｂ＋６７＝Ｄ＋Ｅ＝１１５
これよりＡ１７歳 Ｂ３１歳 Ｃ３９歳 Ｄ５３歳 Ｅ６２歳 となる。