◆東京都 かえる さんからの解答。
A=-a+b+c
B= a-b+c
C= a+b-c
| s= | a+b+c 2 | と置く。 |
ここで、三角形の成立条件 ⇔ A＞0∧B＞0∧C＞0・・・（＊）
三角形の面積に着目して、
sr=√(s(s-a)(s-b)(s-c))（∵右辺はヘロンの公式を用いた）
⇔
| 1 r | ＝ | √( | s (s-a)(s-b)(s-c) | ) |
よって
| a+b+c r |
| ＝(a+b+c)・√( | s (s-a)(s-b)(s-c) | ) |
| ＝2√( | (A+B+C)3 ABC | ) |
| ＝2√( | A2 BC |
+ | B2 CA | + | C2 AB | )+3(( | A B | + | B A | )+( | B C | + | C B | )+( | C A | + | A C | ))+6) |
（＊）に注意して、相加相乗平均の関係より、
| a+b+c r |
| ≧2√(3(( | A2 BC |
)( | B2 CA | )( | C2 AB | )) | 1/3 | +3(2(( | A B | )( | B A | )) | 1/2 | +2(( | B C | )( | C B | )) | 1/2 | +2(( | C A | )( | A C | )) | 1/2 | )+6) |
| ＝2√((3+3(2+2+2)+6) |
| ＝6 |
等号成立条件は、
| A2 BC |
＝ | B2 CA | ＝ | C2 AB | ∧ | A B | ＝ | B A | ∧ | B C | ＝ | C B | ∧ | C A | ＝ | A C |
以上より題意は示された。
等号成立はa=b=cすなわち正三角形のとき。
◆東京都 かえる さんからの解答。
【別解】
３つの頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、内心をＩとする。
x＝∠ＩＡＢ,y＝∠ＩＢＣとすれば、
| x＞0 ∧ y＞0 ∧ x+y＜ | π ２ |
| a+b+c r |
＝2( | r tanx | + | r tany | + | r tan(π/2-x-y) | )/r |
| ＝2( | 1 tanx | + | 1 tany | +tan(x+y))＝ | 2tan(x+y) tanx tany | ＝f(x,y)と置く。 |
| df dx |
＝2( | tanx cos2(x+y) | - | tan(x+y) cos2x | )/tan2x tany |
| ＝ | sin2x-sin2(x+y) cos2x cos2(x+y) tan2x tany |
| x＞0 ∧ y＞0 ∧ x+y＜ | π ２ | より |
| 0＜x＜( | π 2 | -y)/2のとき sin2x＜sin2(x+y) ⇔ | df dx | ＜０ |
| x＝( | π 2 | -y)/2のとき sin2x＝sin2(x+y) ⇔ | df dx | ＝０ |
| ( | π 2 | -y)/2 | ＜x＜ | π 2 | -yのとき sin2x＞sin2(x+y) ⇔ | df dx | ＞０ |
| 従って、yを固定した場合、x＝( | π 2 | -y)/2のとき最小 |
| f(( | π 2 | -y)/2,y) |
| ＝2tan( | y 2 | + | π 4 |
)／tan( | -y 2 | + | π 4 |
)tany |
| ＝(1+tan( | y 2 | )) | 3 | ／tan( | y 2 | )(1-tan( | y 2 |
)) |
| t=tan( | y 2 | )と置く。0＜t＜1 |
| g(t)＝ | (1+t)3 t(1-t) |
| g'(t)＝ | -(1+t)2 (t2+4t+1) t2 (1-t)2 |
のとき g'(t)＜0のとき g'(t)＝0＜t＜1のとき g'(t)＞0
のとき最小値 g(2-)=6。
| 以上より、 | a+b+c r | ≧6 |
が示された。 |
| t=2- ⇔ x=y= |
π 6 | ⇔ 正三角形 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント。
かえるさんの途中結果から
| 6*( | cot(x)+cot(y)+cot(z) 3 | ) | @ | x+y+z 3 | ＝ | π 6 |
| cot(x)は0＜x＜ | π 2 | で下に強凸な関数です。 |
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
三角形の３つの内角をA,B,Cとして
周s
= a+b+c
| ＝2r(cot | A 2 | +cot | B 2 | +cot | C 2 | ) |
| ＝2r{cot | A 2 | +cot | B 2 | +cot( | π 2 |
-cot | A 2 | -cot | B 2 |
)} |
| ＝2r{cot | A 2 | +cot | B 2 | +(cot | A 2 |
+cot | B 2 | )/(cot | A 2 | ・cot | B 2 |
-1)} |
| ＝ | 2rx3 k(1+k) kx2-1 |
| ここで x＝cot | A 2 | ，k＝cot | B 2 | /cot | A 2 |
| ∂s ∂k | = 0 から k2x2-2k-1 = 0 |
| ∂s ∂x | = 0 から k x2 = 3 |
のとき s = 6 r が最大値。