◆山梨県 Footmark さんからの解答。
問題のようにｎを整数とすると、
(−１０kｍ−１){(−１０kｍ−１)＋１} も
１０kの倍数です。
（ただし、ｋは１≦ｋ≦３の整数、ｍは正の整数）
ですから、ｎ＝−１０kｍ−１
ところが、ｍはいくらでも大きくできますから、
ｎの最小値は３問とも −∞
また、「ｎは正の整数」に置き換えた解答は以下のとおりです。
【問題１】
ｎ ＝ ５1 ｘ １ − １ ＝ ４
【問題２】
ｎ ＝ ５2 ｘ １ − １ ＝ ２４
【問題３】
ｎ ＝ ５3 ｘ ３ ＝ ３７５
【考え方】
ｎと(ｎ＋１)の差は１です。
ですから，ｎと(ｎ＋１)は１以外に公約数を持ちません。
何故なら１以外にも公約数があると、２数の差はその公約数の倍数になり１にはなりません。
題意より、
ｎ(ｎ＋１)＝５k２kｍ
（ただし、ｋは１≦ｋ≦３の整数、ｍは正の整数）
ですから、２数の一方が ５k２kの因数をすべてを持つ場合と、
２数がそれぞれ ５kと ２kの因数を持つ場合が考えられます。
後者の場合は ５kｐ と ２kｑ が２数になります。
（ただし，ｐ,ｑは１以上の整数で、５kｐと２kｑは１以外に公約数を持ちません。）
ところが，２数の差は１ですから
５kｐ＝２kｑ±１ ・・・ (１)
つまり、５kｐ を ２kで割ると
余りが ＋１ か −１(結局 ２k−１) になるような最小なｐを求めることになります。
このように余りが２通りあり、しかも最小値ｐを求めるには次のようにします。
| ５kｐ ２k | の余りは ０〜(２k−１) です。 |
【問題３】を例にします。
| ｐ＝１ とすると、 | ５3 ２3 | の余りは ５ です。 |
そこで、[０]のマスから時計回りに５だけ先に進みます。
ｐが１増えると、余りはそこからさらに５だけ先に進む筈です。
このことを[１]か[７]のマスになるまで繰り返すことで ｐ が求められます。
すると、目指すマスが１つなら多くとも ２k回で目指すマスになります。
ところが、目指すマスは２つですから多くとも (２k−１)回で目指すマスになります。
この回数が ｐ ですから、ｐ≦２k−１
∴ ５kｐ≦５k(２k−１)≦５k２k
ですから、一方が ５k２kの因数をすべてを持つ場合よりｎは小さい筈です。
到着したマスの数(余り)と回数(ｐ)が分かればｎも求められます。
(１)式より、マスの数(余り)が １の時は
ｎ＝２kｑ＝５kｐ−１、
１でなくて(２k−１)の時は ｎ＝５kｐ
◆東京都 葛衣 奥人 さんからの解答。
「整数」ってことはマイナスも入るはずだけど、小学生の出題だからプラス限定かな？
ちなみにマイナスだと「最小」はマイナス無限大になりそう（笑）
【問題１】
１０（＝１×２×５）の倍数だから、ｎとｎ＋１の組み合わせは
１×？と10×？---(1)か
２×？と５×？---(2)という形の数でないといけない。
(1)だと１×１１と１０×１でｎ＝１０
(2)だと２×２と５×１でｎ＝４
ということで、答えはｎ＝４
【問題２】
問題１と同様に考えると、
100＝１×２×２×５×５である。
これを「奇数と偶数に分解する」ことになるが
奇数になるのは１か５か２５のみである。
というわけで、２つの数は次のいずれかの形で書ける。
(1)１×？と１００×？
(2)５×？と２０×？
(3)25×？と４×？
(1)だと１×101と100×１でｎ＝100
(2)のくみあわせはありえない
（２つの数の差が１にならない）
(3)だと25×１と４×６でｎ＝24
ということでｎ＝24
【問題３】
問題２と同様に考える。
ｎ＝375
◆滋賀県の小学生 西尾 恭史 さんからの解答。
【問題１】
１０の約数＝１．２．５．１０
２０の約数＝１．２．４．５．１０．２０
３０の約数＝１．２．３．５．６．１０．１５．３０
． ．
． ．
． ．
ｎ×（ｎ＋１）＝１０の倍数だから
ｎ＝４でO.K.
【問題２】
ｎ×（ｎ＋１）＝１００以上だから
ｎ＝１０以上
ｎかｎ＋１が５の倍数にならないといけない。
ここからはあてはめる。
１０×１１＝１１０・・・・・・×
１４×１５＝２１０・・・・・・×
・ ・
・ ・
２４×２５＝６００・・・・・・O.K
ｎ＝２４
【問題３】
問題３も問題２と同様にやっていき
ｎ×（ｎ＋１）＝１０００の倍数だから
ｎ＝３１．６２２・・・・以上
あてはめていく
３４×３５＝１１９０
３５×３６＝１２６０
・ ・
・ ・
３７５×３７６＝１４１０００
ｎ＝３７５
【コメント】
初歩的な解法でやったら「問題３」にかなり時間を費やしてしまった。
たかがかけ算されどかけ算（？？？？？）
◆茨城県の中学校１年生 田村 昭彦 さんからの解答。
小学生が考えたのだから､ｎ＝負の数でないとしておきます。
【問題１】
１０の倍数＝１×２×５×？＝２×５×？ということになる。
つまりｎ(ｎ＋１）の内、どちらかが２の倍数でありどちらかが５の倍数であるということである 。
これをふまえると､ｎが一番小さくなるためにはｎ＝４となる。
４×５＝２０
【問題２】
先程と同様にして
１００の倍数＝１×２×２×５×５×？＝２×２×５×５×？
つまりｎ(ｎ＋１）の内
どちらかが５､どちらかが２０の倍数かーーー(1)
どちらかが４､どちらかが２５の倍数となるー(2)
しかし､(1)の時５の倍数の中に２０の倍数も含まれているので、結局(2)とおなじになってしまう。
したがって(2)のとおりだとするとｎ＝２４となる。
２４×２５＝６００
【問題３】
先程と同様にして
１０００の倍数＝１×２×２×２×５×５×５×？＝２×２×２×５×５×５×？
面倒なので省きますがつまりｎ(ｎ＋１)の内どちらかが１２５､どちらかが８の倍数となる。
したがってｎ＝３７５となる。
３７５×３７６＝１４１０００
「問題３」を前の問題と同じようにｎ＝１２４としてしまいそうになりました。
とてもおもしろい問題でした。
◆兵庫県 HIPPO さんからの解答。
【問題３】
1000の倍数になる場合、皆さん途中を省略してらっしゃるので、小学生向きの答えを作ってみました。
まず、1000を素因数分解します。
1000＝２×２×２×５×５×５
したがって、ｎ（ｎ＋1）＝２×２×２×５×５×５×M
（Mは正の整数）
右辺を二数の積に書き換えると
ｎ（ｎ＋1）＝２×５００×M
ｎ（ｎ＋1）＝４×２５０×M
ｎ（ｎ＋1）＝８×１２５×M
ｎ（ｎ＋1）＝４０×２５×M
ｎ（ｎ＋1）＝２００×５×M
の５通りが考えられます。
Mも二つに分けることができます。
例えば ６＝１×６、２×３・・・のように。
M＝P×Q （Ｐ、Ｑはともに正の整数）とすると上の５つの式は
ｎ（ｎ＋1）＝２×P×５００×Q
ｎ（ｎ＋1）＝４×P×２５０×Q
ｎ（ｎ＋1）＝８×P×１２５×Q
ｎ（ｎ＋1）＝４０×P×２５×Q
ｎ（ｎ＋1）＝２００×P×５×Q
と書き換えることができます。
これを文章で表すと、
（A）ｎ（ｎ＋1）の二数は、一方が２の倍数 且つ 他方が５００の倍数
（B）ｎ（ｎ＋1）の二数は、一方が４の倍数 且つ 他方が２５０の倍数
（C）ｎ（ｎ＋1）の二数は、一方が８の倍数 且つ 他方が１２５の倍数
（D）ｎ（ｎ＋1）の二数は、一方が４０の倍数 且つ 他方が２５の倍数
（E）ｎ（ｎ＋1）の二数は、一方が２００の倍数 且つ 他方が５の倍数
となります。
ところが、ｎ（ｎ＋1）は偶数×奇数なので（Ａ）（Ｂ）はこの条件に反します。
（偶数同士の積になっています）
したがって（Ｃ）（Ｄ）（Ｅ）を検証していきます。
（Ｃ）
１２５の整数倍は一の位が０または５が条件。
ｎ＝８Ｐとすると ｎ＋１＝８Ｐ＋１
Ｐの一の位が３または８の時、８Ｐ＋１の一の位が５となるので１２５の倍数になる可能性が存在する。
ｎ＋１＝８Ｐとすると ｎ＝８Ｐ−１
Ｐの一の位が２または７の時、８Ｐ−１の一の位が５となるので１２５の倍数になる可能性が存在する。
次に８の整数倍は偶数。
ｎ＝１２５Ｑとすると ｎ＋１＝１２５Ｑ＋１
Ｑが奇数のとき１２５Ｑ＋１は偶数となり８の倍数になる可能性が存在する。
ｎ＋１＝１２５Ｑとすると ｎ＝１２５Ｑ−１
Ｑが奇数のとき１２５Ｑ−１は偶数となり８の倍数になる可能性が存在する。
（Ｄ）
２５の整数倍は一の位が０または５が条件。
ｎ＝４０Ｐとすると ｎ＋１＝４０Ｐ＋１
一の位は必ず１なので条件に反する。
ｎ＋１＝４０Ｐとすると ｎ＝４０Ｐ−１
一の位は必ず９なので条件に反する。
次に４０の整数倍は一の位が必ず０が条件。
ｎ＝２５Ｑとすると ｎ＋１＝２５Ｑ＋１
一の位は必ず１か６なので条件に反する。
ｎ＋１＝２５Ｑとすると ｎ＝２５Ｑ−１
一の位は必ず４か９なので条件に反する。
（Ｅ） これは（Ｄ）の場合が適用できるのでダメ。
結局（Ｃ）の場合のみ考慮すればよい。 上述したように１２５の奇数倍のみを考えればよいので、以下となる。
ｎ＝１２５ ｎ＋１＝１２６
１２６は８の倍数ではない。
ｎ＝３７５ ｎ＋１＝３７６
３７６は８の倍数。
ｎ（ｎ＋１）＝１４１０００ （１０００の倍数）
次に
ｎ＋１＝１２５ ｎ＝１２４
１２４は８の倍数ではない。
ｎ＋１＝３７５ ｎ＝３７４
３７４は８の倍数ではない。
ｎ＋１＝６２５ ｎ＝６２４
６２４は８の倍数。
ｎ（ｎ＋１）＝３９００００ （１０００の倍数）
取り得るｎの最小の数値は ３７５．