『三角形の辺と面積』解答


◆京都府 大空風成 さんからの解答。

【数の不思議の解答】

a+b+c=x+y+z ・・・(1)
a2+b2+c2=x2+y2+z2 ・・・(2)
で、a、b、c (a≦c)を自然数として、
x=b-3、y=a+2、z=c+1
とおくと、これは(1)をみたす。


これらを(2)に代入すると、
a2+b2+c2=(b-3)2+(a+2)2+(c+1) 2
これを展開して整理すると、
b= 2a+c+7
3
よって、2a+c+7 が3の倍数でなければならない。
ここで、c=a+3p+2 (pは整数)とおくと、これをみたす。


2a+c+7=2a+(a+3p+2)+7=3(a+p+3) となるから、
b= 2a+c+7
3
= 3(a+p+3)
3
=a+p+3 となり、
x=b-3=a+p+3-3=a+p
y=a+2
z=c+1=(a+3p+2)+1=a+3p+3


ところで、a≦c だから、c=a+3p+2 より p≧0 となる。
p=0 のときは、c=a+2 となり、y=c
b=a+3=(a+2)+1=c+1 となり、z=b
また、x=a となり、a、b、cとx、y、zが同じ数となり、題意に適さない。
よって、pは自然数である。


以上より、
自然数の組 (a,p) を1組決めると、
b=a+p+3
c=a+3p+2
x=a+p
y=a+2
z=a+3p+3
と決まって、これらが(1)、(2)をみたす。



【例1】

問題文中の例の場合は、(a,p)=(7,4) で、
b=a+p+3=7+4+3=14
c=a+3p+2=7+3×4+2=21
x=a+p=7+4=11
y=a+2=7+2=9
z=a+3p+3=7+3×4+3=22



【例2】

できるだけ小さい数で例を1つ作ると、(a,p)=(1,1) で、
b=a+p+3=1+1+3=5
c=a+3p+2=1+3×1+2=6
x=a+p=1+1=2
y=a+2=1+2=3
z=a+3p+3=1+3×1+3=7
つまり、
1+5+6=2+3+7
12+52+62=22+32+72



【一般の場合の解答】

一般に、
a、b、c、m、n、k (a≦c)を自然数として、
x=b-k、y=a+m、z=c+n とする。
これを(1)に代入すると、
a+b+c=(b-k)+(a+m)+(c+n)
整理すると、k=m+n となる。


また、これらを(2)に代入すると、
a2+b2+c2=(b-k)2+(a+m)2+(c+n) 2
さらに、k=m+n を代入すると、
a2+b2+c2={b-(m+n)}2+(a+m)2+(c+n) 2
展開して整理すると、
b= ma+nc+m2+mn+n2
m+n
よって、ma+nc+m2+mn+n2 が(m+n)の倍数でなければならない。
ここで、c=a+(m+n)p+m (pは整数)とおくと、これをみたす。


ma+nc+m2+mn+n2
=ma+n{a+(m+n)p+m}+m2+mn+n2
=(m+n)(a+np+m+n) となるから、
b= ma+nc+m2+mn+n2
m+n
= (m+n)(a+np+m+n)
m+n
= a+np+m+n となり、
x=b-k=a+np+m+n-(m+n)=a+np
y=a+m
z=c+n=a+(m+n)p+m+n=a+(m+n)p+m+n


ところで、a≦c だから、c=a+(m+n)p+m より p≧0 となる。
p=0 のときは、c=a+m となり、y=c
b=a+m+n=c+n となり、z=b
また、x=a となり、a、b、cとx、y、zが同じ数となり、題意に適さない。
よって、pは自然数である。


以上より、
自然数の組 (a,p,m,n) を1組決めると、
b=a+np+m+n
c=a+(m+n)p+m
x=a+np
y=a+m
z=a+(m+n)p+m+n
と決まって、これらが(1)、(2)をみたす。



【例3】

できるだけ小さい数で例を1つ作ると、(a,p,m,n)=(1,1,1,1) で、
b=1+1×1+1+1=4
c=1+(1+1)×1+1=4
x=1+1×1=2
y=1+1
z=1+(1+1)×1+1+1=5
つまり、
1+4+4=2+2+5
12+42+42=22+22+52

ただし、同じ数の使用を許さない場合は、
b=cとすると、a+np+m+n=a+(m+n)p+m だから、n=mp
よって、n≠mp のとき、
(a,p,m,n)=(1,1,2,1)、(1,1,1,2)、(1,2,1,1)で、
いずれも例2と同じ数の組み合わせとなる。


◆広島県 清川 育男 さんからの解答。

左辺の数が等差数列 項差7のとき、
項差7を例に出された雰囲気がなんとなく。


 1+ 8+15= 3+ 5+16
 12+ 82+152= 32+ 52+162

 2+ 9+16= 1+12+14
 22+ 92+162= 12+122+142

 2+ 9+16= 4+ 6+17
 22+ 92+162= 42+ 62+172

 3+10+17= 2+13+15
 32+102+172= 22+132+152

 3+10+17= 5+ 7+18
 32+102+172= 52+ 72+182

 4+11+18= 3+14+16
 42+112+182= 32+142+162

 4+11+18= 6+ 8+19
 42+112+182= 62+ 82+192

 5+12+19= 4+15+17
 52+122+192= 42+152+172

 5+12+19= 7+ 9+20
 52+122+192= 72+ 92+202

 6+13+20= 5+16+18
 62+132+202= 52+162+182

 6+13+20= 8+10+21
 62+132+202= 82+102+212

 7+14+21= 6+17+19
 72+142+212= 62+172+192

 7+14+21= 9+11+22          **
 72+142+212= 92+112+222

 8+15+22= 7+18+20
 82+152+222= 72+182+202

 8+15+22=10+12+23  
 82+152+222=102+122+232

 9+16+23= 8+19+21
 92+162+232= 82+192+212

 9+16+23=11+13+24
 92+162+232=112+132+242

10+17+24= 9+20+22
102+172+242= 92+202+222

10+17+24=12+14+25
102+172+242=122+142+252

11+18+25=10+21+23
112+182+252=102+212+232

11+18+25=13+15+26
112+182+252=132+152+262

12+19+26=11+22+24
122+192+262=112+222+242

12+19+26=14+16+27
122+192+262=142+162+272

13+20+27=12+23+25
132+202+272=122+232+252

13+20+27=15+17+28
132+202+272=152+172+282

14+21+28=13+24+26
142+212+282=132+242+262

14+21+28=16+18+29
142+212+282=162+182+292

15+22+29=14+25+27
152+222+292=142+252+272

15+22+29=17+19+30
152+222+292=172+192+302

16+23+30=15+26+28
162+232+302=152+262+282

16+23+30=18+20+31
162+232+302=182+202+312

17+24+31=16+27+29
172+242+312=162+272+292

17+24+31=19+21+32
172+242+312=192+212+322

18+25+32=17+28+30
182+252+322=172+282+302

18+25+32=20+22+33
182+252+322=202+222+332

19+26+33=18+29+31
192+262+332=182+292+312

19+26+33=21+23+34
192+262+332=212+232+342

20+27+34=19+30+32
202+272+342=192+302+322

20+27+34=22+24+35
202+272+342=222+242+352

21+28+35=20+31+33
212+282+352=202+312+332

21+28+35=23+25+36
212+282+352=232+252+362

22+29+36=21+32+34
222+292+362=212+322+342

22+29+36=24+26+37
222+292+362=242+262+372

23+30+37=22+33+35
232+302+372=222+332+352

23+30+37=25+27+38
232+302+372=252+272+382

24+31+38=23+34+36
242+312+382=232+342+362

24+31+38=26+28+39
242+312+382=262+282+392

25+32+39=24+35+37
252+322+392=242+352+372

25+32+39=27+29+40
252+322+392=272+292+402

26+33+40=25+36+38
262+332+402=252+362+382

26+33+40=28+30+41
262+332+402=282+302+412

27+34+41=26+37+39
272+342+412=262+372+392

27+34+41=29+31+42
272+342+412=292+312+422

28+35+42=27+38+40
282+352+422=272+382+402

28+35+42=30+32+43
282+352+422=302+322+432

29+36+43=28+39+41
292+362+432=282+392+412

29+36+43=31+33+44
292+362+432=312+332+442

30+37+44=29+40+42
302+372+442=292+402+422

30+37+44=32+34+45
302+372+442=322+342+452

31+38+45=30+41+43
312+382+452=302+412+432

31+38+45=33+35+46
312+382+452=332+352+462

32+39+46=31+42+44
322+392+462=312+422+442

32+39+46=34+36+47
322+392+462=342+362+472

33+40+47=32+43+45
332+402+472=322+432+452

33+40+47=35+37+48
332+402+472=352+372+482

34+41+48=33+44+46
342+412+482=332+442+462

34+41+48=36+38+49
342+412+482=362+382+492

35+42+49=34+45+47
352+422+492=342+452+472

35+42+49=37+39+50
352+422+492=372+392+502

36+43+50=35+46+48
362+432+502=352+462+482

36+43+50=38+40+51
362+432+502=382+402+512

37+44+51=36+47+49
372+442+512=362+472+492

37+44+51=39+41+52
372+442+512=392+412+522

38+45+52=37+48+50
382+452+522=372+482+502

38+45+52=40+42+53
382+452+522=402+422+532

39+46+53=38+49+51
392+462+532=382+492+512

39+46+53=41+43+54
392+462+532=412+432+542

40+47+54=39+50+52
402+472+542=392+502+522

40+47+54=42+44+55
402+472+542=422+442+552

41+48+55=40+51+53
412+482+552=402+512+532

41+48+55=43+45+56
412+482+552=432+452+562

42+49+56=41+52+54
422+492+562=412+522+542

42+49+56=44+46+57
422+492+562=442+462+572

43+50+57=42+53+55
432+502+572=422+532+552

43+50+57=45+47+58
432+502+572=452+472+582

44+51+58=43+54+56
442+512+582=432+542+562

44+51+58=46+48+59
442+512+582=462+482+592

45+52+59=44+55+57
452+522+592=442+552+572

45+52+59=47+49+60
452+522+592=472+492+602

46+53+60=45+56+58
462+532+602=452+562+582

46+53+60=48+50+61
462+532+602=482+502+612

47+54+61=46+57+59
472+542+612=462+572+592

47+54+61=49+51+62
472+542+612=492+512+622

48+55+62=47+58+60
482+552+622=472+582+602

48+55+62=50+52+63
482+552+622=502+522+632

49+56+63=48+59+61
492+562+632=482+592+612

49+56+63=51+53+64
492+562+632=512+532+642

50+57+64=49+60+62
502+572+642=492+602+622

50+57+64=52+54+65
502+572+642=522+542+652

51+58+65=50+61+63
512+582+652=502+612+632

51+58+65=53+55+66
512+582+652=532+552+662

52+59+66=51+62+64
522+592+662=512+622+642

52+59+66=54+56+67
522+592+662=542+562+672

53+60+67=52+63+65
532+602+672=522+632+652

53+60+67=55+57+68
532+602+672=552+572+682

54+61+68=53+64+66
542+612+682=532+642+662

54+61+68=56+58+69
542+612+682=562+582+692

55+62+69=54+65+67
552+622+692=542+652+672

55+62+69=57+59+70
552+622+692=572+592+702

56+63+70=55+66+68
562+632+702=552+662+682

56+63+70=58+60+71
562+632+702=582+602+712

57+64+71=56+67+69
572+642+712=562+672+692

57+64+71=59+61+72
572+642+712=592+612+722

58+65+72=57+68+70
582+652+722=572+682+702

58+65+72=60+62+73
582+652+722=602+622+732

59+66+73=58+69+71
592+662+732=582+692+712

59+66+73=61+63+74
592+662+732=612+632+742

60+67+74=59+70+72
602+672+742=592+702+722

60+67+74=62+64+75
602+672+742=622+642+752

61+68+75=60+71+73
612+682+752=602+712+732

61+68+75=63+65+76
612+682+752=632+652+762

62+69+76=61+72+74
622+692+762=612+722+742

62+69+76=64+66+77
622+692+762=642+662+772

63+70+77=62+73+75
632+702+772=622+732+752

63+70+77=65+67+78
632+702+772=652+672+782

64+71+78=63+74+76
642+712+782=632+742+762

64+71+78=66+68+79
642+712+782=662+682+792

65+72+79=64+75+77
652+722+792=642+752+772

65+72+79=67+69+80
652+722+792=672+692+802

66+73+80=65+76+78
662+732+802=652+762+782

66+73+80=68+70+81
662+732+802=682+702+812

67+74+81=66+77+79
672+742+812=662+772+792

67+74+81=69+71+82
672+742+812=692+712+822

68+75+82=67+78+80
682+752+822=672+782+802

68+75+82=70+72+83
682+752+822=702+722+832

69+76+83=68+79+81
692+762+832=682+792+812

69+76+83=71+73+84
692+762+832=712+732+842

70+77+84=69+80+82
702+772+842=692+802+822

70+77+84=72+74+85
702+772+842=722+742+852

71+78+85=70+81+83
712+782+852=702+812+832

71+78+85=73+75+86
712+782+852=732+752+862

72+79+86=71+82+84
722+792+862=712+822+842

72+79+86=74+76+87
722+792+862=742+762+872

73+80+87=72+83+85
732+802+872=722+832+852

73+80+87=75+77+88
732+802+872=752+772+882

74+81+88=73+84+86
742+812+882=732+842+862

74+81+88=76+78+89
742+812+882=762+782+892

75+82+89=74+85+87
752+822+892=742+852+872

75+82+89=77+79+90
752+822+892=772+792+902

76+83+90=75+86+88
762+832+902=752+862+882

76+83+90=78+80+91
762+832+902=782+802+912

77+84+91=76+87+89
772+842+912=762+872+892

77+84+91=79+81+92
772+842+912=792+812+922

78+85+92=77+88+90
782+852+922=772+882+902

78+85+92=80+82+93
782+852+922=802+822+932

79+86+93=78+89+91
792+862+932=782+892+912

79+86+93=81+83+94
792+862+932=812+832+942

80+87+94=79+90+92
802+872+942=792+902+922

80+87+94=82+84+95
802+872+942=822+842+952

81+88+95=80+91+93
812+882+952=802+912+932

81+88+95=83+85+96
812+882+952=832+852+962

82+89+96=81+92+94
822+892+962=812+922+942

82+89+96=84+86+97
822+892+962=842+862+972

83+90+97=82+93+95
832+902+972=822+932+952

83+90+97=85+87+98
832+902+972=852+872+982

84+91+98=83+94+96
842+912+982=832+942+962

84+91+98=86+88+99
842+912+982=862+882+992

項差 13 
 1+14+27= 6+ 7+29
 12+142+272= 62+ 72+292

 2+15+28= 7+ 8+30
 22+152+282= 72+ 82+302

 3+16+29= 1+23+24
 32+162+292= 12+232+242

 3+16+29= 8+ 9+31
 32+162+292= 82+ 92+312

 4+17+30= 2+24+25
 42+172+302= 22+242+252

 4+17+30= 9+10+32
 42+172+302= 92+102+322

 5+18+31= 3+25+26
 52+182+312= 32+252+262

 5+18+31=10+11+33
 52+182+312=102+112+332

 6+19+32= 4+26+27
 62+192+322= 42+262+272

 6+19+32=11+12+34
 62+192+322=112+122+342

 7+20+33= 5+27+28
 72+202+332= 52+272+282

 7+20+33=12+13+35
 72+202+332=122+132+352

 8+21+34= 6+28+29
 82+212+342= 62+282+292

 8+21+34=13+14+36
 82+212+342=132+142+362

 9+22+35= 7+29+30
 92+222+352= 72+292+302

 9+22+35=14+15+37
 92+222+352=142+152+372

10+23+36= 8+30+31
102+232+362= 82+302+312

10+23+36=15+16+38
102+232+362=152+162+382

11+24+37= 9+31+32
112+242+372= 92+312+322

11+24+37=16+17+39
112+242+372=162+172+392

12+25+38=10+32+33
122+252+382=102+322+332

12+25+38=17+18+40
122+252+382=172+182+402

13+26+39=11+33+34
132+262+392=112+332+342

13+26+39=18+19+41
132+262+392=182+192+412

14+27+40=12+34+35
142+272+402=122+342+352

14+27+40=19+20+42
142+272+402=192+202+422

15+28+41=13+35+36
152+282+412=132+352+362

15+28+41=20+21+43
152+282+412=202+212+432

16+29+42=14+36+37
162+292+422=142+362+372

16+29+42=21+22+44
162+292+422=212+222+442

17+30+43=15+37+38
172+302+432=152+372+382

17+30+43=22+23+45
172+302+432=222+232+452

18+31+44=16+38+39
182+312+442=162+382+392

18+31+44=23+24+46
182+312+442=232+242+462

19+32+45=17+39+40
192+322+452=172+392+402

19+32+45=24+25+47
192+322+452=242+252+472

20+33+46=18+40+41
202+332+462=182+402+412

20+33+46=25+26+48
202+332+462=252+262+482

21+34+47=19+41+42
212+342+472=192+412+422

21+34+47=26+27+49
212+342+472=262+272+492

22+35+48=20+42+43
222+352+482=202+422+432

22+35+48=27+28+50
222+352+482=272+282+502

23+36+49=21+43+44
232+362+492=212+432+442

23+36+49=28+29+51
232+362+492=282+292+512

24+37+50=22+44+45
242+372+502=222+442+452

24+37+50=29+30+52
242+372+502=292+302+522

25+38+51=23+45+46
252+382+512=232+452+462

25+38+51=30+31+53
252+382+512=302+312+532

26+39+52=24+46+47
262+392+522=242+462+472

26+39+52=31+32+54
262+392+522=312+322+542

27+40+53=25+47+48
272+402+532=252+472+482

27+40+53=32+33+55
272+402+532=322+332+552

28+41+54=26+48+49
282+412+542=262+482+492

28+41+54=33+34+56
282+412+542=332+342+562

29+42+55=27+49+50
292+422+552=272+492+502

29+42+55=34+35+57
292+422+552=342+352+572

30+43+56=28+50+51
302+432+562=282+502+512

30+43+56=35+36+58
302+432+562=352+362+582

31+44+57=29+51+52
312+442+572=292+512+522

31+44+57=36+37+59
312+442+572=362+372+592

32+45+58=30+52+53
322+452+582=302+522+532

32+45+58=37+38+60
322+452+582=372+382+602

33+46+59=31+53+54
332+462+592=312+532+542

33+46+59=38+39+61
332+462+592=382+392+612

34+47+60=32+54+55
342+472+602=322+542+552

34+47+60=39+40+62
342+472+602=392+402+622

35+48+61=33+55+56
352+482+612=332+552+562

35+48+61=40+41+63
352+482+612=402+412+632

36+49+62=34+56+57
362+492+622=342+562+572

36+49+62=41+42+64
362+492+622=412+422+642

37+50+63=35+57+58
372+502+632=352+572+582

37+50+63=42+43+65
372+502+632=422+432+652

38+51+64=36+58+59
382+512+642=362+582+592

38+51+64=43+44+66
382+512+642=432+442+662

39+52+65=37+59+60
392+522+652=372+592+602

39+52+65=44+45+67
392+522+652=442+452+672

40+53+66=38+60+61
402+532+662=382+602+612

40+53+66=45+46+68
402+532+662=452+462+682

41+54+67=39+61+62
412+542+672=392+612+622

41+54+67=46+47+69
412+542+672=462+472+692

42+55+68=40+62+63
422+552+682=402+622+632

42+55+68=47+48+70
422+552+682=472+482+702

43+56+69=41+63+64
432+562+692=412+632+642

43+56+69=48+49+71
432+562+692=482+492+712

44+57+70=42+64+65
442+572+702=422+642+652

44+57+70=49+50+72
442+572+702=492+502+722

45+58+71=43+65+66
452+582+712=432+652+662

45+58+71=50+51+73
452+582+712=502+512+732

46+59+72=44+66+67
462+592+722=442+662+672

46+59+72=51+52+74
462+592+722=512+522+742

47+60+73=45+67+68
472+602+732=452+672+682

47+60+73=52+53+75
472+602+732=522+532+752

48+61+74=46+68+69
482+612+742=462+682+692

48+61+74=53+54+76
482+612+742=532+542+762

49+62+75=47+69+70
492+622+752=472+692+702

49+62+75=54+55+77
492+622+752=542+552+772

50+63+76=48+70+71
502+632+762=482+702+712

50+63+76=55+56+78
502+632+762=552+562+782

51+64+77=49+71+72
512+642+772=492+712+722

51+64+77=56+57+79
512+642+772=562+572+792

52+65+78=50+72+73
522+652+782=502+722+732

52+65+78=57+58+80
522+652+782=572+582+802

53+66+79=51+73+74
532+662+792=512+732+742

53+66+79=58+59+81
532+662+792=582+592+812

54+67+80=52+74+75
542+672+802=522+742+752

54+67+80=59+60+82
542+672+802=592+602+822

55+68+81=53+75+76
552+682+812=532+752+762

55+68+81=60+61+83
552+682+812=602+612+832

56+69+82=54+76+77
562+692+822=542+762+772

56+69+82=61+62+84
562+692+822=612+622+842

57+70+83=55+77+78
572+702+832=552+772+782

57+70+83=62+63+85
572+702+832=622+632+852

58+71+84=56+78+79
582+712+842=562+782+792

58+71+84=63+64+86
582+712+842=632+642+862

59+72+85=57+79+80
592+722+852=572+792+802

59+72+85=64+65+87
592+722+852=642+652+872

60+73+86=58+80+81
602+732+862=582+802+812

60+73+86=65+66+88
602+732+862=652+662+882

61+74+87=59+81+82
612+742+872=592+812+822

61+74+87=66+67+89
612+742+872=662+672+892

62+75+88=60+82+83
622+752+882=602+822+832

62+75+88=67+68+90
622+752+882=672+682+902

63+76+89=61+83+84
632+762+892=612+832+842

63+76+89=68+69+91
632+762+892=682+692+912

64+77+90=62+84+85
642+772+902=622+842+852

64+77+90=69+70+92
642+772+902=692+702+922

65+78+91=63+85+86
652+782+912=632+852+862

65+78+91=70+71+93
652+782+912=702+712+932

66+79+92=64+86+87
662+792+922=642+862+872

66+79+92=71+72+94
662+792+922=712+722+942

67+80+93=65+87+88
672+802+932=652+872+882

67+80+93=72+73+95
672+802+932=722+732+952

68+81+94=66+88+89
682+812+942=662+882+892

68+81+94=73+74+96
682+812+942=732+742+962

69+82+95=67+89+90
692+822+952=672+892+902

69+82+95=74+75+97
692+822+952=742+752+972

70+83+96=68+90+91
702+832+962=682+902+912

70+83+96=75+76+98
702+832+962=752+762+982

71+84+97=69+91+92
712+842+972=692+912+922

71+84+97=76+77+99
712+842+972=762+772+992

72+85+98=70+92+93
722+852+982=702+922+932

72+85+98=77+78+100   
722+852+982=772+782+1002

73+86+99=71+93+94
732+862+992=712+932+942

74+87+100=72+94+95
742+872+1002=722+942+952

75+88+101=73+95+96
752+882+1012=732+952+962

76+89+102=74+96+97
762+892+1022=742+962+972

77+90+103=75+97+98
772+902+1032=752+972+982

78+91+104=76+98+99
782+912+1042=762+982+992

79+92+105=77+99+100  
792+922+1052=772+992+1002

項差 14 
 1+15+29= 5+ 9+31
 12+152+292= 52+ 92+312

 2+16+30= 6+10+32
 22+162+302= 62+102+322

 3+17+31= 1+23+27
 32+172+312= 12+232+272

 3+17+31= 7+11+33
 32+172+312= 72+112+332

 4+18+32= 2+24+28
 42+182+322= 22+242+282

 4+18+32= 8+12+34
 42+182+322= 82+122+342

 5+19+33= 3+25+29
 52+192+332= 32+252+292

 5+19+33= 9+13+35
 52+192+332= 92+132+352

 6+20+34= 4+26+30
 62+202+342= 42+262+302

 6+20+34=10+14+36
 62+202+342=102+142+362

 7+21+35= 5+27+31
 72+212+352= 52+272+312

 7+21+35=11+15+37
 72+212+352=112+152+372

 8+22+36= 6+28+32
 82+222+362= 62+282+322

 8+22+36=12+16+38
 82+222+362=122+162+382

 9+23+37= 7+29+33
 92+232+372= 72+292+332

 9+23+37=13+17+39
 92+232+372=132+172+392

10+24+38= 8+30+34
102+242+382= 82+302+342

10+24+38=14+18+40
102+242+382=142+182+402

11+25+39= 9+31+35
112+252+392= 92+312+352

11+25+39=15+19+41
112+252+392=152+192+412

12+26+40=10+32+36
122+262+402=102+322+362

12+26+40=16+20+42
122+262+402=162+202+422

13+27+41=11+33+37
132+272+412=112+332+372

13+27+41=17+21+43
132+272+412=172+212+432

14+28+42=12+34+38
142+282+422=122+342+382

14+28+42=18+22+44
142+282+422=182+222+442

15+29+43=13+35+39
152+292+432=132+352+392

15+29+43=19+23+45
152+292+432=192+232+452

16+30+44=14+36+40
162+302+442=142+362+402

16+30+44=20+24+46
162+302+442=202+242+462

17+31+45=15+37+41
172+312+452=152+372+412

17+31+45=21+25+47
172+312+452=212+252+472

18+32+46=16+38+42
182+322+462=162+382+422

18+32+46=22+26+48
182+322+462=222+262+482

19+33+47=17+39+43
192+332+472=172+392+432

19+33+47=23+27+49
192+332+472=232+272+492

20+34+48=18+40+44
202+342+482=182+402+442

20+34+48=24+28+50
202+342+482=242+282+502

21+35+49=19+41+45
212+352+492=192+412+452

21+35+49=25+29+51
212+352+492=252+292+512

22+36+50=20+42+46
222+362+502=202+422+462

22+36+50=26+30+52
222+362+502=262+302+522

23+37+51=21+43+47
232+372+512=212+432+472

23+37+51=27+31+53
232+372+512=272+312+532

24+38+52=22+44+48
242+382+522=222+442+482

24+38+52=28+32+54
242+382+522=282+322+542

25+39+53=23+45+49
252+392+532=232+452+492

25+39+53=29+33+55
252+392+532=292+332+552

26+40+54=24+46+50
262+402+542=242+462+502

26+40+54=30+34+56
262+402+542=302+342+562

27+41+55=25+47+51
272+412+552=252+472+512

27+41+55=31+35+57
272+412+552=312+352+572

28+42+56=26+48+52
282+422+562=262+482+522

28+42+56=32+36+58
282+422+562=322+362+582

29+43+57=27+49+53
292+432+572=272+492+532

29+43+57=33+37+59
292+432+572=332+372+592

30+44+58=28+50+54
302+442+582=282+502+542

30+44+58=34+38+60
302+442+582=342+382+602

31+45+59=29+51+55
312+452+592=292+512+552

31+45+59=35+39+61
312+452+592=352+392+612

32+46+60=30+52+56
322+462+602=302+522+562

32+46+60=36+40+62
322+462+602=362+402+622

33+47+61=31+53+57
332+472+612=312+532+572

33+47+61=37+41+63
332+472+612=372+412+632

34+48+62=32+54+58
342+482+622=322+542+582

34+48+62=38+42+64
342+482+622=382+422+642

35+49+63=33+55+59
352+492+632=332+552+592

35+49+63=39+43+65
352+492+632=392+432+652

36+50+64=34+56+60
362+502+642=342+562+602

36+50+64=40+44+66
362+502+642=402+442+662

37+51+65=35+57+61
372+512+652=352+572+612

37+51+65=41+45+67
372+512+652=412+452+672

38+52+66=36+58+62
382+522+662=362+582+622

38+52+66=42+46+68
382+522+662=422+462+682

39+53+67=37+59+63
392+532+672=372+592+632

39+53+67=43+47+69
392+532+672=432+472+692

40+54+68=38+60+64
402+542+682=382+602+642

40+54+68=44+48+70
402+542+682=442+482+702

41+55+69=39+61+65
412+552+692=392+612+652

41+55+69=45+49+71
412+552+692=452+492+712

42+56+70=40+62+66
422+562+702=402+622+662

42+56+70=46+50+72
422+562+702=462+502+722

43+57+71=41+63+67
432+572+712=412+632+672

43+57+71=47+51+73
432+572+712=472+512+732

44+58+72=42+64+68
442+582+722=422+642+682

44+58+72=48+52+74
442+582+722=482+522+742

45+59+73=43+65+69
452+592+732=432+652+692

45+59+73=49+53+75
452+592+732=492+532+752

46+60+74=44+66+70
462+602+742=442+662+702

46+60+74=50+54+76
462+602+742=502+542+762

47+61+75=45+67+71
472+612+752=452+672+712

47+61+75=51+55+77
472+612+752=512+552+772

48+62+76=46+68+72
482+622+762=462+682+722

48+62+76=52+56+78
482+622+762=522+562+782

49+63+77=47+69+73
492+632+772=472+692+732

49+63+77=53+57+79
492+632+772=532+572+792

50+64+78=48+70+74
502+642+782=482+702+742

50+64+78=54+58+80
502+642+782=542+582+802

51+65+79=49+71+75
512+652+792=492+712+752

51+65+79=55+59+81
512+652+792=552+592+812

52+66+80=50+72+76
522+662+802=502+722+762

52+66+80=56+60+82
522+662+802=562+602+822

53+67+81=51+73+77
532+672+812=512+732+772

53+67+81=57+61+83
532+672+812=572+612+832

54+68+82=52+74+78
542+682+822=522+742+782

54+68+82=58+62+84
542+682+822=582+622+842

55+69+83=53+75+79
552+692+832=532+752+792

55+69+83=59+63+85
552+692+832=592+632+852

56+70+84=54+76+80
562+702+842=542+762+802

56+70+84=60+64+86
562+702+842=602+642+862

57+71+85=55+77+81
572+712+852=552+772+812

57+71+85=61+65+87
572+712+852=612+652+872

58+72+86=56+78+82
582+722+862=562+782+822

58+72+86=62+66+88
582+722+862=622+662+882

59+73+87=57+79+83
592+732+872=572+792+832

59+73+87=63+67+89
592+732+872=632+672+892

60+74+88=58+80+84
602+742+882=582+802+842

60+74+88=64+68+90
602+742+882=642+682+902

61+75+89=59+81+85
612+752+892=592+812+852

61+75+89=65+69+91
612+752+892=652+692+912

62+76+90=60+82+86
622+762+902=602+822+862

62+76+90=66+70+92
622+762+902=662+702+922

63+77+91=61+83+87
632+772+912=612+832+872

63+77+91=67+71+93
632+772+912=672+712+932

64+78+92=62+84+88
642+782+922=622+842+882

64+78+92=68+72+94
642+782+922=682+722+942

65+79+93=63+85+89
652+792+932=632+852+892

65+79+93=69+73+95
652+792+932=692+732+952

66+80+94=64+86+90
662+802+942=642+862+902

66+80+94=70+74+96
662+802+942=702+742+962

67+81+95=65+87+91
672+812+952=652+872+912

67+81+95=71+75+97
672+812+952=712+752+972

68+82+96=66+88+92
682+822+962=662+882+922

68+82+96=72+76+98
682+822+962=722+762+982

69+83+97=67+89+93
692+832+972=672+892+932

69+83+97=73+77+99
692+832+972=732+772+992

70+84+98=68+90+94
702+842+982=682+902+942

70+84+98=74+78+100  
702+842+982=742+782+1002

71+85+99=69+91+95
712+852+992=692+912+952

72+86+100=70+92+96
722+862+1002=702+922+962

73+87+101=71+93+97
732+872+1012=712+932+972

74+88+102=72+94+98
742+882+1022=722+942+982

75+89+103=73+95+99
752+892+1032=732+952+992

76+90+104=74+96+100  
762+902+1042=742+962+1002

項差 19 
 1+20+39= 4+15+41
 12+202+392= 42+152+412

 2+21+40= 5+16+42
 22+212+402= 52+162+422

 3+22+41= 1+27+38
 32+222+412= 12+272+382

 3+22+41= 6+17+43
 32+222+412= 62+172+432

 4+23+42= 2+28+39
 42+232+422= 22+282+392

 4+23+42= 7+18+44
 42+232+422= 72+182+442

 5+24+43= 3+29+40
 52+242+432= 32+292+402

 5+24+43= 8+19+45
 52+242+432= 82+192+452

 6+25+44= 4+30+41
 62+252+442= 42+302+412

 6+25+44= 9+20+46
 62+252+442= 92+202+462

 7+26+45= 5+31+42
 72+262+452= 52+312+422

 7+26+45=10+21+47
 72+262+452=102+212+472

 8+27+46= 6+32+43
 82+272+462= 62+322+432

 8+27+46=11+22+48
 82+272+462=112+222+482

 9+28+47= 7+33+44
 92+282+472= 72+332+442

 9+28+47=12+23+49
 92+282+472=122+232+492

10+29+48= 8+34+45
102+292+482= 82+342+452

10+29+48=13+24+50
102+292+482=132+242+502

11+30+49= 9+35+46
112+302+492= 92+352+462

11+30+49=14+25+51
112+302+492=142+252+512

12+31+50=10+36+47
122+312+502=102+362+472

12+31+50=15+26+52
122+312+502=152+262+522

13+32+51=11+37+48
132+322+512=112+372+482

13+32+51=16+27+53
132+322+512=162+272+532

14+33+52=12+38+49
142+332+522=122+382+492

14+33+52=17+28+54
142+332+522=172+282+542

15+34+53=13+39+50
152+342+532=132+392+502

15+34+53=18+29+55
152+342+532=182+292+552

16+35+54=14+40+51
162+352+542=142+402+512

16+35+54=19+30+56
162+352+542=192+302+562

17+36+55=15+41+52
172+362+552=152+412+522

17+36+55=20+31+57
172+362+552=202+312+572

18+37+56=16+42+53
182+372+562=162+422+532

18+37+56=21+32+58
182+372+562=212+322+582

19+38+57=17+43+54
192+382+572=172+432+542

19+38+57=22+33+59
192+382+572=222+332+592

20+39+58=18+44+55
202+392+582=182+442+552

20+39+58=23+34+60
202+392+582=232+342+602

21+40+59=19+45+56
212+402+592=192+452+562

21+40+59=24+35+61
212+402+592=242+352+612

22+41+60=20+46+57
222+412+602=202+462+572

22+41+60=25+36+62
222+412+602=252+362+622

23+42+61=21+47+58
232+422+612=212+472+582

23+42+61=26+37+63
232+422+612=262+372+632

24+43+62=22+48+59
242+432+622=222+482+592

24+43+62=27+38+64
242+432+622=272+382+642

25+44+63=23+49+60
252+442+632=232+492+602

25+44+63=28+39+65
252+442+632=282+392+652

26+45+64=24+50+61
262+452+642=242+502+612

26+45+64=29+40+66
262+452+642=292+402+662

27+46+65=25+51+62
272+462+652=252+512+622

27+46+65=30+41+67
272+462+652=302+412+672

28+47+66=26+52+63
282+472+662=262+522+632

28+47+66=31+42+68
282+472+662=312+422+682

29+48+67=27+53+64
292+482+672=272+532+642

29+48+67=32+43+69
292+482+672=322+432+692

30+49+68=28+54+65
302+492+682=282+542+652

30+49+68=33+44+70
302+492+682=332+442+702

31+50+69=29+55+66
312+502+692=292+552+662

31+50+69=34+45+71
312+502+692=342+452+712

32+51+70=30+56+67
322+512+702=302+562+672

32+51+70=35+46+72
322+512+702=352+462+722

33+52+71=31+57+68
332+522+712=312+572+682

33+52+71=36+47+73
332+522+712=362+472+732

34+53+72=32+58+69
342+532+722=322+582+692

34+53+72=37+48+74
342+532+722=372+482+742

35+54+73=33+59+70
352+542+732=332+592+702

35+54+73=38+49+75
352+542+732=382+492+752

36+55+74=34+60+71
362+552+742=342+602+712

36+55+74=39+50+76
362+552+742=392+502+762

37+56+75=35+61+72
372+562+752=352+612+722

37+56+75=40+51+77
372+562+752=402+512+772

38+57+76=36+62+73
382+572+762=362+622+732

38+57+76=41+52+78
382+572+762=412+522+782

39+58+77=37+63+74
392+582+772=372+632+742

39+58+77=42+53+79
392+582+772=422+532+792

40+59+78=38+64+75
402+592+782=382+642+752

40+59+78=43+54+80
402+592+782=432+542+802

41+60+79=39+65+76
412+602+792=392+652+762

41+60+79=44+55+81
412+602+792=442+552+812

42+61+80=40+66+77
422+612+802=402+662+772

42+61+80=45+56+82
422+612+802=452+562+822

43+62+81=41+67+78
432+622+812=412+672+782

43+62+81=46+57+83
432+622+812=462+572+832

44+63+82=42+68+79
442+632+822=422+682+792

44+63+82=47+58+84
442+632+822=472+582+842

45+64+83=43+69+80
452+642+832=432+692+802

45+64+83=48+59+85
452+642+832=482+592+852

46+65+84=44+70+81
462+652+842=442+702+812

46+65+84=49+60+86
462+652+842=492+602+862

47+66+85=45+71+82
472+662+852=452+712+822

47+66+85=50+61+87
472+662+852=502+612+872

48+67+86=46+72+83
482+672+862=462+722+832

48+67+86=51+62+88
482+672+862=512+622+882

49+68+87=47+73+84
492+682+872=472+732+842

49+68+87=52+63+89
492+682+872=522+632+892

50+69+88=48+74+85
502+692+882=482+742+852

50+69+88=53+64+90
502+692+882=532+642+902

51+70+89=49+75+86
512+702+892=492+752+862

51+70+89=54+65+91
512+702+892=542+652+912

52+71+90=50+76+87
522+712+902=502+762+872

52+71+90=55+66+92
522+712+902=552+662+922

53+72+91=51+77+88
532+722+912=512+772+882

53+72+91=56+67+93
532+722+912=562+672+932

54+73+92=52+78+89
542+732+922=522+782+892

54+73+92=57+68+94
542+732+922=572+682+942

55+74+93=53+79+90
552+742+932=532+792+902

55+74+93=58+69+95
552+742+932=582+692+952

56+75+94=54+80+91
562+752+942=542+802+912

56+75+94=59+70+96
562+752+942=592+702+962

57+76+95=55+81+92
572+762+952=552+812+922

57+76+95=60+71+97
572+762+952=602+712+972

58+77+96=56+82+93
582+772+962=562+822+932

58+77+96=61+72+98
582+772+962=612+722+982

59+78+97=57+83+94
592+782+972=572+832+942

59+78+97=62+73+99
592+782+972=622+732+992

60+79+98=58+84+95
602+792+982=582+842+952

60+79+98=63+74+100  
602+792+982=632+742+1002

61+80+99=59+85+96
612+802+992=592+852+962

62+81+100=60+86+97
622+812+1002=602+862+972

63+82+101=61+87+98
632+822+1012=612+872+982

64+83+102=62+88+99
642+832+1022=622+882+992

65+84+103=63+89+100  
652+842+1032=632+892+1002

項差 21 
 1+22+43= 7+13+46
 12+222+432= 72+132+462

 2+23+44= 8+14+47
 22+232+442= 82+142+472

 3+24+45= 9+15+48
 32+242+452= 92+152+482

 4+25+46= 1+34+40
 42+252+462= 12+342+402

 4+25+46=10+16+49
 42+252+462=102+162+492

 5+26+47= 2+35+41
 52+262+472= 22+352+412

 5+26+47=11+17+50
 52+262+472=112+172+502

 6+27+48= 3+36+42
 62+272+482= 32+362+422

 6+27+48=12+18+51
 62+272+482=122+182+512

 7+28+49= 4+37+43
 72+282+492= 42+372+432

 7+28+49=13+19+52
 72+282+492=132+192+522

 8+29+50= 5+38+44
 82+292+502= 52+382+442

 8+29+50=14+20+53
 82+292+502=142+202+532

 9+30+51= 6+39+45
 92+302+512= 62+392+452

 9+30+51=15+21+54
 92+302+512=152+212+542

10+31+52= 7+40+46
102+312+522= 72+402+462

10+31+52=16+22+55
102+312+522=162+222+552

11+32+53= 8+41+47
112+322+532= 82+412+472

11+32+53=17+23+56
112+322+532=172+232+562

12+33+54= 9+42+48
122+332+542= 92+422+482

12+33+54=18+24+57
122+332+542=182+242+572

13+34+55=10+43+49
132+342+552=102+432+492

13+34+55=19+25+58
132+342+552=192+252+582

14+35+56=11+44+50
142+352+562=112+442+502

14+35+56=20+26+59
142+352+562=202+262+592

15+36+57=12+45+51
152+362+572=122+452+512

15+36+57=21+27+60
152+362+572=212+272+602

16+37+58=13+46+52
162+372+582=132+462+522

16+37+58=22+28+61
162+372+582=222+282+612

17+38+59=14+47+53
172+382+592=142+472+532

17+38+59=23+29+62
172+382+592=232+292+622

18+39+60=15+48+54
182+392+602=152+482+542

18+39+60=24+30+63
182+392+602=242+302+632

19+40+61=16+49+55
192+402+612=162+492+552

19+40+61=25+31+64
192+402+612=252+312+642

20+41+62=17+50+56
202+412+622=172+502+562

20+41+62=26+32+65
202+412+622=262+322+652

21+42+63=18+51+57
212+422+632=182+512+572

21+42+63=27+33+66
212+422+632=272+332+662

22+43+64=19+52+58
222+432+642=192+522+582

22+43+64=28+34+67
222+432+642=282+342+672

23+44+65=20+53+59
232+442+652=202+532+592

23+44+65=29+35+68
232+442+652=292+352+682

24+45+66=21+54+60
242+452+662=212+542+602

24+45+66=30+36+69
242+452+662=302+362+692

25+46+67=22+55+61
252+462+672=222+552+612

25+46+67=31+37+70
252+462+672=312+372+702

26+47+68=23+56+62
262+472+682=232+562+622

26+47+68=32+38+71
262+472+682=322+382+712

27+48+69=24+57+63
272+482+692=242+572+632

27+48+69=33+39+72
272+482+692=332+392+722

28+49+70=25+58+64
282+492+702=252+582+642

28+49+70=34+40+73
282+492+702=342+402+732

29+50+71=26+59+65
292+502+712=262+592+652

29+50+71=35+41+74
292+502+712=352+412+742

30+51+72=27+60+66
302+512+722=272+602+662

30+51+72=36+42+75
302+512+722=362+422+752

31+52+73=28+61+67
312+522+732=282+612+672

31+52+73=37+43+76
312+522+732=372+432+762

32+53+74=29+62+68
322+532+742=292+622+682

32+53+74=38+44+77
322+532+742=382+442+772

33+54+75=30+63+69
332+542+752=302+632+692

33+54+75=39+45+78
332+542+752=392+452+782

34+55+76=31+64+70
342+552+762=312+642+702

34+55+76=40+46+79
342+552+762=402+462+792

35+56+77=32+65+71
352+562+772=322+652+712

35+56+77=41+47+80
352+562+772=412+472+802

36+57+78=33+66+72
362+572+782=332+662+722

36+57+78=42+48+81
362+572+782=422+482+812

37+58+79=34+67+73
372+582+792=342+672+732

37+58+79=43+49+82
372+582+792=432+492+822

38+59+80=35+68+74
382+592+802=352+682+742

38+59+80=44+50+83
382+592+802=442+502+832

39+60+81=36+69+75
392+602+812=362+692+752

39+60+81=45+51+84
392+602+812=452+512+842

40+61+82=37+70+76
402+612+822=372+702+762

40+61+82=46+52+85
402+612+822=462+522+852

41+62+83=38+71+77
412+622+832=382+712+772

41+62+83=47+53+86
412+622+832=472+532+862

42+63+84=39+72+78
422+632+842=392+722+782

42+63+84=48+54+87
422+632+842=482+542+872

43+64+85=40+73+79
432+642+852=402+732+792

43+64+85=49+55+88
432+642+852=492+552+882

44+65+86=41+74+80
442+652+862=412+742+802

44+65+86=50+56+89
442+652+862=502+562+892

45+66+87=42+75+81
452+662+872=422+752+812

45+66+87=51+57+90
452+662+872=512+572+902

46+67+88=43+76+82
462+672+882=432+762+822

46+67+88=52+58+91
462+672+882=522+582+912

47+68+89=44+77+83
472+682+892=442+772+832

47+68+89=53+59+92
472+682+892=532+592+922

48+69+90=45+78+84
482+692+902=452+782+842

48+69+90=54+60+93
482+692+902=542+602+932

49+70+91=46+79+85
492+702+912=462+792+852

49+70+91=55+61+94
492+702+912=552+612+942

50+71+92=47+80+86
502+712+922=472+802+862

50+71+92=56+62+95
502+712+922=562+622+952

51+72+93=48+81+87
512+722+932=482+812+872

51+72+93=57+63+96
512+722+932=572+632+962

52+73+94=49+82+88
522+732+942=492+822+882

52+73+94=58+64+97
522+732+942=582+642+972

53+74+95=50+83+89
532+742+952=502+832+892

53+74+95=59+65+98
532+742+952=592+652+982

54+75+96=51+84+90
542+752+962=512+842+902

54+75+96=60+66+99
542+752+962=602+662+992

55+76+97=52+85+91
552+762+972=522+852+912

55+76+97=61+67+100  
552+762+972=612+672+1002

56+77+98=53+86+92
562+772+982=532+862+922

57+78+99=54+87+93
572+782+992=542+872+932

58+79+100=55+88+94
582+792+1002=552+882+942

59+80+101=56+89+95
592+802+1012=562+892+952

60+81+102=57+90+96
602+812+1022=572+902+962

61+82+103=58+91+97
612+822+1032=582+912+972

62+83+104=59+92+98
622+832+1042=592+922+982

63+84+105=60+93+99
632+842+1052=602+932+992

64+85+106=61+94+100  
642+852+1062=612+942+1002

項差 26 
 1+27+53=11+13+57
 12+272+532=112+132+572

 2+28+54=12+14+58
 22+282+542=122+142+582

 3+29+55=13+15+59
 32+292+552=132+152+592

 4+30+56=14+16+60
 42+302+562=142+162+602

 5+31+57= 1+45+47
 52+312+572= 12+452+472

 5+31+57=15+17+61
 52+312+572=152+172+612

 6+32+58= 2+46+48
 62+322+582= 22+462+482

 6+32+58=16+18+62
 62+322+582=162+182+622

 7+33+59= 3+47+49
 72+332+592= 32+472+492

 7+33+59=17+19+63
 72+332+592=172+192+632

 8+34+60= 4+48+50
 82+342+602= 42+482+502

 8+34+60=18+20+64
 82+342+602=182+202+642

 9+35+61= 5+49+51
 92+352+612= 52+492+512

 9+35+61=19+21+65
 92+352+612=192+212+652

10+36+62= 6+50+52
102+362+622= 62+502+522

10+36+62=20+22+66
102+362+622=202+222+662

11+37+63= 7+51+53
112+372+632= 72+512+532

11+37+63=21+23+67
112+372+632=212+232+672

12+38+64= 8+52+54
122+382+642= 82+522+542

12+38+64=22+24+68
122+382+642=222+242+682

13+39+65= 9+53+55
132+392+652= 92+532+552

13+39+65=23+25+69
132+392+652=232+252+692

14+40+66=10+54+56
142+402+662=102+542+562

14+40+66=24+26+70
142+402+662=242+262+702

15+41+67=11+55+57
152+412+672=112+552+572

15+41+67=25+27+71
152+412+672=252+272+712

16+42+68=12+56+58
162+422+682=122+562+582

16+42+68=26+28+72
162+422+682=262+282+722

17+43+69=13+57+59
172+432+692=132+572+592

17+43+69=27+29+73
172+432+692=272+292+732

18+44+70=14+58+60
182+442+702=142+582+602

18+44+70=28+30+74
182+442+702=282+302+742

19+45+71=15+59+61
192+452+712=152+592+612

19+45+71=29+31+75
192+452+712=292+312+752

20+46+72=16+60+62
202+462+722=162+602+622

20+46+72=30+32+76
202+462+722=302+322+762

21+47+73=17+61+63
212+472+732=172+612+632

21+47+73=31+33+77
212+472+732=312+332+772

22+48+74=18+62+64
222+482+742=182+622+642

22+48+74=32+34+78
222+482+742=322+342+782

23+49+75=19+63+65
232+492+752=192+632+652

23+49+75=33+35+79
232+492+752=332+352+792

24+50+76=20+64+66
242+502+762=202+642+662

24+50+76=34+36+80
242+502+762=342+362+802

25+51+77=21+65+67
252+512+772=212+652+672

25+51+77=35+37+81
252+512+772=352+372+812

26+52+78=22+66+68
262+522+782=222+662+682

26+52+78=36+38+82
262+522+782=362+382+822

27+53+79=23+67+69
272+532+792=232+672+692

27+53+79=37+39+83
272+532+792=372+392+832

28+54+80=24+68+70
282+542+802=242+682+702

28+54+80=38+40+84
282+542+802=382+402+842

29+55+81=25+69+71
292+552+812=252+692+712

29+55+81=39+41+85
292+552+812=392+412+852

30+56+82=26+70+72
302+562+822=262+702+722

30+56+82=40+42+86
302+562+822=402+422+862

31+57+83=27+71+73
312+572+832=272+712+732

31+57+83=41+43+87
312+572+832=412+432+872

32+58+84=28+72+74
322+582+842=282+722+742

32+58+84=42+44+88
322+582+842=422+442+882

33+59+85=29+73+75
332+592+852=292+732+752

33+59+85=43+45+89
332+592+852=432+452+892

34+60+86=30+74+76
342+602+862=302+742+762

34+60+86=44+46+90
342+602+862=442+462+902

35+61+87=31+75+77
352+612+872=312+752+772

35+61+87=45+47+91
352+612+872=452+472+912

36+62+88=32+76+78
362+622+882=322+762+782

36+62+88=46+48+92
362+622+882=462+482+922

37+63+89=33+77+79
372+632+892=332+772+792

37+63+89=47+49+93
372+632+892=472+492+932

38+64+90=34+78+80
382+642+902=342+782+802

38+64+90=48+50+94
382+642+902=482+502+942

39+65+91=35+79+81
392+652+912=352+792+812

39+65+91=49+51+95
392+652+912=492+512+952

40+66+92=36+80+82
402+662+922=362+802+822

40+66+92=50+52+96
402+662+922=502+522+962

41+67+93=37+81+83
412+672+932=372+812+832

41+67+93=51+53+97
412+672+932=512+532+972

42+68+94=38+82+84
422+682+942=382+822+842

42+68+94=52+54+98
422+682+942=522+542+982

43+69+95=39+83+85
432+692+952=392+832+852

43+69+95=53+55+99
432+692+952=532+552+992

44+70+96=40+84+86
442+702+962=402+842+862

44+70+96=54+56+100  
442+702+962=542+562+1002

45+71+97=41+85+87
452+712+972=412+852+872

46+72+98=42+86+88
462+722+982=422+862+882

47+73+99=43+87+89
472+732+992=432+872+892

48+74+100=44+88+90
482+742+1002=442+882+902

49+75+101=45+89+91
492+752+1012=452+892+912

50+76+102=46+90+92
502+762+1022=462+902+922

51+77+103=47+91+93
512+772+1032=472+912+932

52+78+104=48+92+94
522+782+1042=482+922+942

53+79+105=49+93+95
532+792+1052=492+932+952

54+80+106=50+94+96
542+802+1062=502+942+962

55+81+107=51+95+97
552+812+1072=512+952+972

56+82+108=52+96+98
562+822+1082=522+962+982

57+83+109=53+97+99
572+832+1092=532+972+992

58+84+110=54+98+100  
582+842+1102=542+982+1002

項差 28 
 1+29+57= 9+17+61
 12+292+572= 92+172+612

 2+30+58=10+18+62
 22+302+582=102+182+622

 3+31+59=11+19+63
 32+312+592=112+192+632

 4+32+60=12+20+64
 42+322+602=122+202+642

 5+33+61= 1+45+53
 52+332+612= 12+452+532

 5+33+61=13+21+65
 52+332+612=132+212+652

 6+34+62= 2+46+54
 62+342+622= 22+462+542

 6+34+62=14+22+66
 62+342+622=142+222+662

 7+35+63= 3+47+55
 72+352+632= 32+472+552

 7+35+63=15+23+67
 72+352+632=152+232+672

 8+36+64= 4+48+56
 82+362+642= 42+482+562

 8+36+64=16+24+68
 82+362+642=162+242+682

 9+37+65= 5+49+57
 92+372+652= 52+492+572

 9+37+65=17+25+69
 92+372+652=172+252+692

10+38+66= 6+50+58
102+382+662= 62+502+582

10+38+66=18+26+70
102+382+662=182+262+702

11+39+67= 7+51+59
112+392+672= 72+512+592

11+39+67=19+27+71
112+392+672=192+272+712

12+40+68= 8+52+60
122+402+682= 82+522+602

12+40+68=20+28+72
122+402+682=202+282+722

13+41+69= 9+53+61
132+412+692= 92+532+612

13+41+69=21+29+73
132+412+692=212+292+732

14+42+70=10+54+62
142+422+702=102+542+622

14+42+70=22+30+74
142+422+702=222+302+742

15+43+71=11+55+63
152+432+712=112+552+632

15+43+71=23+31+75
152+432+712=232+312+752

16+44+72=12+56+64
162+442+722=122+562+642

16+44+72=24+32+76
162+442+722=242+322+762

17+45+73=13+57+65
172+452+732=132+572+652

17+45+73=25+33+77
172+452+732=252+332+772

18+46+74=14+58+66
182+462+742=142+582+662

18+46+74=26+34+78
182+462+742=262+342+782

19+47+75=15+59+67
192+472+752=152+592+672

19+47+75=27+35+79
192+472+752=272+352+792

20+48+76=16+60+68
202+482+762=162+602+682

20+48+76=28+36+80
202+482+762=282+362+802

21+49+77=17+61+69
212+492+772=172+612+692

21+49+77=29+37+81
212+492+772=292+372+812

22+50+78=18+62+70
222+502+782=182+622+702

22+50+78=30+38+82
222+502+782=302+382+822

23+51+79=19+63+71
232+512+792=192+632+712

23+51+79=31+39+83
232+512+792=312+392+832

24+52+80=20+64+72
242+522+802=202+642+722

24+52+80=32+40+84
242+522+802=322+402+842

25+53+81=21+65+73
252+532+812=212+652+732

25+53+81=33+41+85
252+532+812=332+412+852

26+54+82=22+66+74
262+542+822=222+662+742

26+54+82=34+42+86
262+542+822=342+422+862

27+55+83=23+67+75
272+552+832=232+672+752

27+55+83=35+43+87
272+552+832=352+432+872

28+56+84=24+68+76
282+562+842=242+682+762

28+56+84=36+44+88
282+562+842=362+442+882

29+57+85=25+69+77
292+572+852=252+692+772

29+57+85=37+45+89
292+572+852=372+452+892

30+58+86=26+70+78
302+582+862=262+702+782

30+58+86=38+46+90
302+582+862=382+462+902

31+59+87=27+71+79
312+592+872=272+712+792

31+59+87=39+47+91
312+592+872=392+472+912

32+60+88=28+72+80
322+602+882=282+722+802

32+60+88=40+48+92
322+602+882=402+482+922

33+61+89=29+73+81
332+612+892=292+732+812

33+61+89=41+49+93
332+612+892=412+492+932

34+62+90=30+74+82
342+622+902=302+742+822

34+62+90=42+50+94
342+622+902=422+502+942

35+63+91=31+75+83
352+632+912=312+752+832

35+63+91=43+51+95
352+632+912=432+512+952

36+64+92=32+76+84
362+642+922=322+762+842

36+64+92=44+52+96
362+642+922=442+522+962

37+65+93=33+77+85
372+652+932=332+772+852

37+65+93=45+53+97
372+652+932=452+532+972

38+66+94=34+78+86
382+662+942=342+782+862

38+66+94=46+54+98
382+662+942=462+542+982

39+67+95=35+79+87
392+672+952=352+792+872

39+67+95=47+55+99
392+672+952=472+552+992

40+68+96=36+80+88
402+682+962=362+802+882

40+68+96=48+56+100  
402+682+962=482+562+1002

41+69+97=37+81+89
412+692+972=372+812+892

42+70+98=38+82+90
422+702+982=382+822+902

43+71+99=39+83+91
432+712+992=392+832+912

44+72+100=40+84+92
442+722+1002=402+842+922

45+73+101=41+85+93
452+732+1012=412+852+932

46+74+102=42+86+94
462+742+1022=422+862+942

47+75+103=43+87+95
472+752+1032=432+872+952

48+76+104=44+88+96
482+762+1042=442+882+962

49+77+105=45+89+97
492+772+1052=452+892+972

50+78+106=46+90+98
502+782+1062=462+902+982

51+79+107=47+91+99
512+792+1072=472+912+992

52+80+108=48+92+100   
522+802+1082=482+922+1002

項差 31 
 1+32+63= 8+21+67
 12+322+632= 82+212+672

 2+33+64= 9+22+68
 22+332+642= 92+222+682

 3+34+65=10+23+69
 32+342+652=102+232+692

 4+35+66=11+24+70
 42+352+662=112+242+702

 5+36+67= 1+47+60
 52+362+672= 12+472+602

 5+36+67=12+25+71
 52+362+672=122+252+712

 6+37+68= 2+48+61
 62+372+682= 22+482+612

 6+37+68=13+26+72
 62+372+682=132+262+722

 7+38+69= 3+49+62
 72+382+692= 32+492+622

 7+38+69=14+27+73
 72+382+692=142+272+732

 8+39+70= 4+50+63
 82+392+702= 42+502+632

 8+39+70=15+28+74
 82+392+702=152+282+742

 9+40+71= 5+51+64
 92+402+712= 52+512+642

 9+40+71=16+29+75
 92+402+712=162+292+752

10+41+72= 6+52+65
102+412+722= 62+522+652

10+41+72=17+30+76
102+412+722=172+302+762

11+42+73= 7+53+66
112+422+732= 72+532+662

11+42+73=18+31+77
112+422+732=182+312+772

12+43+74= 8+54+67
122+432+742= 82+542+672

12+43+74=19+32+78
122+432+742=192+322+782

13+44+75= 9+55+68
132+442+752= 92+552+682

13+44+75=20+33+79
132+442+752=202+332+792

14+45+76=10+56+69
142+452+762=102+562+692

14+45+76=21+34+80
142+452+762=212+342+802

15+46+77=11+57+70
152+462+772=112+572+702

15+46+77=22+35+81
152+462+772=222+352+812

16+47+78=12+58+71
162+472+782=122+582+712

16+47+78=23+36+82
162+472+782=232+362+822

17+48+79=13+59+72
172+482+792=132+592+722

17+48+79=24+37+83
172+482+792=242+372+832

18+49+80=14+60+73
182+492+802=142+602+732

18+49+80=25+38+84
182+492+802=252+382+842

19+50+81=15+61+74
192+502+812=152+612+742

19+50+81=26+39+85
192+502+812=262+392+852

20+51+82=16+62+75
202+512+822=162+622+752

20+51+82=27+40+86
202+512+822=272+402+862

21+52+83=17+63+76
212+522+832=172+632+762

21+52+83=28+41+87
212+522+832=282+412+872

22+53+84=18+64+77
222+532+842=182+642+772

22+53+84=29+42+88
222+532+842=292+422+882

23+54+85=19+65+78
232+542+852=192+652+782

23+54+85=30+43+89
232+542+852=302+432+892

24+55+86=20+66+79
242+552+862=202+662+792

24+55+86=31+44+90
242+552+862=312+442+902

25+56+87=21+67+80
252+562+872=212+672+802

25+56+87=32+45+91
252+562+872=322+452+912

26+57+88=22+68+81
262+572+882=222+682+812

26+57+88=33+46+92
262+572+882=332+462+922

27+58+89=23+69+82
272+582+892=232+692+822

27+58+89=34+47+93
272+582+892=342+472+932

28+59+90=24+70+83
282+592+902=242+702+832

28+59+90=35+48+94
282+592+902=352+482+942

29+60+91=25+71+84
292+602+912=252+712+842

29+60+91=36+49+95
292+602+912=362+492+952

30+61+92=26+72+85
302+612+922=262+722+852

30+61+92=37+50+96
302+612+922=372+502+962

31+62+93=27+73+86
312+622+932=272+732+862

31+62+93=38+51+97
312+622+932=382+512+972

32+63+94=28+74+87
322+632+942=282+742+872

32+63+94=39+52+98
322+632+942=392+522+982

33+64+95=29+75+88
332+642+952=292+752+882

33+64+95=40+53+99
332+642+952=402+532+992

34+65+96=30+76+89
342+652+962=302+762+892

34+65+96=41+54+100  
342+652+962=412+542+1002

35+66+97=31+77+90
352+662+972=312+772+902

36+67+98=32+78+91
362+672+982=322+782+912

37+68+99=33+79+92
372+682+992=332+792+922

38+69+100=34+80+93
382+692+1002=342+802+932

39+70+101=35+81+94
392+702+1012=352+812+942

40+71+102=36+82+95
402+712+1022=362+822+952

41+72+103=37+83+96
412+722+1032=372+832+962

42+73+104 
  =38+84+97
422+732+1042=382+842+972

43+74+105=39+85+98
432+742+1052=392+852+982

44+75+106=40+86+99
442+752+1062=402+862+992

45+76+107=41+87+100 
  
452+762+1072=412+872+1002

項差 35 
 1+36+71=11+21+76
 12+362+712=112+212+762

 2+37+72=12+22+77
 22+372+722=122+222+772

 3+38+73=13+23+78
 32+382+732=132+232+782

 4+39+74=14+24+79
 42+392+742=142+242+792

 5+40+75=15+25+80
 52+402+752=152+252+802

 6+41+76= 1+56+66
 62+412+762= 12+562+662

 6+41+76=16+26+81
 62+412+762=162+262+812

 7+42+77= 2+57+67
 72+422+772= 22+572+672

 7+42+77=17+27+82
 72+422+772=172+272+822

 8+43+78= 3+58+68
 82+432+782= 32+582+682

 8+43+78=18+28+83
 82+432+782=182+282+832

 9+44+79= 4+59+69
 92+442+792= 42+592+692

 9+44+79=19+29+84
 92+442+792=192+292+842

10+45+80= 5+60+70
102+452+802= 52+602+702

10+45+80=20+30+85
102+452+802=202+302+852

11+46+81= 6+61+71
112+462+812= 62+612+712

11+46+81=21+31+86
112+462+812=212+312+862

12+47+82= 7+62+72
122+472+822= 72+622+722

12+47+82=22+32+87
122+472+822=222+322+872

13+48+83= 8+63+73
132+482+832= 82+632+732

13+48+83=23+33+88
132+482+832=232+332+882

14+49+84= 9+64+74
142+492+842= 92+642+742

14+49+84=24+34+89
142+492+842=242+342+892

15+50+85=10+65+75
152+502+852=102+652+752

15+50+85=25+35+90
152+502+852=252+352+902

16+51+86=11+66+76
162+512+862=112+662+762

16+51+86=26+36+91
162+512+862=262+362+912

17+52+87=12+67+77
172+522+872=122+672+772

17+52+87=27+37+92
172+522+872=272+372+922

18+53+88=13+68+78
182+532+882=132+682+782

18+53+88=28+38+93
182+532+882=282+382+932

19+54+89=14+69+79
192+542+892=142+692+792

19+54+89=29+39+94
192+542+892=292+392+942

20+55+90=15+70+80
202+552+902=152+702+802

20+55+90=30+40+95
202+552+902=302+402+952

21+56+91=16+71+81
212+562+912=162+712+812

21+56+91=31+41+96
212+562+912=312+412+962

22+57+92=17+72+82
222+572+922=172+722+822

22+57+92=32+42+97
222+572+922=322+422+972

23+58+93=18+73+83
232+582+932=182+732+832

23+58+93=33+43+98
232+582+932=332+432+982

24+59+94=19+74+84
242+592+942=192+742+842

24+59+94=34+44+99
242+592+942=342+442+992

25+60+95=20+75+85
252+602+952=202+752+852

25+60+95=35+45+100  
252+602+952=352+452+1002

26+61+96=21+76+86
262+612+962=212+762+862

27+62+97=22+77+87
272+622+972=222+772+872

28+63+98=23+78+88
282+632+982=232+782+882

29+64+99=24+79+89
292+642+992=242+792+892

30+65+100=25+80+90
302+652+1002=252+802+902

31+66+101=26+81+91
312+662+1012=262+812+912

32+67+102=27+82+92
322+672+1022=272+822+922

33+68+103=28+83+93
332+682+1032=282+832+932

34+69+104 =29+84+94
342+692+1042=292+842+942

35+70+105=30+85+95
352+702+1052=302+852+952

36+71+106=31+86+96
362+712+1062=312+862+962

37+72+107=32+87+97
372+722+1072=322+872+972

38+73+108=33+88+98
382+732+1082=332+882+982

39+74+109=34+89+99
392+742+1092=342+892+992

40+75+110=35+90+100  
402+752+1102=352+902+1002

項差 37 
 1+38+75= 5+31+78
 12+382+752= 52+312+782

 2+39+76= 6+32+79
 22+392+762= 62+322+792

 3+40+77= 7+33+80
 32+402+772= 72+332+802

 4+41+78= 1+48+74
 42+412+782= 12+482+742

 4+41+78= 8+34+81
 42+412+782= 82+342+812

 5+42+79= 2+49+75
 52+422+792= 22+492+752

 5+42+79= 9+35+82
 52+422+792= 92+352+822

 6+43+80= 3+50+76
 62+432+802= 32+502+762

 6+43+80=10+36+83
 62+432+802=102+362+832

 7+44+81= 4+51+77
 72+442+812= 42+512+772

 7+44+81=11+37+84
 72+442+812=112+372+842

 8+45+82= 5+52+78
 82+452+822= 52+522+782

 8+45+82=12+38+85
 82+452+822=122+382+852

 9+46+83= 6+53+79
 92+462+832= 62+532+792

 9+46+83=13+39+86
 92+462+832=132+392+862

10+47+84= 7+54+80
102+472+842= 72+542+802

10+47+84=14+40+87
102+472+842=142+402+872

11+48+85= 8+55+81
112+482+852= 82+552+812

11+48+85=15+41+88
112+482+852=152+412+882

12+49+86= 9+56+82
122+492+862= 92+562+822

12+49+86=16+42+89
122+492+862=162+422+892

13+50+87=10+57+83
132+502+872=102+572+832

13+50+87=17+43+90
132+502+872=172+432+902

14+51+88=11+58+84
142+512+882=112+582+842

14+51+88=18+44+91
142+512+882=182+442+912

15+52+89=12+59+85
152+522+892=122+592+852

15+52+89=19+45+92
152+522+892=192+452+922

16+53+90=13+60+86
162+532+902=132+602+862

16+53+90=20+46+93
162+532+902=202+462+932

17+54+91=14+61+87
172+542+912=142+612+872

17+54+91=21+47+94
172+542+912=212+472+942

18+55+92=15+62+88
182+552+922=152+622+882

18+55+92=22+48+95
182+552+922=222+482+952

19+56+93=16+63+89
192+562+932=162+632+892

19+56+93=23+49+96
192+562+932=232+492+962

20+57+94=17+64+90
202+572+942=172+642+902

20+57+94=24+50+97
202+572+942=242+502+972

21+58+95=18+65+91
212+582+952=182+652+912

21+58+95=25+51+98
212+582+952=252+512+982

22+59+96=19+66+92
222+592+962=192+662+922

22+59+96=26+52+99
222+592+962=262+522+992

23+60+97=20+67+93
232+602+972=202+672+932

◆三重県 とくしん さんからの解答。

項の数は増えますが、3乗、4乗と増やしても等式が成立する数の組が存在します。

1+5+6=2+3+7
12+52+62=22+32+72

1+5+8+12=2+3+10+11
12+52+82+122=22+32+102+112
13+53+83+123=23+33+103+113

1+5+9+17+18=2+3+11+15+19 (4乗まで成立)

1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22(5乗まで成立)
具体的な構成方法を示します。
最初の例で、
12+52+62-22+32+72は0になります。
この時、各項の数字(1,5,6,2,3,7)に同じ数字を足した時に次の性質を満たします。

・各項を2乗した数字の合計の差=0
・各項を3乗した数字の合計の差は同じ数字を足す前と同じ

具体的には、例えば1を足すと、

(22+62+72)-(32+42+82)=0

(13+53+63)-(23+33+73)= (23+63+73)-(33+43+83)

を満たします。
証明は他の人に任せます。
2乗だけなら出来ない事も無いけれど・・・
この時、片方の右辺と左辺を逆にして足せば3乗までの和が0になります。
そこで、左辺と右辺に同じ数字の組を出来るだけ多く作るように調整すれば最初に示した式が出来ます。

  1+ 5+ 6= 2+ 3+ 7
+ 7+ 8+12= 6+10+11
------------------
1+5+8+12 = 2+3+10+11(3乗まで成立)
N乗の和までが等しくなる式の場合は各項に同じ数を足すとN乗の和までは等しく、N+1乗の和は差が一定になるので、こ の作業で乗数を1ずつ増やせます。
(7項で6乗まで成立する組はまだ見つけていません。このような組は存在するのでしょうか?)

【感想】

この式は小学生か中学生の頃に発見していました。
その当時は色々な性質を探るのに一々手作業(電卓)で計算して大変だった記憶があります。
また、この方法は必ず最小解が発見できるのか、全ての解が見つかるかがわかりません。
乗数が3以上の時の最小解や一般解も出来れば計算してみて下さい。


 『数の不思議』へ

 数学の部屋へもどる