◆京都府 大空風成 さんからの解答。
【数の不思議の解答】 a+b+c=x+y+z ・・・(1) a2+b2+c2=x2+y2+z2 ・・・(2) で、a、b、c (a≦c)を自然数として、 x=b-3、y=a+2、z=c+1 とおくと、これは(1)をみたす。 これらを(2)に代入すると、 a2+b2+c2=(b-3)2+(a+2)2+(c+1) 2 これを展開して整理すると、 |
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よって、2a+c+7 が3の倍数でなければならない。 ここで、c=a+3p+2 (pは整数)とおくと、これをみたす。 2a+c+7=2a+(a+3p+2)+7=3(a+p+3) となるから、 |
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x=b-3=a+p+3-3=a+p y=a+2 z=c+1=(a+3p+2)+1=a+3p+3 ところで、a≦c だから、c=a+3p+2 より p≧0 となる。 p=0 のときは、c=a+2 となり、y=c b=a+3=(a+2)+1=c+1 となり、z=b また、x=a となり、a、b、cとx、y、zが同じ数となり、題意に適さない。 よって、pは自然数である。 以上より、 自然数の組 (a,p) を1組決めると、 b=a+p+3 c=a+3p+2 x=a+p y=a+2 z=a+3p+3 と決まって、これらが(1)、(2)をみたす。 【例1】 問題文中の例の場合は、(a,p)=(7,4) で、 b=a+p+3=7+4+3=14 c=a+3p+2=7+3×4+2=21 x=a+p=7+4=11 y=a+2=7+2=9 z=a+3p+3=7+3×4+3=22 【例2】 できるだけ小さい数で例を1つ作ると、(a,p)=(1,1) で、 b=a+p+3=1+1+3=5 c=a+3p+2=1+3×1+2=6 x=a+p=1+1=2 y=a+2=1+2=3 z=a+3p+3=1+3×1+3=7 つまり、 1+5+6=2+3+7 12+52+62=22+32+72 【一般の場合の解答】 一般に、 a、b、c、m、n、k (a≦c)を自然数として、 x=b-k、y=a+m、z=c+n とする。 これを(1)に代入すると、 a+b+c=(b-k)+(a+m)+(c+n) 整理すると、k=m+n となる。 また、これらを(2)に代入すると、 a2+b2+c2=(b-k)2+(a+m)2+(c+n) 2 さらに、k=m+n を代入すると、 a2+b2+c2={b-(m+n)}2+(a+m)2+(c+n) 2 展開して整理すると、 |
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よって、ma+nc+m2+mn+n2 が(m+n)の倍数でなければならない。 ここで、c=a+(m+n)p+m (pは整数)とおくと、これをみたす。 ma+nc+m2+mn+n2 =ma+n{a+(m+n)p+m}+m2+mn+n2 =(m+n)(a+np+m+n) となるから、 |
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x=b-k=a+np+m+n-(m+n)=a+np y=a+m z=c+n=a+(m+n)p+m+n=a+(m+n)p+m+n ところで、a≦c だから、c=a+(m+n)p+m より p≧0 となる。 p=0 のときは、c=a+m となり、y=c b=a+m+n=c+n となり、z=b また、x=a となり、a、b、cとx、y、zが同じ数となり、題意に適さない。 よって、pは自然数である。 以上より、 自然数の組 (a,p,m,n) を1組決めると、 b=a+np+m+n c=a+(m+n)p+m x=a+np y=a+m z=a+(m+n)p+m+n と決まって、これらが(1)、(2)をみたす。 【例3】 できるだけ小さい数で例を1つ作ると、(a,p,m,n)=(1,1,1,1) で、 b=1+1×1+1+1=4 c=1+(1+1)×1+1=4 x=1+1×1=2 y=1+1 z=1+(1+1)×1+1+1=5 つまり、 1+4+4=2+2+5 12+42+42=22+22+52 ただし、同じ数の使用を許さない場合は、 b=cとすると、a+np+m+n=a+(m+n)p+m だから、n=mp よって、n≠mp のとき、 (a,p,m,n)=(1,1,2,1)、(1,1,1,2)、(1,2,1,1)で、 いずれも例2と同じ数の組み合わせとなる。 |
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
左辺の数が等差数列 項差7のとき、
項差7を例に出された雰囲気がなんとなく。
1+ 8+15= 3+ 5+16 12+ 82+152= 32+ 52+162 2+ 9+16= 1+12+14 22+ 92+162= 12+122+142 2+ 9+16= 4+ 6+17 22+ 92+162= 42+ 62+172 3+10+17= 2+13+15 32+102+172= 22+132+152 3+10+17= 5+ 7+18 32+102+172= 52+ 72+182 4+11+18= 3+14+16 42+112+182= 32+142+162 4+11+18= 6+ 8+19 42+112+182= 62+ 82+192 5+12+19= 4+15+17 52+122+192= 42+152+172 5+12+19= 7+ 9+20 52+122+192= 72+ 92+202 6+13+20= 5+16+18 62+132+202= 52+162+182 6+13+20= 8+10+21 62+132+202= 82+102+212 7+14+21= 6+17+19 72+142+212= 62+172+192 7+14+21= 9+11+22 ** 72+142+212= 92+112+222 8+15+22= 7+18+20 82+152+222= 72+182+202 8+15+22=10+12+23 82+152+222=102+122+232 9+16+23= 8+19+21 92+162+232= 82+192+212 9+16+23=11+13+24 92+162+232=112+132+242 10+17+24= 9+20+22 102+172+242= 92+202+222 10+17+24=12+14+25 102+172+242=122+142+252 11+18+25=10+21+23 112+182+252=102+212+232 11+18+25=13+15+26 112+182+252=132+152+262 12+19+26=11+22+24 122+192+262=112+222+242 12+19+26=14+16+27 122+192+262=142+162+272 13+20+27=12+23+25 132+202+272=122+232+252 13+20+27=15+17+28 132+202+272=152+172+282 14+21+28=13+24+26 142+212+282=132+242+262 14+21+28=16+18+29 142+212+282=162+182+292 15+22+29=14+25+27 152+222+292=142+252+272 15+22+29=17+19+30 152+222+292=172+192+302 16+23+30=15+26+28 162+232+302=152+262+282 16+23+30=18+20+31 162+232+302=182+202+312 17+24+31=16+27+29 172+242+312=162+272+292 17+24+31=19+21+32 172+242+312=192+212+322 18+25+32=17+28+30 182+252+322=172+282+302 18+25+32=20+22+33 182+252+322=202+222+332 19+26+33=18+29+31 192+262+332=182+292+312 19+26+33=21+23+34 192+262+332=212+232+342 20+27+34=19+30+32 202+272+342=192+302+322 20+27+34=22+24+35 202+272+342=222+242+352 21+28+35=20+31+33 212+282+352=202+312+332 21+28+35=23+25+36 212+282+352=232+252+362 22+29+36=21+32+34 222+292+362=212+322+342 22+29+36=24+26+37 222+292+362=242+262+372 23+30+37=22+33+35 232+302+372=222+332+352 23+30+37=25+27+38 232+302+372=252+272+382 24+31+38=23+34+36 242+312+382=232+342+362 24+31+38=26+28+39 242+312+382=262+282+392 25+32+39=24+35+37 252+322+392=242+352+372 25+32+39=27+29+40 252+322+392=272+292+402 26+33+40=25+36+38 262+332+402=252+362+382 26+33+40=28+30+41 262+332+402=282+302+412 27+34+41=26+37+39 272+342+412=262+372+392 27+34+41=29+31+42 272+342+412=292+312+422 28+35+42=27+38+40 282+352+422=272+382+402 28+35+42=30+32+43 282+352+422=302+322+432 29+36+43=28+39+41 292+362+432=282+392+412 29+36+43=31+33+44 292+362+432=312+332+442 30+37+44=29+40+42 302+372+442=292+402+422 30+37+44=32+34+45 302+372+442=322+342+452 31+38+45=30+41+43 312+382+452=302+412+432 31+38+45=33+35+46 312+382+452=332+352+462 32+39+46=31+42+44 322+392+462=312+422+442 32+39+46=34+36+47 322+392+462=342+362+472 33+40+47=32+43+45 332+402+472=322+432+452 33+40+47=35+37+48 332+402+472=352+372+482 34+41+48=33+44+46 342+412+482=332+442+462 34+41+48=36+38+49 342+412+482=362+382+492 35+42+49=34+45+47 352+422+492=342+452+472 35+42+49=37+39+50 352+422+492=372+392+502 36+43+50=35+46+48 362+432+502=352+462+482 36+43+50=38+40+51 362+432+502=382+402+512 37+44+51=36+47+49 372+442+512=362+472+492 37+44+51=39+41+52 372+442+512=392+412+522 38+45+52=37+48+50 382+452+522=372+482+502 38+45+52=40+42+53 382+452+522=402+422+532 39+46+53=38+49+51 392+462+532=382+492+512 39+46+53=41+43+54 392+462+532=412+432+542 40+47+54=39+50+52 402+472+542=392+502+522 40+47+54=42+44+55 402+472+542=422+442+552 41+48+55=40+51+53 412+482+552=402+512+532 41+48+55=43+45+56 412+482+552=432+452+562 42+49+56=41+52+54 422+492+562=412+522+542 42+49+56=44+46+57 422+492+562=442+462+572 43+50+57=42+53+55 432+502+572=422+532+552 43+50+57=45+47+58 432+502+572=452+472+582 44+51+58=43+54+56 442+512+582=432+542+562 44+51+58=46+48+59 442+512+582=462+482+592 45+52+59=44+55+57 452+522+592=442+552+572 45+52+59=47+49+60 452+522+592=472+492+602 46+53+60=45+56+58 462+532+602=452+562+582 46+53+60=48+50+61 462+532+602=482+502+612 47+54+61=46+57+59 472+542+612=462+572+592 47+54+61=49+51+62 472+542+612=492+512+622 48+55+62=47+58+60 482+552+622=472+582+602 48+55+62=50+52+63 482+552+622=502+522+632 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182+532+882=282+382+932 19+54+89=14+69+79 192+542+892=142+692+792 19+54+89=29+39+94 192+542+892=292+392+942 20+55+90=15+70+80 202+552+902=152+702+802 20+55+90=30+40+95 202+552+902=302+402+952 21+56+91=16+71+81 212+562+912=162+712+812 21+56+91=31+41+96 212+562+912=312+412+962 22+57+92=17+72+82 222+572+922=172+722+822 22+57+92=32+42+97 222+572+922=322+422+972 23+58+93=18+73+83 232+582+932=182+732+832 23+58+93=33+43+98 232+582+932=332+432+982 24+59+94=19+74+84 242+592+942=192+742+842 24+59+94=34+44+99 242+592+942=342+442+992 25+60+95=20+75+85 252+602+952=202+752+852 25+60+95=35+45+100 252+602+952=352+452+1002 26+61+96=21+76+86 262+612+962=212+762+862 27+62+97=22+77+87 272+622+972=222+772+872 28+63+98=23+78+88 282+632+982=232+782+882 29+64+99=24+79+89 292+642+992=242+792+892 30+65+100=25+80+90 302+652+1002=252+802+902 31+66+101=26+81+91 312+662+1012=262+812+912 32+67+102=27+82+92 322+672+1022=272+822+922 33+68+103=28+83+93 332+682+1032=282+832+932 34+69+104 =29+84+94 342+692+1042=292+842+942 35+70+105=30+85+95 352+702+1052=302+852+952 36+71+106=31+86+96 362+712+1062=312+862+962 37+72+107=32+87+97 372+722+1072=322+872+972 38+73+108=33+88+98 382+732+1082=332+882+982 39+74+109=34+89+99 392+742+1092=342+892+992 40+75+110=35+90+100 402+752+1102=352+902+1002 項差 37 1+38+75= 5+31+78 12+382+752= 52+312+782 2+39+76= 6+32+79 22+392+762= 62+322+792 3+40+77= 7+33+80 32+402+772= 72+332+802 4+41+78= 1+48+74 42+412+782= 12+482+742 4+41+78= 8+34+81 42+412+782= 82+342+812 5+42+79= 2+49+75 52+422+792= 22+492+752 5+42+79= 9+35+82 52+422+792= 92+352+822 6+43+80= 3+50+76 62+432+802= 32+502+762 6+43+80=10+36+83 62+432+802=102+362+832 7+44+81= 4+51+77 72+442+812= 42+512+772 7+44+81=11+37+84 72+442+812=112+372+842 8+45+82= 5+52+78 82+452+822= 52+522+782 8+45+82=12+38+85 82+452+822=122+382+852 9+46+83= 6+53+79 92+462+832= 62+532+792 9+46+83=13+39+86 92+462+832=132+392+862 10+47+84= 7+54+80 102+472+842= 72+542+802 10+47+84=14+40+87 102+472+842=142+402+872 11+48+85= 8+55+81 112+482+852= 82+552+812 11+48+85=15+41+88 112+482+852=152+412+882 12+49+86= 9+56+82 122+492+862= 92+562+822 12+49+86=16+42+89 122+492+862=162+422+892 13+50+87=10+57+83 132+502+872=102+572+832 13+50+87=17+43+90 132+502+872=172+432+902 14+51+88=11+58+84 142+512+882=112+582+842 14+51+88=18+44+91 142+512+882=182+442+912 15+52+89=12+59+85 152+522+892=122+592+852 15+52+89=19+45+92 152+522+892=192+452+922 16+53+90=13+60+86 162+532+902=132+602+862 16+53+90=20+46+93 162+532+902=202+462+932 17+54+91=14+61+87 172+542+912=142+612+872 17+54+91=21+47+94 172+542+912=212+472+942 18+55+92=15+62+88 182+552+922=152+622+882 18+55+92=22+48+95 182+552+922=222+482+952 19+56+93=16+63+89 192+562+932=162+632+892 19+56+93=23+49+96 192+562+932=232+492+962 20+57+94=17+64+90 202+572+942=172+642+902 20+57+94=24+50+97 202+572+942=242+502+972 21+58+95=18+65+91 212+582+952=182+652+912 21+58+95=25+51+98 212+582+952=252+512+982 22+59+96=19+66+92 222+592+962=192+662+922 22+59+96=26+52+99 222+592+962=262+522+992 23+60+97=20+67+93 232+602+972=202+672+932
◆三重県 とくしん さんからの解答。
項の数は増えますが、3乗、4乗と増やしても等式が成立する数の組が存在します。
1+5+6=2+3+7 12+52+62=22+32+72 1+5+8+12=2+3+10+11 12+52+82+122=22+32+102+112 13+53+83+123=23+33+103+113 1+5+9+17+18=2+3+11+15+19 (4乗まで成立) 1+6+7+17+18+23=2+3+11+13+21+22(5乗まで成立)具体的な構成方法を示します。
1+ 5+ 6= 2+ 3+ 7 + 7+ 8+12= 6+10+11 ------------------ 1+5+8+12 = 2+3+10+11(3乗まで成立)N乗の和までが等しくなる式の場合は各項に同じ数を足すとN乗の和までは等しく、N+1乗の和は差が一定になるので、こ の作業で乗数を1ずつ増やせます。