◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
∠ＢＡＣ=90度になると、線ＤＡＦは直線になります。
そのとき、点ＱはＥＧの中点になるし、ＡＰ⊥ＥＧです。
△ＡＢＣは線ＤＡＦ上で△ＡＥＧと対称になるため、
ＡＱ＝ＡＭ、ＡＰ＝ＡＨ。
ＭＰ＝ＭＡ＋ＡＰ＝ＱＡ＋ＡＨ＝ＱＨ
答えはＡが直角の三角形です。
（この三角形以外に他の三角形が存在するかもしれません。）
◆出題者のコメント。
解答は間違っていません。
ただこれは十分条件（の一つ？）を示しているだけなので、必要条件も考えてみてください。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
解答の追加です。
辺ＡＢ＝ＡＣの時はＭＰとＨＱが重なっていて、ＭＰ＝ＨＱになります。
つまり△ＡＢＣは２等辺三角形(ＡＢ＝ＡＣ)のときも条件を満たします。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
必要条件の証明です。
BCとARが対角線である２等辺四角形ABRCを作ります。
EA＝AB、AG＝ACと∠ABR＝∠EAGより
△ABR≡△EAG。
また∠EAQ＝∠ABHのため、QはEGの中点になります。
∠AEP＋∠EAP＝∠BAM＋∠EAP＝９０度より
∠EPA＝９０度。
つまりEG⊥PMとBC⊥QHです。
ア) PMとQHが平行ではない場合、
PM＝QHになるためには点AはEGとBCから同じ距離でないといけません。
△ABM≡△EAQより、PM＝QHになるためにAからBMへの垂直線とBからAMへの垂直線は同じ長さでないといけません。
そのためには、AM＝BM(＝MC)
つまりMは△ABCの外接円の中心になり、
∠BAC＝９０度になります。
イ) PMとQHが平行の場合、
PとQ、MとHは重なるため同じ長さになります。
平行になるためにはAB＝ACしかありません。
以上、PM＝QHになるためには ア)または イ)の条件を満たさないといけません。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
頂点Ａが辺ＢＣの垂直２等分線上か直径ＢＣの円周上にある時、与えられた条件を満たす。
ただし、点Ｂや点Ｃや辺ＢＣの中点では三角形にならないので、その３点は除く。
（下の図の赤い線上に頂点Ａがある時、条件を満たす）
【証明】
（１）頂点Ａが辺ＢＣの垂直２等分線上の時
△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの２等辺三角形なので
ＭＰとＨＱは重なり、ＭＰ＝ＨＱ
（２）頂点Ａが直径ＢＣの円周上にある時
∠ＢＡＣは弦ＢＣの張る円周角なので９０°
それ故、△ＡＢＣと△ＨＢＡは２角が等しいため相似。
ですから、∠ＢＡＨ＝∠ＢＣＡ
ところが、点Ｍは円周の中心にあたるので
△ＡＭＣはＭＡ＝ＭＣの２等辺三角形。
ですから、∠ＣＡＭ＝∠ＢＣＡ
よって、∠ＢＡＨ＝∠ＣＡＭ
また上の図の∠ＥＡＧは明らかに９０°で、
△ＡＢＣと△ＡＥＧは合同。
これらのことより、上の図で３対ある同色の三角形同士は合同。
よって、ＭＰ＝ＨＱ
◆出題者のコメント。
正解です。答えは直角三角形と二等辺三角形です。
案外二等辺三角形のほうを見落としがちです。
ちなみに私は△ＨＰＱと△ＰＨＭが合同の場合と合同にならない場合
（つまりＭＰとＨＱが重なる場合）に分けました。
一般にＡＰ⊥ＥＧ、ＥＱ＝ＱＧが成立します。