◆広島県 清川 育男さんからの解答。
この問題は、行列式の定義のときに使われる偶順列、奇順列と関係があるように思います。
３０年も前に習ったことなので、正確には覚えていませんが。
１４，１５型。１５，１４型。
偶順列のとき１４，１５型、奇順列のとき１５，１４型となるのではないでしょうか。
スワップ（置換）の回数が奇数のとき、奇順列。
偶数のとき、偶順列という。
例題は奇順列。
したがって１５，１４型。
この場合正しい位置になるためのそれぞれの数の手数の和を２Ｎ（置換するということはペアでするから。）としたとき、Ｎが奇数のとき、奇順列、偶数のとき、偶順列とすれば、前者の とき８，７型、後者のとき、７，８型となると思います。
問題１は偶順列。
したがって完成できる。
問題２は奇順列。
したがって８，７型。
【コメント】
線形代数で昔、習いましたね。
とても懐かしいです。
一目で見破るとはさすがですね。
実際の手順が分からなくとも、判定できるところがすごいですね。
◆広島県 清川 育男さんからの解答（補足）。
行列式を定義するときに使う、偶順列、奇順列という考えを使う。
問題１、問題２を例に、偶順列、奇順列を説明する。
となりあった２つの数を置き換えることを置換するという。
偶数回の置換で元の並びになるときを偶順列、奇数回の置換で元の並びになるときを奇順列と言う。
ここで言う正しい並びは、１，２，３，４，５，６，７，８。
問題１の並びは、
２，４，５，７，１，８，３，６
１）２，４，５，１、７，８，３，６
２）２，４，１，５，７，８，３，６
３）２，１，４，５，７，８，３，６
４）１，２，４，５，７，８，３，６
５）１，２，４，５，７，３，８，６
６）１，２，４，５，３，７，８，６
７）１，２，４，３，５，７，８，６
８）１，２，３，４，５，７，８，６
９）１，２，３，４，５，７，６，８
１０）１，２，３，４，５，６，７，８
問題２の並びは、
１，４，２，６，７，８，５，３
１）１，２，４，６，７，８，５，３
２）１，２，４，６，７，８，３，５
３）１，２，４，６，７，３，８，５
４）１，２，４，６，３，７，８，５
５）１，２，４，３，６，７，８，５
６）１，２，３，４，６，７，８，５
７）１，２，３，４，６，７，５，８
８）１，２，３，４，６，５，７，８
９）１，２，３，４，５，６，７，８
１５パズルの例題は奇順列なので１５，１４型にしか出来ない。
問題１は偶順列であるから正しい並びにすることが出来る。
問題２は奇順列であるから１５パズルの例題のように８，７型になる。