ABCDの面積=Sとする。◆三重県 久保田 尚 さんからの解答。
面倒な証明は書きませんが、ＰＤ//ＢＲを利用し、ＤＰとＣＢの延長線の交点をＥとすると、
△ＣＢＲ∽△ＣＥＤとなるので、
| ＱＥ＝５＋ | １４ ５ | ＝ | ３９ ５ |
△ＷＡＤ∽△ＷＱＥなので、
相似比＝３５：３９となり、これを利用すると、△ＷＡＤの面積は
| ７４０× | １ ２ | × | ３５ ７４ | ＝１７５ |
△ＹＣＢは合同だし、△ＺＣＤと△ＸＡＢも同様に考えると全部１７５になる。
よって
７４０−１７５×４
＝７４０−７００
＝４０
答え ４０
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
ABCDの面積=Sとする。
（１）
AQをSCに重ね合わせるようにしてずらして考えると
△ABQ+△SCD
=もとの平行四辺形の面積の5/7
(※高さが共通)
△ABQ+△SCD=5/7・S
（２）
PDをBRに重ね合わせるようにしてずらして考えると
△APD+△BCR
=もとの平行四辺形の面積の5/7
(※高さが共通)
△APD+△BCR=5/7・S
（３）
△APW∽△ABXで面積比は
52:72=25:49
△APW=25Uとすると、
PBXWの面積=24U とできる。
（４）
同様に△CRY∽△CDZで面積比は
52:72=25:49
△CRY=25U、
RDZYの面積=24U
(上記3.と同じ面積)
（５）
△DSZ∽DAWで面積比は
52:72=25:49
△DSZ=25Tとすると、
AWZSの面積=24T
（６）
同様に△BQX∽BCYで面積比は
52:72=25:49
△BQX=25T、
QCYXの面積=24T
(上記5.と同じ面積)
（７）
求める面積をKとすると上記3.〜6.をそのまま使用して
S=△APW+よって S=98(U+T)+K・・・(1)
（８）
また、
△ABQ+△SCD =△APW+なので上記1.より
2(49U+25T)=5/7・S・・・(2)
（９）
同様に、
△APD+△BCR =△DSZ+なので上記2.より
2(49T+25U)=5/7・S・・・(3)
（10）
上記(2)、(3)よりU=T で
T={5/(14・74)}・S
上記(1)にこれらの結果を代入して
K=S-196T
=S-196・{5/(14・74)}・S
=4/74・S
=4/74・740
=40
よって求める面積は40となります。
(感想)
相似とずらすことがわかれば補助線が１本もなくても求められますね。
これなら中学生でも可能でしょう。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
CSとBAの交点をNとします。
△NAS∽△NBC
NY/YC
＝NB/RC
＝(NB/NA)*(NA/DC)*(DC/RC)
＝7/2*2/5*7/5
＝49/25 →YC/NC=25/74
NZ/ZC
=NP/DC
=NA/DC+AP/DC
=2/5+5/7
=39/35 → ZC/NC=35/74
WXYZ/AQCS
=ZY/SC
=(ZY/NC)*(NC/SC)
=((ZC-YC)/NC)*(NC/SC)
=(35-25)/74*7/5
=7/37
AQCS/ABCD＝2/7
WXYZ
=(WXYZ/AQCS)*(AQCS/ABCD)*ABCD
=7/37*2/7*740
=40
◆東京都の中学校３年生 もやし さんからの解答。
四角形ＷＸＹＺが平行四辺形であることや、図の中に平行四辺形や合同な三角形の組がたくさんあるのは周知のこととしておきます。
平行四辺形ＡＢＣＤ：平行四辺形ＢＲＤＰ＝ＡＢ：ＰＢ＝７：２
よって、
平行四辺形ＢＲＤＰ＝平行四辺形ＡＢＣＤ×(２/７) …(1)
ＰＷ：ＢＸ＝ＡＢ：ＡＰ＝５：７ …(2)
ＢＸ：ＸＹ＝ＢＱ：ＱＣ＝５：２ …(3)
(2)(3)を連比して、
ＰＷ：ＢＸ：ＸＹ＝２５：３５：１４ …(4)
ＢＸ＝ＤＺ と(4)より、
平行四辺形ＷＸＹＺ：平行四辺形ＢＲＤＰ
＝ＷＺ：ＰＤ
＝１４：(２５＋１４＋３５)
＝１４：７４
＝７：３７
よって、平行四辺形ＷＸＹＺ＝平行四辺形ＢＲＤＰ×(７/３７) …(5)
(1)を(5)に代入して、
平行四辺形ＷＸＹＺ
＝平行四辺形ＡＢＣＤ×(２/３７)
＝７４０×２/３７
＝４０
∴ ４０
寄せられた解答の中にこの小学生チックな解き方がないのにビックリしました。