◆北海道 キューダ さんからの解答。
【問題１】
いえない。
【問題２】
いえない。
いずれの場合も数列{0,1,0,1,0,1,...}が当てはまらない例としてあげられる。
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
【問題１】
結論から言うと題意はいえません。
反例として
1 2 4 5 7 8 10 12 … のようなものがあります。
【問題２】
結論から言うと題意はいえません。
反例として
4 0 0 0 0 0 0 0 …
のようなものがあります。
仮に『すべてのapは0でない』としても
反例として
1 2 1 2 1 2 … のようなものがあります。
◆沖縄県 jpgr さんからの解答。
【問題１】
結論：言えない。
証明：与式から、
ap＋1−ap＝ap+3−ap+2。
bp＝ap＋1−apと置くと、
bp＝bp+2。
このような数列として、例えば bp：1、-1、1、-1、1、-1、...が取れる。
これを満たすapとして、
ap：0、1、0、1、0、1、...が取れるが、これは等差数列ではない。
【問題２】
結論：言えない。
証明：与式から、
| ap＋1 ap |
＝ | ap+3 ap+2 |
| bp＝ | ap＋1 ap | と置くと、 |
このような数列として、例えば bp：1、2、1、2、1、2、...が取れる。
これを満たすapとして、
ap：1、1、2、2、4、4、8、8、...が取れるが、これは等比数列ではない。
【コメント】
この問題を「ぱっと見」した時に「等差(等比)数列だったら与式が成り立つ」と読み違えて、「あたりまえやん！」と
思ってしまいました。
学生時代にテストに出なくてよかったです(笑)。
◆高知県 blue さんからの解答。
【問題１】
言えない
∵{an}として1と0よりなる数列、
{an}:1,0,1,0,1,0,1,0,......を考える。
このとき、任意の連続する４項は1,0,1,0か0,1,0,1である。
これは与式を満たすが等差数列ではない。
【問題２】
言えない
∵問題１と同様の数列を考えると示される。