『正方形内部の三角形』解答

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

xy座標上に
点A（
2		,0), B(0,
2		), C(-
2		,0), D(0,-
2		)をとる。

点P,Q,Rの点Aから□ABCDの周上の右回りの道のりの長さを
それぞれs1＜s2＜s3とする。

P(x(s1),y(s1)) Q(x(s2),y(s2)) R(x(s3),y(s3))とすると、重心Gは
G(xG,yG)=( x(s1) + x(s2) + x(s3)
3		, y(s1) + y(s2) + y(s3)
3		)

ここで

x(s) = 1
*(1-s)　：0≦s≦2
x(s) = 1
*(s-3)　：2≦s≦4

y(s) = 1
*s　：0≦s≦1
y(s) = 1
*(2-s)　：1≦s≦3
y(s) = 1
*(s-4)　：3≦s≦4

0≦s≦4の区間の外でも同じ振る舞いを周期的に繰りかえすとする。
x(s+4)=x(s)。y(s)=x(-s+1)。

0≦s1≦s2≦1≦s3≦2　の場合　　同じ辺に2頂点が、その隣の辺に1頂点がある。
S= (s2-s1)(s3-1)
2
よって s3= 2S
s2-s1		+ 1


これからs3を消去できて、
3xG = 1
*{2 - （s1 + s2） - 2S
s2-s1		}

3yG = 1
*{1 + (s1 + s2) - 2S
s2-s1		}

ここで 0≦ s1 ≦ 1-2S, s1+2S ≦ s2 ≦1

0≦s1≦s2≦1, 2≦s3≦3　の場合　　同じ辺に2頂点が、その対辺に1頂点がある。
S= s2-s1
2

よって s2 = 2S + s1
これからs2を消去して
3xG =- 1
*{1+ (2S - s3 + 2s1)}

3yG = 1
*{2+ (2S - s3 + 2s1)}

ここで　0≦ s1 ≦ 1-2S, 2≦s3≦3

ｘGとyGの関係式も容易に導くことができて
yG = -xG +
6

xGの変域は　-
6		 *(1-2S) ≦ xG ≦
6		 *(1-S)

0≦s1≦1≦s2≦2≦s3≦3 の場合　異なる3辺にそれぞれ１頂点がある。

S = 台形PBCR - △PBQ - △QCR
= (1-s1)+(s3-2)
2		 -(1-s1)(s2-1)
2		 -(2-s2)(s3-2)
2

2S = 4 - 2s1 - s3 - 3s2 + s1s2 + s2s3

よって

s2= - 4 + 2S + 2s1 + s3
-3 + s1 + s3
　= 1 + - 1 + 2S + s1
-3 + s1 + s3

これからs2を消去して
3xG = 1
 *( -1 - s1 - s2 + s3 )
　= 1
 *{ -2 + (s3 - s1) -- 1 + 2S + s1
-3 + s1 + s3 		}---(1)


3yG = 1
 *( s1 + 4 - s2 -s3)
　= 1
 *{ 3 - (s3 - s1) -- 1 + 2S + s1
-3 + s1 + s3 		}

ここで 1 - 2S ≦ s1≦1 　かつ　2（1+S) ≦ s3 ≦3
または 0 ≦ s1≦1 - 2S 　かつ　2 ≦　s3 ≦ 2(1+S)

題意の領域は、以上の点Gの領域にD4とよばれる二面体群の変換

　なにもしない
　原点を中心に９０度回転
　原点を中心に１８０度回転
　原点を中心に２７０度回転
　x軸に関して折り返す
　y軸に関して折り返す
　直線y=xに関して折り返す
　直線y=-xに関して折り返す

を施して得られる領域の和集合が求める

【コメント】

コンピュータでの作図に不慣れなため図示できません。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【モンテカルロ】

まず、どんな風になるのか　モンテカルロ法でシミュレ−ションした。
下記に結果を示す。

Ｓが小さいと角の丸い大きな正方形内部である。（黒）
Ｓが大きくなるに従い、角の丸みがとれ正方形に近づく（黒→暗青程度）
途中で中央に丸い穴があき（茶）、最後に辺長が１／３の正方形の辺上のみとなる。（青線）

【解答】

（１）Ｓ≦ ３
８		：　角が双曲線の正方形　詳細は図１（青）参照。
（２） １
２		 ＞Ｓ＞ ３
８		：（１）の内部でかつ中央双曲線（紫）で囲まれた丸いまった正方形の内部を除く部分。詳細は図１参照。
（３） １
２		 ＝Ｓ：一辺 １
３		 の正方形の辺上　｛（２）の極限ではあるが　特出しした｝
　
　　　図１　重心存在範囲　　（曲線の式は　重心Ｇ(x,y) が　x,y＜1/2の場合のみであり　他は対称である）　

【証明】

３角形の頂点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) とするとき　Ｓは下式である。
　　

この式は　Ｘ=(x1,x2,x3) Y=(y1,y2,y3) U=(1,1,1) とするとき　　Ｘ，Ｙ，Ｕを辺とする平行６面体の体積の半分がＳであることを示している。
いま　G(x,y)　を問題の対称性から　0≦y≦x≦0.5で　そこを重心とする最大のＳはいくらかを考える。
Gを固定したときのＳの最大値は　Ｘ，Ｙがそれぞれ取りうる値の領域である３角形または６角形（図中黄色）のおのおのにおいて、その領域の角に来るときである。
その組合せの中で最大Ｓを与えるのはＸ，Ｙが同じ面(x2=0) にある場合であることがわかる。
つまりＸ，ＹはＧのｘ、ｙが小さな値から大きな値へ変化するとき、下図２の経路位置（Ｘ：赤　Ｙ：青）において　最大値が得られる。



　　　図２　最大Ｓを与えるＸ，Ｙの軌跡

具体的にＳを計算すると、

ｘ≦ １
３		 では


y≦ １
３		＜x　では


１
３		＜ｙ　では


である。
以上より解答が導出される。

◆出題者のコメント。

Y.M.Ojisanさんの解答に対するコメントです。

Y.M.Ojisanさんの解答で正解です。
平行６面体の体積を考えるというのは気がつかなかったので、新鮮に思えました。
当初S=7/16の時の、重心Gが存在する範囲を図示し、その面積を求めよとしようかなと思っていたのですが、中学生にも解いて欲しかったので、問題のようにしました。
結構考えにくい問題だと思います。

発展問題として、正方形を立方体に代えて、重心の存在範囲の体積を求めるなどが考えられます。

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