◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
与えられた４点Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓを線分で結び４角形をつくる。
４角形ＰＱＲＳの各辺の中点を求め、中点を中心とし辺の長さの直径で四角形の外側に半円を描く。
辺ＰＱを直径とする半円上の頂点をＡ、辺ＱＲを直径とする半円上の頂点をＢ、辺ＲＳを直径とする半円上の頂点をＣ、辺ＳＰを直径とする半円上の頂点をＤとする。
題意からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを適当に選べば
線分ＡＱＢ＝ＢＲＣ＝ＣＳＤ＝ＤＰＡになる。
点Ａを任意にとり線分ＡＱＢと線分ＡＰＤを引き、長さを比べる。
両線分の長さが同じになるように点Ａの位置を調整する。
求める点Ａ、Ｂ，Ｃ，Ｄが得られる。
補足：この方法では誤差を０にするには無限回の作図が必要です。
◆三重県 いわし さんからの解答。
まず4点の凸包が四角形であることが必要です。
4点を反時計回りにA,B,C,Dとします。
(1) 四角形AEBDが平行四辺形となる点Eを作図
(2) AE=AF, ∠EAF=90°となる点Fを作図
（A,E,Fが反時計回りに並ぶように）
します。
FとCが異なるとき、直線CFをkとおいて
「A,B,Dのkへの射影をA',B',D'とすると、A',Cが線分B'D'に含まれ、A,B,C,Dのkに垂直な直線への射影をA",B",C",D"とすると、 B",D"が線分A"C"に含まれる」...(*)
ことが必要で、
(3) Aを通りkに平行な直線、B,Dを通りkに垂直な直線を作図
すれば、求める正方形が構成できます。
FがCに一致する（すなわちAC⊥BD, AC=BD）ときは、Cを通る直線kを(*)を満たすように任意に引いて、(3)の 操作を行えばOKです。
それから、「作図」とは、有限回の操作で終了するもののことを言います。
無限回の操作を許せば、任意の角の三等分さえ可能になってしまいます。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
４点をA,B,C,Dとします。
４点の状態は、つぎの４ケースに分類できます。
（１）４点が一直線上に存在。
（２）適当な３点が一直線上に存在し残りはその直線上にない。
（３）如何なる３点も一直線上になく、どんな順に結んでも凹四角形である。
（４）如何なる３点も一直線上になく、適当な順に結ぶと凸四角形である。
（１）の場合は最も離れた２点を一辺とする正方形が描けます。
（２）の場合は一直線上の３点の最もはなれた２点を一辺とする正方形（上下２個）の外部に第4の点があれば正方形を描くことができます。
（３）の場合は作図不可能です。
以下（４）の場合を検討し４点は右回りABCDの順で凸四角形とします。
正方形上に４点が存在する場合その点の状態の可能性は次の３ケースがあります。
（22） ２点ずつそれぞれー辺上にある。
（211） ２点がー辺上にある。
（1111）各辺上に少なくとも１点ある。
(22)の場合の作図方と判定
この場合 AB//CD または BC//DAでなければなりません。
この平行線をｋとします。
ｋ方向の辺をもつABCDを包絡する最小の長方形を書きます。
長い方の辺で頂点を除く辺上に点が存在しないものがあれば、その辺を平行移動して正方形を作図することができます。
(211)の場合の作図方と判定
AB 、BC、CD、DAの４ケースを順じ試行します。
選んだ２点をP,Q 残りをR,Sとします。
PQの方向をｋとします。
PQを一辺とする正方形（R,Sのある側）の内部（辺上除く）にRかSがあれば正方形を作図することは出来ません。
ｋ方向の辺をもつABCDを包絡する最小の長方形を書きます。
長い方の辺で頂点を除く辺上に点が存在しないものがあれば、その辺を平行移動して正方形を作図することができます。
(1111)の場合の作図方と判定
この場合は いわしさん の方法で正方形を描きます。
考え方を若干解説します。
適当なｋ方向を考えたとき、ACのｋ方向の距離とBDの⊥ｋ方向の距離が同じであれば正方形になる可能性があるわけです。
したがって、BD↓を９０度左にまわしてBをAに重ねてできるDに対応の点をFとしたとき、ACのｋ方向の距離とAFのｋ方向の距離が等しければよく、ｋはAF↓に直交すれば良いわけです。
あるいはAF↓をｋ方向としても良いわけです。
以上を適用することにより、作図可能なものは作図することができます。
実際に計算すると、試した範囲では次の事実がありました。
（あ）は殆ど自明ですが（い）は不思議です。
（あ） （１）（２）（２２）の場合も（２１１）の手法で同じ正方形を作図可能。
（い） （２１１）で作図可能であるが（１１１１）で作図不能の４点はあるが、（１１１１）の方法で作図可能な４点は（２１１）の方法で別の正方形を作図可能。
つまり、（２１１）の方法だけで十分となります。
これは本当でしょうか？ 問題としてまとめると。
【問題】
正方形の各辺上に１点、全部で４点を配置します。
この時、何れか２点が一辺上にあり、他の２点も辺上にある正方形を作図可能である。
（１）これは真でしょうか。
（２）1辺上の２点を選ぶ簡単で効率的な方法はなにかありますか。
◆東京都の中学校３年生 もやし さんからの解答。
図のように、４つの点を左回りにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとします。
(1)線分ＡＢ，ＣＤの垂直二等分線をかき、線分ＡＢ，ＣＤの中点Ｍ，Ｎをとります。
(2)線分ＡＢ，ＣＤを直径とする円をかき、円Ｍと線分ＡＢの垂直二等分線との交点の内、線分ＣＤに近い方をＭ´、円Ｎと線分ＣＤの垂直二等分線との交点の内、線分ＡＢに近い方をＮ´とします。
(3)直線Ｍ´Ｎ´をひき、直線Ｍ´Ｎ´と円Ｍとの交点の内、Ｍ´でない方をＰ，直線Ｍ´Ｎ´と円Ｎとの交点の内、Ｎ´でない方をＲとします。
(4)半直線ＰＢ，ＲＣをそれぞれひき、その交点をＱ、半直線ＰＡ，ＲＤをそれぞれひき、その交点をＳとすると、四角形ＰＱＲＳが求める正方形となります。
証明
ＡＢ，ＣＤが円Ｍ，Ｎの直径であることから、
∠ＡＰＢ＝∠ＣＲＤ＝９０°
また、弧ＡＭ´＝弧ＢＭ´、弧ＣＮ´＝弧ＤＮ´であることから、
| ∠ＡＰＭ´＝∠ＢＰＭ´＝∠ＣＲＮ´＝∠ＤＲＮ´＝９０°× | １ ２ |
＝４５° |