『正方形の中の正方形 Part2』解答

◆京都府　大空風成 さんからの解答。

A n を一辺の長さが 1
n		 の正方形とすると、
次の表のように入れていけば、すべて（無限に）入れることができる。
A2 A3
A4 A5 A6 A7
A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15
A16 A17 … … … … 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　


表は、一辺の長さが１の正方形を４等分すると、一辺が 1
2		 の正方形のマスになるので、
上の段の２マスにA2、A3を入れる。
次に、残りを８等分すると、一辺が 1
4		 の正方形のマスになるので、
上の段の４マスにA4〜A7を入れる。
次に、残りを１６等分すると、一辺が 1
8		 の正方形のマスになるので、
上の段の８マスにA8〜A15を入れる。
次に、残りを３２等分すると、一辺が 1
16		 の正方形のマスになるので、
上の段の１６マスにA16〜A31を入れる。
・・・・・・・・・
これを続けると、すべて（無限の）正方形を入れることができる。


これを面積で考えると、
( 1
2		 ) 2 + ( 1
3		 ) 2 + ( 1
4		 ) 2 + ( 1
5		 ) 2 + ( 1
6		 ) 2 + ( 1
7		 ) 2 + ( 1
8		 ) 2 + ( 1
9		 ) 2 +・・・
＜ ( 1
2		 ) 2 + ( 1
2		 ) 2 + ( 1
4		 ) 2 + ( 1
4		 ) 2 + ( 1
4		 ) 2 + ( 1
4		 ) 2 + ( 1
8		 ) 2 + ( 1
8		 ) 2 +・・・
= ( 1
2		 ) 2 ×2+ ( 1
4		 ) 2 ×4+ ( 1
8		 ) 2 ×8+・・・
= 1
2		 + 1
4		 + 1
8		 +・・・
＜ 1/2
1-1/2		 =1
よって、すべて（無限の）正方形を入れることができる。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【解答】　∞

(一辺 ５
６		の正方形でも余裕ですね。)

上図は下図の２倍スケール。

◆東京都　fer-mat さんからの解答。

ζ(2)-1= π2
6		-1=0.64486426811266666666666666666667＜1

故に無限個入る。

【感想】

ζ（2）の値の評価の問題を言い換えただけだと思います。

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