『平方根の作図』解答

◆静岡県　ヨッシー　さんからの解答。

作図

５番目の図で、ＢＤは円の接線になっています。
このとき、方べきの定理より、

　ＢＤ2＝ＢＡ'・ＢＣとなるので、

ＢＤ＝ 　になっています。

◆鹿児島県　ともひろ　さんからの解答。

  1. 図より、点Ｂ，Ｃを通る直線ＢＣを引く。

  2. 点Ｂより点Ａをコンパスで線分ＡＢ（長さａ）を取る。

  3. 点Ｂよりその直線ＢＣ上に、
    長さａの線分A'Ｂ、A''Ｂとする、
    点A' 点A''を取る。

  4. ここで、線分A'Ｃの長さは
    　「A'Ｂ＋ＢＣ」より「ａ＋ｂ」、
    また線分A''Ｃの長さは
    　「ＢＣ−A''Ｂ」より「ｂ−ａ」

  5. A'Ｃを直径とする円Ｏ1を作成する。

  6. A''Ｃを半径とする円Ｏ2を作成する。

  7. 円Ｏ1と、円Ｏ2の交わる点をＰとする。

  8. ここで、△A'ＣＰは、直角三角形となり、
    また線分ＣＰの長さは「ｂ−ａ」である。

  9. よって三平方の定理より、
    (A'Ｃ)2 ＝ (ＣＰ)2 ＋ (A'Ｐ)2 となる。

  10. ここでA'Ｐを求める。

    (A'Ｐ)2 ＝ (A'Ｃ)2 − (ＣＰ)2
    A'Ｃ ＝ a + b、ＣＰ ＝ b - a を代入。

    (A'Ｐ)2 ＝ (a+b)2 − (b-a)2
    (A'Ｐ)2 ＝ (b+a)2 − (b-a)2
    (A'Ｐ)2 ＝ (b2 + 2ab + a2)-((b2 - 2ab + a2))
    (A'Ｐ)2 ＝ b2 + 2ab + a2 - b2 + 2ab - a2
    (A'Ｐ)2 ＝ 4ab

    A'Ｐ ＞ ０より、

    A'Ｐ ＝ 2 となる。

  11. ここで、線分A'Ｐの二等分線を引いて、中点をＭとすると、
    線分A'Ｍの長さは、求める となる。

  12. 問題文は、点Ｂより長さ の線分を引くことであるから、
    線分A'Ｍをコンパスでとる。

  13. ここで、点Ｂより先ほどの線分A'Ｐ（長さ ）を直線ＢＣ上に取り、これを点Ｄとすれば、
    求める線分ＢＤ（長さ ）を求めることができる。

　

◆愛知県　数楽家Ｃｒａｎｅ（西三数学サークル）　さんからの解答。

以前にどこかで　「与えられた長方形と等面積の正方形を作図せよ。」の形で見たことがあります。
本質的に同じだな、と思いました。

解答

ＡＢの延長上に、ＢＣ＝ＢＰとなる点Ｐをとる。

ＡＰの中点Ｍを中心に、半径ｒ＝ＡＭの半円を描く。

ＢからＡＰの垂線をひく。

これと半円の交点をＤとする。

ＢＤが求める線分の１つである。

◆東京都の中学校３年生　もやし　さんからの解答。

(1)ＡＢをＢの方へ延長し、ＢＣ＝ＢＤとなるような点Ｄをとる。
(2)Ｂを通りＡＤに垂直な直線をひく。
(3)線分ＡＤの中点Ｍをとる。
(4)Ｍを中心とし、ＡＭを半径とする円を描き、(2)との交点をＨとする。
(5)すると、線分ＢＨが求める長さの線分になる。

　

[証明]

ＭＡ＝ＭＨ＝ＭＤより、△ＡＤＨは∠ＡＨＤ＝９０°の直角三角形である。

また、∠ＡＢＨ＝９０°なので、
△ＡＢＨ∽△ＨＢＤが成り立つ。

よって、ＢＨ＝ｘとすると、
ＡＢ：ＨＢ＝ＢＨ：ＢＤ

ａ ： ｘ ＝ ｘ ： ｂ
ｘ2＝ａｂ

∴ ｘ ＝√(ａｂ)

[証明終]

ちなみに直角三角形の９０°の角から斜辺に下ろした垂線でできる２つの相似な三角形の組は３組あるので、似たようなやり方があと２つあることになります。

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