『正三角形の面積』解答

◆宮城県　アンパンマン さんからの解答。

Cをセンターにして、ΔPBCを -

π ― 3

回転させる。

するとBがAのところにきて、PはQのところに来る。

ΔPQCが正三角形であるため、PQ＝10。

ところで
10²=PQ²=PA²+AQ²=6²+8²であるため

∠PAQ＝

π 2

。

θ＝∠APQ＝arccos(

3 ― 5

)

　cos(∠APC)

＝cos(θ+

π 3

)

＝

3 ― 5

*

1 ― 2

−

4 ― 5

*

2

＝

3-4 10

　ΔABCの面積

＝

4

AC2

＝

4

(62+102-2*6*10*

3-4 10

)

＝25+36

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

面積＝

4

{(6+4)2+42}

＝36+25

◆東京都　ぱずきち さんからの解答。

点A,B,Cを中心に点Pを時計回りに60度回転させてできた点をそれぞれD,E,Fとする。
こうしてできる6角形ADBECFの面積は3角形ABCの2倍である。

この6角形ADBECFは1辺の長さがそれぞれ6,8,10の正三角形各1つと3辺の長さが6,8,10の直角三角形3つに分解できる。

したがって3角形ABCの面積は

{

4

*(62+82+102) + 6*8/2*3}/2

＝36 + 25

である。

すべて反時計回りに回転させても同様。

◆静岡県　村松　芳子 さんからの解答。

ＡＢ、ＢＣ、ＣＡに関して、Ｐの対称点をとり、それぞれＤ、Ｅ、Ｆとする。

△ＡＤＦ＋△ＢＤＥ＋△ＣＥＦ
＝△ＡＢＣ
＝六角形ＡＤＢＥＣＦの面積の１／２

∠ＤＡＦ＝∠ＤＢＦ＝∠ＡＦＣ＝１２０°となり、
△ＡＤＦ、△ＢＤＥ、△ＣＥＦは両底角３０°の二等辺三角形である。

ＤＦ＝６
ＤＥ＝８
ＥＦ＝１０　が求まるので

△ＡＤＦ＝９
△ＤＢＦ＝１６
△ＦＡＣ＝２５　となる。

△ＡＤＦの面積はヘロンの公式を使って求めると、
△ＤＥＦ＝７２となる。

よって
　△ＡＢＣ
＝（９＋１６＋２５＋７２）／２
＝２５＋３６　

（終わり）

◆岡山県の中学校３年生　パッション難波 さんからの解答。

他の問題へ応用できる方法です。
座標軸を投入します。

Ａ(a，a)， Ｂ(０，０），Ｃ(２a，０），Ｐ(x，y）とします。

三平方の定理より

x²＋y²＝６４
(２a−x)²＋y²＝１００
(a−x)²＋（a−y)²＝３６

この三元連立方程式を解いて

a²＝２５−１２

三角形の１辺は２aだから
面積は２５＋３６　

計算などはかなり省略しました。

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