『正三角形の面積』解答


◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。

Cをセンターにして、ΔPBCを -π

3
回転させる。

するとBがAのところにきて、PはQのところに来る。

ΔPQCが正三角形であるため、PQ=10。

ところで
102=PQ2=PA2+AQ2=62+82であるため
∠PAQ=π
2

θ=∠APQ=arccos(3

5
)

 cos(∠APC)
=cos(θ+π
3
)
3

5
* 1

2
4

5
*
2
3-4
10

 ΔABCの面積

4
AC2

4
(62+102-2*6*10*3-4
10
)
=25+36


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。

面積=
4
{(6+4)2+42} =36+25


◆東京都 ぱずきち さんからの解答。

点A,B,Cを中心に点Pを時計回りに60度回転させてできた点をそれぞれD,E,Fとする。
こうしてできる6角形ADBECFの面積は3角形ABCの2倍である。

この6角形ADBECFは1辺の長さがそれぞれ6,8,10の正三角形各1つと3辺の長さが6,8,10の直角三角形3つに分解できる。

したがって3角形ABCの面積は

{
4
*(62+82+102) + 6*8/2*3}/2
=36 + 25

である。

すべて反時計回りに回転させても同様。


◆静岡県 村松 芳子 さんからの解答。

AB、BC、CAに関して、Pの対称点をとり、それぞれD、E、Fとする。

△ADF+△BDE+△CEF
=△ABC
=六角形ADBECFの面積の1/2

∠DAF=∠DBF=∠AFC=120°となり、
△ADF、△BDE、△CEFは両底角30°の二等辺三角形である。

DF=6
DE=8
EF=10 が求まるので

△ADF=9
△DBF=16
△FAC=25 となる。

△ADFの面積はヘロンの公式を使って求めると、
△DEF=72となる。

よって
 △ABC
=(9+16+25+72)/2
=25+36 

(終わり)


◆岡山県の中学校3年生 パッション難波 さんからの解答。

他の問題へ応用できる方法です。
座標軸を投入します。

A(a,a), B(0,0),C(2a,0),P(x,y)とします。

三平方の定理より

x2+y2=64
(2a−x)2+y2=100
(a−x)2+(a−y)2=36

この三元連立方程式を解いて

a2=25−12

三角形の1辺は2aだから
面積は25+36 

計算などはかなり省略しました。


 『正三角形の面積』へ

 数学の部屋へもどる