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)/2]16-[(1-)/2]16}=987a=q◆宮城県 アンパンマン さんからの解答。
【問題１】
| f(1)= |
a ―― b | , f(2)= |
c ―― d | ; a,b,c,d∈I |
F(i)=bd.f(i) と定義します。
F(n+2)=|F(n+1)-F(n)|∈I
ｆ(ｋ)＝０を満たす自然数ｋが存在しないと仮定すると
0≦F(n+2)=|F(n+1)-F(n)|≦min{F(n+1),F(n)}-1
つまり min{F(n+1),F(n)}回以内で｜F(n+1)-F(n)|が０になる。
矛盾。
つまりｆ(ｋ)＝０を満たす自然数ｋがかならず存在する。
【問題２】
f(18)=0, f(17)=a とおくと、
ひとつのf(2),f(1)としては
| f(2)= |
a ―― |
{[(1+)/2]16-[(1-)/2]16}=987a=q |
| f(1)= |
a ―― |
{[(1+)/2]17-[(1-)/2]17}=1597a=p |
200＜987a＜1597a＜2000を満たすようなaは
a=1しかありません。
( (987,1597)=1からです。)
よって、ひとつの組はp=1597,q=987です。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題２】
絶対値記号のあるところに面白い性質が現れるようなきがします。
９１６２通りありました。 P Q
1 228 204 24
2 231 203 28
3 231 209 22
4 236 204 32
5 237 201 36
6 238 202 36
7 245 203 42
8 245 217 28
9 246 210 36
10 247 221 26
......................
......................
6748 1597 987 610 ＊
6749 1598 238 1360
6750 1598 306 1292
6751 1598 374 1224
6752 1598 510 1088
6753 1598 578 1020
6754 1598 714 884
6755 1598 850 748
6756 1598 918 680
6757 1599 205 1394
6758 1599 273 1326
6759 1599 351 1248
6760 1599 507 1092
6761 1599 741 858
6762 1599 923 676
.......................
.......................
9155 1998 846 1152
9156 1998 918 1080
9157 1998 1122 876
9158 1998 1170 828
9159 1998 1218 780
9160 1998 1278 720
9161 1998 1530 468
9162 1998 1674 324
◆北海道 札幌のカッコ さんからの解答。
【問題１】
ユークリッド互除法で、「剰余が０で終結する」事を前提として認めるものとする。
与数列で ｎ＝１の時、ｆ（３）＝ｆ（１）−ｆ（２）
但しｆ（１）＞ｆ（２）とする。
両辺にｂ・ｄを乗じたものを、改めて
Ｒ＝Ａ−Ｂ・Ｑ とおく。
Ｑ＝１とすれば、最も収束の遅い互除法（フィボナッチ数列）となる。
Ｒ（０）＝Ａ−Ｂ と書く。
互除法の次は
Ｒ（１）＝Ｂ−Ｒ（０）、
さらに次は
Ｒ（２）＝Ｒ（０）−Ｒ（１） ・・・・・
最後に
Ｒ（ｋ＋２）＝Ｒ（ｋ）−Ｒ（ｋ＋１）。
互除法の終結として
＝０＝ｂｄ・ｆ（ｋ） である。
ｂ・ｄ≠ ０ であるから ｆ（ｋ）＝０
が成り立つ。
【問題２】
前問の数列 ｆ（３）＝ｆ（１）−ｆ（２）を
ｒ＝ｐ−ｑ と書く。
勿論 ｒ＞０、 ｐ＞ｑ である。
ｑ で割って
|
ｒ ―― ｑ | ＝ |
ｐ ―― ｑ | −１を得る。 |
これを漸化式と見て
| ｘ＝ |
ｐ ―― ｑ | とおけば、 |
|
ｒ ―― ｑ | ＝ |
１ ―― ｘ | であるから、 |
| 方程式 |
１ ―― ｘ | ＝ｘ−１ 即ち |
ｘ2−ｘ−１＝０ を得る。
| その正根 |
１＋ ――――― ２ | ＝Ｇ と置く。 |
題意により
ｆ（１８）＝０、 ｆ（１７）＝ａ である。
この時
２００＜ｑ＝ｆ（２）＝ａ・Ｇy-1＜ｐ＝ｆ（１）＝ａ・Ｇy＜２０００となる。
これを満足する数値は
ｙ＝１４、 Ｇy＝８４３ より
ａ＝１で ｐ＝８４３、ｑ＝ ５２１
またはａ＝２でｐ＝１６８６、ｑ＝１０４２、
など、複数組の解が可能である。
（検算）
(第１組)
843 521 322 199 123 76 47
29 18 11 7 4 3 1 2 1 1 0
(第２組)
1686 1042 644 398 246 152 94
58 36 22 14 8 6 2 4 2 2 0
さらに多くの解も可能である。
「問２」の広島県の清川様の解答をチェックしてみました。
発表分については間違いを発見出来ませんでした。
プログラムによる「絨緞爆撃」的威力に唖然としました。
しかし面白い！