『三角形の面積 Part2』解答

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

【問題２】

弧ＢＣは固定されているので円周角∠ＢＡＣ＝φ（一定）、

仮定から∠ＡＥＣ＝α＋β＝θ（一定）、
よって∠ＡＣＥ＝π-θ-φ（一定）

正弦定理から

ＡＤ＝

sin(π-θ-φ) sinα

ＡＣ、

ＢＣ＝

sinφ sinα

ＡＣ

よって

ＡＤ ＢＣ

＝

sin(π-θ-φ) sinφ

＝

sin(θ+φ) sinφ

（一定）

△ＥＤＡと△ＥＢＣの相似比がわかったので

△ＥＤＡ △ＥＢＣ

＝{

sin(θ+φ) sinφ

}

2

（一定）

◆宮城県　甘泉法師 さんからの解答。

【問題１】

ｘｙ座標軸をとって　A(0,0) B(0,1) C(r cosθ, r sinθ)とする。

辺BCをk:1-k に内分する点をQとすると、
Q(1-k+krcosθ, krsinθ) ,

辺CAをk:1-k に内分する点をRとすると、
R(r(1-k)cosθ, r(1-k)sinθ),

辺ABをk:1-k に内分する点をSとすると、S(k,0).

直線AQの式　y =

krsinθ 1-k+krcosθ

* x

直線BRの式　y =

r(1-k)sinθ r(1-k)cosθ - 1

* x-

r(1-k)sinθ r(1-k)cosθ - 1

直線CSの式　y =

rsinθ rcosθ - k

* x-

krsinθ rcosθ - k

直線BRと直線CSの交点をUとして、

U(

(1-k)2 rcosθ + k2 1-k+k2

,

(1-k)2 rsinθ 1-k+k2

),

直線CSと直線AQの交点をVとして、

V(

k(1-k+krcosθ) 1-k+k2

,

k2 rsinθ 1-k+k2

),

直線BRと直線AQの交点をWとして、

W(

(1-k)(1-k+krcosθ) 1-k+k2

,

(1-k)krsinθ 1-k+k2

),

△UVWの面積は二辺のベクトルのベクトル積で求められる。
U(x1,y1),V(x2,y2),W(x3,y3)とあらわして

2△UVW

= | x1y2 + x2y3 + x3y1 - x2y1 - x3y2 - x1y3 |

=[ 4 -

3 (k - 1/2)2 + 3/4

]rsinθ

これから

△UVW =[ 4 -

3 (k - 1/2)2 + 3/4

]△ABC

係数[ 4 -

3 (k - 1/2)2 + 3/4

]は

最小値が０（k＝

１ ２

) で最大値が１(k＝０,１)。

問題のk＝

２ ３

，

１ ３

では、

１ ７

。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答。

【問題１】

Ｓ＝

ΔＡＢＣ ７

　メラネウスの定理を使えば解答を得るこことができますが、「どうやって」と更なる追求があるかも知れず、メラネウスの定理の証明方針を持ち込みます。

下図の赤線を補助線とし、各区画の面積を下記とします。
aと2aで表される面積比が１：２であることは明らかなので、初めからaと2a等としています。
次に S+r：p＝S+p：q＝S+r：q＝2：1　です。
これを解けば　p＝q＝s＝S　が得られます。

さらに q：3b＝Ｓ：ｐ＝1：1　であり、
他も同様で　3a＝3b＝3c＝S　が得られます。
よって全面積ΔＡＢＣ＝７Ｓ　です。



因みに、ＦＣ等は１：３：３に分割されていることがわかりますが、メラネウスの定理を用いると、こちらが先に得られます。

【問題２】

△ＡＤＥと△ＣＢＥの面積比は一定。

∵　　円周角の定理を用いて角度で分かるところを書き込むと下図です。
ＢＣ一定であるので、γも一定であり、∠ＡＣＤ＝π−θ−γは一定です。
従って、ＡＤの長さは一定です。（円周角の定理）
角度の関係から△ＡＤＥと△ＣＢＥは相似です。
ＢＣ：ＡＤが一定であるのであるで、面積比も一定になります。

◆出題者のコメント。

＞甘泉法師 さん、Y.M.Ojisan さん

解答ありがとうございました。
私の解法とも違う方法でいろいろの解法があること面白いと思いました。
また挑戦します。

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