◆海外 ブリタ さんからの解答。
【解答】
(1)、(2)、(3)、(4)の一辺の長さをそれぞれa、b、c、dとおく。
また、(1)、(2)、(3)、(4)で挟まれる４つの外側の角を、(1)と(2)で挟まれる角から逆時計回りに順に、α、β、γ、δとおく。
余弦定理を使って、
(5)＝a2+b2-2ab×cosα
(6)＝b2+c2-2bc×cosβ
(7)＝c2+d2-2cd×cosγ
(8)＝d2+a2-2da×cosδ
(9)＝a2+b2-2ab×cos(π-α)＝a2+b2+2ab×cosα
(9)＝c2+d2-2cd×cos(π-γ)＝c2+d2+2cd×cosγ
(10)＝b2+c2-2bc×cos(π-β)＝b2+c2+2bc×cosβ
(10)＝d2+a2-2da×cos(π-δ)＝d2+a2+2da×cosδ
辺々足して、
(5)+(6)+(7)+(8)+2{(9)+(10)}
＝4a2+4b2 +4c2+4d2
＝４×{(1)+(2)+(3)+(4)}
よって、題意は示された。（証明終）
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
正方形(1)、(2)、(3)、(4)の１辺の長さをそれぞれa,b,c,dとする。
正方形(1)と(2)のなす角をθ12、正方形(2)と(3)のなす角をθ23、
正方形(3)と(4)のなす角をθ34、正方形(4)と(1)のなす角をθ41 とする。
余弦定理から
(1)+(2)-(5) = 2ab cosθ12、
(2)+(3)-(6) = 2bc cosθ23、
(3)+(4)-(7) = 2ca cosθ34、
(4)+(1)-(8) = 2da cosθ41、
(1)+(2)-(9) = 2ab cos(π-θ12)、
(3)+(4)-(9) = 2cd cos(π-θ34)、
(2)+(3)-(10) = 2ab cos(π-θ23)、
(4)+(1)-(10) = 2da cos(π-θ41)
右辺どうし、左辺どうしの和をとり与式を得る。
◆出題者のコメント。
＞ブリタさん、甘泉法師さん
あっさりと解かれてしまい、やられた。という感じです。
簡単でしたか？また問題作って挑戦します！
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
（９）の線分を（１）と（２）の接点を中心に９０度左に回転します。(下図 黄色Δ)
すると黄色＋緑で示す三角形に対する中線定理により ２×（（１）＋（２））＝（５）＋（９）です。
以下同様に
２×（（２）＋（３））＝（６）＋（１０）
２×（（３）＋（４））＝（７）＋（９）
２×（（４）＋（１））＝（８）＋（１０）
であり、これらを辺々加算すれば与式が得られます。
◆出題者のコメント。
＞Y.M.Ojisanさん
スマートな解答ありがとうございます。
また新しい考え方ができました。