『おまけ』
『おまけ』の解答
◆広島県 清川 育男さんからの解答。
対角にあるものを交換しても成り立つ条件、中央の数を交換しても成り立つ条件等、まだ性質がつかめません。
魔方陣になるための必要条件をはずせば出来やすいことは確かです。
◆８つの連続した数のアンチ魔法陣が存在するか。
最小の数をＮとすると８つ数の総和Ｚは、Ｚ＝８Ｎ＋２８。
Ｚの取りうる数は、
１）Ｎ＝１０〜１７ Ｚ＝１０８
２）Ｎ＝１１〜１８ Ｚ＝１１６
３）Ｎ＝１２〜１９ Ｚ＝１２４
４）Ｎ＝１３〜２０ Ｚ＝１３２
上記の４通りしかない。詳細は省略。
Ｎ１，Ｎ２，Ｎ３，Ｎ４，Ｎ５，Ｎ６，Ｎ７，Ｎ８がそれぞれ異なり
１）Ｎ１〜Ｎ８＜１０ または Ｎ１〜Ｎ８＞１７
２）Ｎ１〜Ｎ８＜１１ または Ｎ１〜Ｎ８＞１８
３）Ｎ１〜Ｎ８＜１２ または Ｎ１〜Ｎ８＞１９
４）Ｎ１〜Ｎ８＜１３ または Ｎ１〜Ｎ８＞２０
上記の場合は不適とすれば、残ったものは８つの連続した数になるというアルゴリズムでプログラムを組みました。
範囲内の数でそれぞれが異なれば、連続した８つの数になると思います。
その結果、適合するものはありませんでした。
答え 存在しない。
数学的な証明は解りません。
◆東京都 じっさん さんからの解答。
【おまけ】
８つある３つの数の和が、「連続した整数」になるようなアンチ魔方陣は存在するでしょうか。
【解答】
まず、下図のように３×３の魔方陣の各要素をａ1〜ａ9, 各合計をＮ1〜Ｎ8 とおきます。
| Ｎ8 |
| ａ1 | ａ2 | ａ3 | Ｎ1 |
| ａ4 | ａ5 | ａ6 | Ｎ2 |
| ａ7 | ａ8 | ａ9 | Ｎ3 |
| Ｎ4 | Ｎ5 | Ｎ6 | Ｎ7 |
Ｎ1,Ｎ2,・・・Ｎ8は連続した整数です（順不同）。
ａ1〜ａ9の平均値をａavg とおきます。
ａavg は 1/9 の倍数です。
Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＝Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6＝9ａavg のため、
Ｎ1,Ｎ2,Ｎ3 の平均、Ｎ4,Ｎ5,Ｎ6 の平均はどちらも3ａavg となります。
また、Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＋Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6＝18ａavg となります。
ここで、Ｎ1〜Ｎ8のうち3ａavg より小さい数,大きい数がそれぞれ最低３個あることを示します。
3ａavg より小さい数が２個しかない場合、
Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＋Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6 は最低でも
(3ａavg-2)＋(3ａavg-1)＋(3ａavg+0)＋(3ａavg+1)＋(3ａavg+2)＝18ａavg+2
となり 18ａavg よりも大きくなってしまいます。
したがって、3ａavg よりも小さい数が最低３個必要です。
同様に、3ａavg よりも大きい数も最低３個必要です。
ここで、ａavg を絞っていきます。
ａ1〜ａ9が題意（「Ｎ1〜Ｎ8が連続した整数になる」）を満たした場合、
ａ1〜ａ9それぞれ1ずつ足した魔方陣はＮ1〜Ｎ8が3ずつ足され、やはり連続した整数になります。
従って、ａavgの範囲は 0 以上 1 未満のみ考えれば、他の魔方陣は全て生成できます。
ａ1〜ａ9 が連続した整数の場合、ａavgは整数になります。
ａavgが整数となる解が存在する場合、 ａavg＝0 でも解が存在します。
逆にａavg＝0 で解が見つからない場合は
ａ1〜ａ9 が連続した整数となる解が存在しないことになります。
ここからは、ａavg＝0 に絞って考えます。
Ｎ1〜Ｎ8 の中には 3ａavg＝0 より小さい数、大きい数とも最低3個あるため、
Ｎ1〜Ｎ8は -4〜3、または-3〜4 の８個の整数になります。
-4〜3 の解は -3〜4 の解の各要素に -1 をかけると生成できますので、ここでは -3〜4 のみ考えます。
ここで、Ｎ2＋Ｎ5＋Ｎ7＋Ｎ8 を考えます。
Ｎ2＋Ｎ5＋Ｎ7＋Ｎ8＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋ａ4＋4ａ5＋ａ6＋ａ7＋ａ8＋ａ9＝9ａavg＋3ａ5＝3ａ5
で3の倍数になります。
一方、Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＝Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6＝9ａavg＝0、
Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＋Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6＋Ｎ7＋Ｎ8＝-3-2-1+0+1+2+3+4＝4
なので、Ｎ7＋Ｎ8＝4 になります。
従って、Ｎ2＋Ｎ5は3の倍数＋2でなければなりません。
また、ａ5＝(Ｎ2＋Ｎ5＋4)÷3 になります。
(Ｎ7,Ｎ8)＝(0,4),(1,3),(3,1),(4,0)
それぞれについて、Ｎ1＋Ｎ2＋Ｎ3＝0, Ｎ4＋Ｎ5＋Ｎ6＝0 になる組み合わせを探します。
Ｎ1,Ｎ2,Ｎ3の組に 3 または 4 が入る方だけ考えます。
ａ2とａ4,ａ3とａ7,ａ6とａ8を入れ替えればもう一方が生成できます。
また、上下対称、左右対称を考えると、
Ｎ1＞Ｎ3, Ｎ4＞Ｎ6 だけ考えれば他は生成できることがわかります。
これらから、下記１２種類の魔方陣が得られます。
| (1) | 0 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3-1 | ａ3 | -1 |
| -ａ1+ａ3+4 | 3 | ａ1-ａ3-4 | 3 |
| -ａ3-3 | ａ1+ａ3 | -ａ1+1 | -2 |
| 1 | 2 | -3 | 4 |
|
| (2) | 4 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3-1 | ａ3 | -1 |
| -ａ1+ａ3 | 3 | ａ1-ａ3 | 3 |
| -ａ3+1 | ａ1+ａ3 | -ａ1-3 | -2 |
| 1 | 2 | -3 | 0 |
|
| (3) | 0 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+3 | ａ3 | 3 |
| -ａ1+ａ3+2 | 0 | ａ1-ａ3-3 | -1 |
| -ａ3 | ａ1+ａ3-6 | -ａ1+4 | -2 |
| 2 | -3 | 1 | 4 |
|
| (4) | 4 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+3 | ａ3 | 3 |
| -ａ1+ａ3-2 | 0 | ａ1-ａ3+1 | -1 |
| -ａ3+4 | ａ1+ａ3-6 | -ａ1 | -2 |
| 2 | -3 | 1 | 0 |
|
| (5) | 0 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+3 | ａ3 | 3 |
| -ａ1+ａ3+3 | 1 | ａ1-ａ3-6 | -2 |
| -ａ3-1 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1+3 | -1 |
| 2 | 1 | -3 | 4 |
|
| (6) | 4 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+3 | ａ3 | 3 |
| -ａ1+ａ3-1 | 1 | ａ1-ａ3-2 | -2 |
| -ａ3+3 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1-1 | -1 |
| 2 | 1 | -3 | 0 |
|
| (7) | 1 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3-1 | ａ3 | -1 |
| -ａ1+ａ3+3 | 2 | ａ1-ａ3-1 | 4 |
| -ａ3-1 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1+1 | -3 |
| 2 | -2 | 0 | 3 |
|
| (8) | 3 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3-1 | ａ3 | -1 |
| -ａ1+ａ3+1 | 2 | ａ1-ａ3+1 | 4 |
| -ａ3+1 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1-1 | -3 |
| 2 | -2 | 0 | 1 |
|
| (9) | 1 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+4 | ａ3 | 4 |
| -ａ1+ａ3+2 | 1 | ａ1-ａ3-4 | -1 |
| -ａ3 | ａ1+ａ3-5 | -ａ1+2 | -3 |
| 2 | 0 | -2 | 3 |
|
| (10) | 3 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+4 | ａ3 | 4 |
| -ａ1+ａ3 | 1 | ａ1-ａ3-2 | -1 |
| -ａ3+2 | ａ1+ａ3-5 | -ａ1 | -3 |
| 2 | 0 | -2 | 1 |
|
| (11) | 1 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+4 | ａ3 | 4 |
| -ａ1+ａ3 | 1 | ａ1-ａ3-4 | -3 |
| -ａ3 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1+2 | -1 |
| 0 | 2 | -2 | 3 |
|
| (12) | 3 |
| ａ1 | -ａ1-ａ3+4 | ａ3 | 4 |
| -ａ1+ａ3-2 | 1 | ａ1-ａ3-2 | -3 |
| -ａ3+2 | ａ1+ａ3-3 | -ａ1 | -1 |
| 0 | 2 | -2 | 1 |
|
この12個の中に、ａ1〜ａ9 が -4〜4 の異なる数となるものが１つでもあれば題意を満たす解になります。
また、１つも見つからなければ題意を満たす解はありません。
ここからは試行錯誤で全数調べました。
ａ5が決まっているのでａ1が8通り、
ａ3が7通り。
全12×8×7＝672通りについて調べた結果、
ａ1〜ａ9が-4〜4で全て異なる数となる解はありませんでした。
結論：
連続した９つの整数を要素とする魔方陣で、８つある３つの数の和が「連続した整数」になるようなアンチ魔方陣は存在しない。
ちなみに、要素が連続した９つの整数でない場合は、８つある３つの数の和が「連続した整数」になるようなアンチ魔方陣は見つかりました。
ａavgが整数の場合の例(1,3,4,5,6,7,8,9,11)
| 19 |
| 4 | 7 | 6 | 17 |
| 11 | 8 | 3 | 22 |
| 5 | 1 | 9 | 15 |
| 20 | 16 | 18 | 21 |
ａavgが整数でない場合の例(1,2,3,4,5,6,7,9,10)
| 13 |
| 5 | 10 | 4 | 19 |
| 7 | 3 | 2 | 12 |
| 6 | 1 | 9 | 16 |
| 18 | 14 | 15 | 17 |
以上
『今週の問題』へ
数学の部屋へもどる