◆広島県 清川 育男さんからの解答。
【問題１】
１０個の袋に、１、２、３、４、５、６、７、８、９、１０と番号を付けるとする。
１番の袋から１個、２番の袋から２個、３番の袋から３個、・・・、１０番の袋から１０個それぞれ取る。
１＋２＋３＋・・・＋１０＝５５
５５個をはかりにかける。
５４９ｇのときは、１番の袋。
５４８ｇのときは、２番の袋。
５４７ｇのときは、３番の袋。
５４６ｇのときは、４番の袋。
５４５ｇのときは、５番の袋。
５４４ｇのときは、６番の袋。
５４３ｇのときは、７番の袋。
５４２ｇのときは、８番の袋。
５４１ｇのときは、９番の袋。
５４０ｇのときは、１０番の袋。
５５個の重さをＸｇとすると、（５５０−Ｘ）番の袋と判ります。
【コメント】
これはなかなか巧妙な解答ですね。
漠然と似たようなことを考えてはいたのですが。
問題２ができた方、また解答をお願いします。
【問題２】
今度は、にせ金貨の袋が２つあるから、
その組み合わせは、９＋８＋・・・＋２＋１＝４５。
４５通りあることになる。
その４５通りに１：１対応するように数を振り当てる事を考える。
最小の個数でとの条件がないのと、袋の中の金貨の個数に制限が特にないので、簡単に重複しない対応が出来き、また重さが判ったときの判別に規則性がある方がいい。
（対応のさせ方は幾らでもある。）
例えば
１番の袋 ２0＝１
２番の袋 ２1＝２
３番の袋 ２2＝４
４番の袋 ２3＝８
５番の袋 ２4＝１６
６番の袋 ２5＝３２
７番の袋 ２6＝６４
８番の袋 ２7＝１２８
９番の袋 ２8＝２５６
１０番の袋 ２9＝５１２
２10−１＝１０２３ １０２３個をのせる。
この計量の仕方で、重複せず１：１の対応が出来る。
どの２つを足しても、その個数になるところがない。
その重量をＸｇとする。
| Ｙ＝ | １０２３０−Ｘ １０ |
（個）とする。 |
にせ金貨の袋を、ｎ１、ｎ２とする。その個数をＮ１、Ｎ２とする。
Ｙ＝２ｎ１−１＋２ｎ２−１となるｎ１、ｎ２を求めればよい。
例えば Ｘ＝８９１０ なら
Ｙ＝１３２＝４＋１２８ Ｎ１＝４。Ｎ２＝１２８。
ｎ１＝３，ｎ２＝８ となる。
【コメント】
これはさらに巧妙な解答ですね。
２進法がこんなところで登場するのですか！
他の対応方法を考えてみるのも面白そうですね。
更に清川さんから第２問の改良版が届きました。
どの袋からも取らなければならないという条件はないので、
１番の袋 ０個。
２番の袋 １個。
・・・
１０番の袋 ２５６個。
２９−１＝５１１。
この方が個数が少なくてよいかも。
考え方は同じですが、実際に作業するとなると少ない方が楽ですからね。
しかし、この２進法（Ｎ進法）を使った方法は仮に９袋でも同一に出来るので、この問題の一般解と言えるかもしれませんね。
（Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ，Ｃ）。
Ｃ＝０，１。
そのためには、やはり１番の袋は、１個の方がいいですね。
◆大阪府 大野さんからの解答。
常に前の２つの数字でできる組み合わせを、記述していけば良いのではないでしょうか？
最初は１枚から始めます。
次は２枚です。
その次は「１＋２＝３」なので３枚、
次は「２＋３＝５」で５枚というように足していくと…
１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９となります。
これでできる全ての組み合わせは特定する事ができます。
これでどうでしょうか？
【コメント】
たしかに組み合わせが特定できると思います。
この方法は、どの袋か計算するのが簡単なのがすばらしいですね。
フィボナッチ数列がまさかこんなところにでてくるとは！
数学は深いですねー。
◆北海道の中学校３年生 奏さんからの解答。
まず１０個の袋１つ１つに１〜１０までの番号をつけます。
次に１番の袋からは１個、２番の袋からは２個というように番号の数だけ金貨を取り出します。
それをまとめてはかりにかけます。
ここで仮に、計量の結果が５４５ｇとなったとします。
もしすべての金貨が本物だとすれば５５０ｇになるので５ｇの差、つまり本物より１ｇ軽いニセ金貨が５枚はいっていることがわかります。
そうすると金貨を５枚取り出した５番の袋が偽金貨の入った袋だとわかります。
【コメント】
これは完全な正解です。
表現も大変分かりやすく、すばらしいですね。
頑張って他の問題も解いてくださいね。
◆千葉県の高校生 「ｅｓ」さんからの解答。
【問題１】
まず袋に１〜１０の番号をそれぞれつける。
１番の袋からは１枚、２番の袋からは２枚...をそれぞれ取り出す。
次に重さを量る。
はかりが示した重さが９９ｇの場合は１ｇ少ないので１枚を取り出した１番の袋だとわかる。
同様にはかりが示した重さが９８ｇの場合は２ｇ少ないので２番の袋、９７ｇの場合は３ｇ少ないので３番の袋...となっていきます。
この問１の問題はマンガ「金田一少年の事件簿」で問題が似たような問題がでたのですぐに解りました。問２は考え中です。
【コメント】
「金田一少年の事件簿」にでていたとは！。新しい情報ですね。
◆福井県の中学校３年生 A.Iさんからの解答。
【問題１】
１０個の袋に１から１０までの番号をつける。
そして、１番の袋からは１枚、２番の袋からは２枚・・・と、１０番までとっていく。
１番から１０番までとった金貨を一つの袋にまとねて入れる。
全部本物だとまとめた重さは１０ｇが５５枚だから５５０ｇとなるけれど、もし、５４５ｇだと、５ｇたりないから５番の袋に入ってるのが偽の金貨となる。
◆埼玉県 磯崎 さんからの解答。
袋に１、２、３、・・・・、１０と番号をつける。
袋１からは金貨1枚、袋２からは金貨２枚、袋３からは金貨３枚、というように袋の番号と同数の金貨を抜き取る。
抜き取った金貨の合計は５５枚になり、これをはかりにかける。
この時の重さをＡｇとして
５５０−Ａ＝Ｂ
Ｂの値とニセの金貨の入った袋の番号が一致し、偽金貨がわかる
◆緑川 正雄 さんからの解答。
【問題１】
各々の袋を(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)とし、
各々から0枚、1枚、2枚、3枚、4枚、5枚、6枚、7枚、8枚、9枚の金貨を取りだして、合計の重さを量る。
N(i)=i ＜i=0,1,2,..,9＞とおく。
ニセ金貨の入った袋が(i)であれば、合計の重さは
10×(0+1+2+...+8+9)-(10-9)×N(i)
=450-i グラムとなる。
逆に合計の重さは上記の値しか取り得ない。
よって
10-(金貨の重さの１の位の値) の番号の袋
がニセ金貨の入った袋である。
【問題２】
各々の袋を(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)とし、
各々からN(i)個 ＜i=0,1,2,..,9＞の金貨を取り出す。
[但し、
N(0)=0、N(1)=1、N(2)=2、N(3)=4、N(4)=6
N(5)=9、N(6)=12、N(7)=13、N(8)=20、N(9)=23]
の金貨を取りだして、合計の重さを量る。
ニセ金貨入った袋が(i)と(j)であれば、合計の重さは
10×(N(0)+...+N(9))-(10-9)×[N(i)+N(j)]
= 10×90-[N(i)+N(j)]グラムとなる。
よって900から合計の重さを引いた値は
N(i)+N(j) であり、
この値は、
0,1,2,3,4,5,6,...,25 または
27,29,32,35,36,45 のいずれかの値しか取らず、
N(i)+N(j)が上の値となるiとjは ただ1つしか存在せず、ニセ金貨の入った袋(i)と(j)とが特定出きる。
◆東京都 vic.R さんからの解答。
【問題２】
もっとも少ない数の金貨ですむケースを考える。
結局、10個の数をえらび、これから選んだ2数の和と2数が1対１で対応していることが与えられた問題である。
いくつかの解答がでているが、2進法にしてもフィボナッチにしても一般的な解法であるが最小のケースではない。
そこで10個固有でもっとも少ないケースを考えてみたい。
（緑川さんの解答も一般的でない10個固有の解答をめざしているようである）
以下下表を参考に説明する
(1)（0,1,2,4)の4個の数により、１〜6までの和がえられる。
（一意対応）
(2)次はしたがって７を選ぶのが最小となる。
(3)７と他数との和により7〜１１ができる。
ただし１０はできない。
(4)次に１０を選ぶことはできない（１１ができる）。
次は１２となる
(5)同様にして１２との和で欠ける15,17,18を次の数に選べない。
(6)次は２０となる。
(7)実はここまではフィボナッチ数−１となっている。
（フィボナッチ数10個同様フィボナッチ数−１十個でも解答となっている）
したがってここまでは一般的な解答となっている。
(8)２０との和で欠けている数を次の数の候補とする。
同一の和がないものを求めると次の数は２９。
(9)２９との和で欠けている数を次の数の候補とする。
次の数は３８。
(10)２９との和、３８との和で欠けている数を次の数の候補とする。
次の数は５２
すなわち、0,1,2,4,7,12,20,29,38,52
縦＋横加算表
| 0 | 1 | 2 | 4 | 7 | 12 | 20 | 29 | 38 | 52 | |
| 0 | x | 1 | 2 | 4 | 7 | 12 | 20 | 29 | 38 | 52 |
| 1 | x | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 30 | 39 | 53 | |
| 2 | x | 6 | 9 | 14 | 22 | 31 | 40 | 54 | ||
| 4 | x | 11 | 16 | 24 | 33 | 42 | 56 | |||
| 7 | x | 19 | 27 | 36 | 45 | 59 | ||||
| 12 | x | 32 | 41 | 50 | 64 | |||||
| 20 | x | 49 | 58 | 72 | ||||||
| 29 | x | 67 | 81 | |||||||
| 38 | x | 90 | ||||||||
| 52 | x |
10個の袋からそれぞれ上記数の金貨をとりだし、計量して正常金貨との差をとって、上表和によりどの袋からか判明する
◆群馬県の中学校２年生 藤咲 洋輔 さんからの解答。
まず、適当な袋に１と書き、コインを一枚取り出す。
2.3.4.5.・・・・・・10も同様にする。
それを秤にのせる
（それぞれわかるようにわけて）。
それで、100-（重さ）の数が書いてある袋とその枚数のやつが贋金。
◆岐阜県 わかこ さんからの解答。
袋に１〜１０番までの番号をつけます。
１番の袋からは金貨を１枚
２番の袋からは金貨を２枚
・
・
・
１０番の袋からは１０枚
合計
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５枚の金貨をはかります。
全部本物ならば、
５５×１０＝５５０（ｇ） となるはず。
例えば、２番の袋がにせ金だとすると・・・
５５枚の金貨の重さは５４８ｇとなるのです。
こうすれば、ハカリを使う回数が一回でにせ金を探すことができます。
◆静岡県の中学校３年生 miyaisi.m さんからの解答。
【問題１】
まずそれぞれの袋に１〜１０までの番号をつける。
それからそれぞれの番号と同じ数だけの硬貨をとりだす。
すると本当ならば
１０g×（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０）となる。
てことは、１０g×５５になる。
もし、はかりの針が４４９gをさしたら、１番のふくろがすべて偽金貨ということになる。
５５０−４４９＝１ということ。
本物の金貨だけの重さ
（５５０グラム）−秤に掛けたときの重さ＝ｙグラムで、ｙはその袋につけた番号と一致するというわけさ。
いやあ、、、実はこれ、「金田一少年の事件簿」に載ってたんだなあ。
だから読んだ人なら誰でも解けると思うよ。
◆群馬県の中学校３年生 koji さんからの解答。
それぞれの袋に１，２，３・・・の数を書き、袋にかかれた数だけ,金貨をとりだす。
５５枚になるから、すべて本物なら５５０ｇになるはず。
例えば５枚にせものとすると、
５５０ｇ−５ｇ＝４４５ｇとなる。
５５０ｇより何ｇ軽いかによってにせものの枚数がわかる。
◆広島県の中学校１年生 歴史人物 さんからの解答。
【問題１】
袋に1から10の番号をかいておきます。
そして、袋にかいてある数だけ、金貨をだします。
もし全て本物なら1から10までたして55だから、
55に10をかけて550gになります。
でも、偽物だけの袋がひとつあるから550gにはなりません。
はかりが545gとなったら
550-545で5になり、5ばんの袋に偽物の金貨がはいっていることになります。
◆東京都 ＯＨ！ さんからの解答。
【問題１】
◆京都府の高校生 まーきゅ さんからの解答。
【問題２】
それぞれ袋に１から１０の番号をつける。
それからそれぞれ袋から番号の２乗の数だけ金貨をとりだす。
すべて本物の金貨であれば合計３８５gになるはずであるが実際は偽金貨がはいっているため重さに差ができる。
その差が ５ のとき・・・１と２
１０ のとき・・・１と３
１７ のとき・・・１と４
２５ のとき・・・３と４
２６ のとき・・・１と５
３４ のとき・・・３と５
３７ のとき・・・１と６
４５ のとき・・・３と６
５０ のとき・・・１と７
５４ のとき・・・３と７
６５ のとき・・・１と８
７３ のとき・・・３と８
８２ のとき・・・１と９
４１ のとき・・・４と５
９０ のとき・・・３と９
１０１のとき・・・１と１０
５２ のとき・・・４と６
１３ のとき・・・２と３
６５ のとき・・・４と７
２０ のとき・・・２と４
８０ のとき・・・４と８
２９ のとき・・・２と５
９７ のとき・・・４と９
４０ のとき・・・２と６
１０６のよき・・・４と１０
５３ のとき・・・２と７
６１ のとき・・・５と６
６８ のとき・・・２と８
７４ のとき・・・５と７
８５ のとき・・・２と９
８９ のとき・・・５と８
１０４のとき・・・２と１０
１０６のとき・・・５と９
８５ のとき・・・６と７
１２５のとき・・・５と１０
１００のとき・・・６と８
１１３のとき・・・７と８
１１７のとき・・・６と９
１３０のとき・・・７と９
１３６のとき・・・６と１０
１４９のとき・・・７と１０
１４５のとき・・・８と９
１８１のとき・・・９と１０
１６４のとき・・・８と１０
◆鹿児島県の中学校２年生 池田 健一郎 さんからの解答。
１番の袋から１枚、２番の袋から２枚、３番の袋から３枚・・・と、番号と同じ数だけ金をとっていって、
５５０−（実際の重さ）で、出た番号がニセがね袋の番号！
◆大阪府 jix さんからの解答。
大学の時(数学科)、応用数学かなんかのレポートで書いた覚えがあります。
＜方針＞
「軽いか重いか不明な金貨が１個ある＝不確からしさが２」
「軽い[または重い]かもしれない(重く[または軽く]はないことはわかっている)金貨が１個ある＝不確からしさが１」
とすると、初期状態の「不確からしさ」は１２×２で２４。
天秤を１回使うごとに、「不確からしさ」は(うまく使えば最高)３分の１まで減らせる。
つまり、n個だったら、最低
| 「 | log(2n) log3 | を整数に切り上げた数」回はやらなきゃならんことになります。 |
＜手順＞
凡例
●…重いか軽いか不明
▲…軽いかもしれない(重くはない)
▼…重いかもしれない(軽くはない)
○…重くも軽くもないと判明
△…軽いと判明！！
▽…重いと判明！！
(左＝右)天秤がつりあった時
(左＞右)左の方が重かった時
(左＜右)右の方が重かった時
【１手目】
左●●●●、右●●●●、残り●●●●とのせる
(左＝右)⇒左○○○○、右○○○○、残り●●●●
[不確からしさ4×2=8](2aへつづく)
(左＞右)⇒左▼▼▼▼、右▲▲▲▲、残り○○○○
[4+4=8](2bへつづく)
(左＜右)⇒左▲▲▲▲、右▼▼▼▼、残り○○○○
[4+4=8](2bへつづく)
【２手目】
(2a)左●●、右●○、残り●○○○○○○○とのせる
(左＝右)⇒左○○、右○○、残り●○○○○○○○
[不確からしさ1×2=2](3aへつづく)
(左＞右)⇒左▼▼、右▲○、残り○○○○○○○○
[1+2=3](3bへつづく)
(左＜右)⇒左▲▲、右▼○、残り○○○○○○○○
[1+2=3](3cへつづく)
(2b)左▼▼▲、右▼▼▲、残り▲▲○○○○とのせる
(左＝右)⇒左○○○、右○○○、残り▲▲○○○○
[2](3dへつづく)
(左＞右)⇒左▼▼○、右○○▲、残り○○○○○○
[2+1=3](3bへつづく)
(左＜右)⇒左○○▲、右▼▼○、残り○○○○○○
[1+2=3](3bへつづく)
【３手目】
(3a)左●、右○、残り○○○○○○○○○○とのせる
(左＞右)⇒左▽、右○、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(左＜右)⇒左△、右○、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(3b)左▼、右▼、残り▲○○○○○○○○○とのせる
(左＝右)⇒左○、右○、残り△○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(左＞右)⇒左▽、右○、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(左＜右)⇒左○、右▽、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(3c)…(3bとほとんど同じなので略)
(3d)左▲、右▲、残り○○○○○○○○○○とのせる
(左＞右)⇒左○、右△、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
(左＜右)⇒左△、右○、残り○○○○○○○○○○
[1…判明！！]
一見、複雑そうだけど、[]内の数字を効率よく減らすことさえ注意していれば間違いはないですね。
◆長野県の中学校３年生 司 さんからの解答。
袋に１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０と 番号を付けて
袋１は 金貨を１枚
袋２は 金貨を２枚
と、数をきめて袋から出す。
全部本当の金貨だったら５５０ｇ
仮に測ってみたら５４７ｇになった
ということは３枚軽い金貨が入っているから、袋３が偽金袋
◆群馬県の中学校３年生 Ｇ さんからの解答。
袋に１〜１０の数字をそれぞれに書き、その袋に書いてある数字の分だけ金貨を袋から取ります。
そしてとった金貨をすべてハカリにのせます。
例えば数字の８を書いた袋がニセ金貨の入った袋だとすると、８枚金貨を取っているわけだから、８グラム少ないわけです。
よって数字の８を書いた袋がニセ金貨の詰まった袋なわけです。
◆長野県の中学校２年生 神月芽琳 さんからの解答。
袋に番号をつけて、その番号の数と同じ数だけ金を出し、はかってみる｡
普通は、５５０ｇだけどにせ金があるから、５５０ｇない。
例えば、１の袋が偽物なら、５４９ｇで１の袋が偽物となる｡
◆埼玉県 だいもん さんからの解答。
まず全ての袋に番号をつけます。
そして一番の袋から10枚、二番の袋から1000枚、三番の袋から100000…とハカリに載せます。
全ての袋が本物なら
10101010101010101010とハカリに表示されます。
偽物のコインが入ってる2桁には09と表示されるはずです。
ちょっと卑怯で強引で美学を感じない解き方ですが、小学生でも解る解き方だと思います。
さらに、こうすれば偽モノのコインが入った袋の数が不特定でもわかります。
◆宮城県の中学校２年生 ジェミニ さんからの解答。
【問題１】
それぞれの袋に番号を付け、それと同じ分の金貨を出す。
そしてそれらをまとめてはかりにかける。
例えばこのとき、５０グラムになったとする。
すべてが本物であれば、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０で
５５グラムになるはず。
５グラム足りないってことは、５枚が偽物。
つまりは番号が「５」の袋が偽金貨の袋ってわけだ。
◆長野県の中学校２年生 サクランボ★ さんからの解答。
【問題１】
まず１０袋にそれぞれ１〜１０の番号をつけます。
そして、１番の袋からは１枚、２番の袋からは２枚、３番の袋からは３枚というように、袋の番号と同じ枚数だけ
コインを取り出します。
そして、全てはかりにのせます。
そして、はかりの示した重さが、
１０＋２０＋３０＋３６＋５０＋６０＋７０＋８０＋９０＋１００＝５４６
となったとします。
全て１０グラムのコインだと、
１０＋２０＋３０＋４０＋５０＋６０＋７０＋８０＋９０＋１００＝５５０
となります。
すると、上の式で解った方もいると思いますが、
５５０−５４６＝４
つまり、４番の袋が、全てニセコインの入った袋となります。
◆新潟県の中学校２年生 山田 優希 さんからの解答。
【問題１】
◆長野県の中学校２年生 Ｙ＆Ｔ さんからの解答。
【問題１】
◆埼玉県の高校生 ゆういち さんからの解答。
一つ一つに番号を書き、はかりにのせれば、一回で分かるとおもいます。
(例)１０個の袋が、あったとした場合。
一番の袋から一枚、二番の袋から二枚........
というふうにやれば、５５枚だから、５５０ｇのはずです。
たとえば、５４９ｇだったら、一番の袋が９ｇだと、分かると思います。
◆愛知県の中学校１年生 キュー さんからの解答。
まず袋に１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０と番号をつけ、その中の金貨の数を番号といっしょにして
一気にはかりにのせる。
全部本物だったら５５０ｇだけどそっから何ｇ減ってるかによって何番の袋かわかる。
例５４９ｇ＝１番の袋が偽ものの金貨
◆大阪府の中学校２年生 B さんからの解答。
1袋目がA、2袋目がB、3袋目がC、という風にわかりやすく名前（？）をつけておきます。
そうすると、ABCDEFGHIJの袋ができます。
Aの袋から金貨を1枚、Bから2枚、Cから3枚、Dから4枚、Eから5枚、Fから6枚、Gから7枚、Hから8枚、Iから9
枚、Jから10枚、取り出します。
出した金貨すべてをはかりにのせます。
すべてが本物なら1枚10ｇなので全部で500ｇです。
しかし、問題にはニセモノが1袋あると書いています。
ニセモノは9ｇなので、はかりが示した重さが、
491ｇなら、Aの袋がニセモノ
482ｇ→Bがニセモノ
473ｇ→Cがニセモノ
464ｇ→Dがニセモノ
455ｇ→Eがニセモノ
446ｇ→Fがニセモノ
437ｇ→Gがニセモノ
428ｇ→Hがニセモノ
419ｇ→Iがニセモノ
410ｇ→Jがニセモノ
ということになります。
◆新潟県の中学校３年生 ｓｉ さんからの解答。
【問題１】
それぞれの袋にわかりやすいように番号をつけます。
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
それでその番号の数だけの金をとってそれをはかりに乗せます。
すべて本物の場合は550グラムになりますがもし547グラムなら3グラム少ないので正解は3の袋となります。
550引くはかりででた数字でどの袋か分かります。