◆海外の大学生 Hirasawa Yasutakaさんからの解答。
（University of North Carolina at Chapel Hill）
X = 30 degree:
Draw a line L1 from D so that L1 is perpendicular to AB.
Call an intercept of L1 and AB as Point E.
Draw a line L2 from A so that L2 is perpendicular to BC.
Call an intercept of L2 and L1 as Point F.
Considering that triangle ACB is isosceles, we get angles CAF = BAF ( = EAF).
Triangles AFB and AFC are congruent. Thus, BF = CF.
The triangle ABD is isosceles, thus AE = EB.
This implies triangle AFB is isosceles.
Thus, AF = FB, and angles FAE = FBE.
L2 and DB are paralell ( both have right ange to BC.), thus angles FAE = EBD.
Thus, angles FBE = EBD.
This implies triangle DBF is isosceles.
Thus, DB = BF.
Summarizing these, we have got DB = BF = CF.
But DB = BC by the assumption.
Thus, triangle FCB is equilateral.
Thus, it is easy to see angle FBE = 15.
Now, X is equal to two times angle FAE.
But FAE = FBE = 15. Thus X = 30.
There must be much easier way to find the answer.
Can someone tell me how?
＜青木訳＞信用しないでくださいね。(^_^;
∠Ｘは３０度
点Ｄから、ＡＢに垂直に直線Ｌ１をひく。
Ｌ１とＡＢとの交点をＥとする。
点Ａから、ＢＣに垂直に直線Ｌ２をひく。
Ｌ２とＬ１との交点をＦとする。
△ＡＣＢは二等辺三角形だから、∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＦ（＝∠ＥＡＦ）
△ＡＦＢと△ＡＦＣは合同だから、ＢＦ＝ＣＦ
△ＡＢＤは二等辺三角形だから、ＡＥ＝ＥＢ
したがって△ＡＦＢは二等辺三角形
したがってＡＦ＝ＦＢ、∠ＦＡＥ＝∠ＦＢＥ
Ｌ２とＤＢは平行（どちらもＢＣと直角に交わる）なので、
∠ＦＡＥ＝∠ＥＢＤ
したがって∠ＦＢＥ＝∠ＥＢＤ
このことにより△ＤＢＦは二等辺三角形
したがってＤＢ＝ＢＦ
これらを総合すると、ＤＢ＝ＢＦ＝ＣＦとなる
一方、仮定よりＤＢ＝ＢＣ
したがって△ＦＣＢは正三角形になる。
∠ＦＢＥは１５度と容易にわかる。
∠Ｘは∠ＦＡＥの２倍に等しいが、∠ＦＡＥ＝∠ＦＢＥ＝１５度なので
∠Ｘは３０度。
答えを出す、もっと簡単な方法があるに違いない。
だれかおしえてくれないかなぁ
【コメント】
みごと３０゜で正解です。
なるほど、こんな補助線のひき方があったのですね。
もし別な方法を考えた方がおいでましたら、ぜひメールを送ってくださいね。
◆Takaaki Yosiduさんからの解答。
【コメント】
なるほど、この方法は簡単ですね。
△ＡＤＥが正三角形だから、∠ＤＡＥ＝６０度。
△ＤＡＢで∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＥ＋∠ＢＤＧ＝６０＋９０＝１５０度だから
∠ＤＡＢ＝（１８０−１５０）／２＝１５度
同様に∠ＥＡＣ＝１５度だから
∠Ｘは６０−１５×２で３０度。
これはなかなかの解答だと思います。
◆岐阜県の中学校３年生 和 さんからの解答。
辺BCに平行で同じ長さの補助線を１本引く
次に点Aと点Cとその線を結び交点をEとする
三角形ADEは三辺が全て等しいので正三角形といえる
よって角ADBは６０度＋９０度という事になり１５０度となる三角形ADBはADとDBの長さが等しいので二等辺三角形であり
角DAB＝角DBA＝１５度となる
角ABC＝９０度−１５度＝７５度となり三角形ABCはABとACの長さが等しいので二等辺三角形といえる
角ABC＝角ACB＝７５度となる
よって角X＝１８０度−７５度−７５度となり
角X＝３０度といえる
◆岐阜県の中学校３年生 なっち。 さんからの解答。
∠Aを２等分する直線Lをひく。
∠Dを２等分する直線をひき、直線Lとの交点をEとする。
点Eと点Bを結ぶ｡
このとき、三角形ADBと三角形AEBは合同である。
次に、点Eと点Cを結ぶ。
このとき、三角形EBCは正三角形である。
このことから、∠DBC-∠EBC=３０°となり、∠DBEは３０°であることがわかる。
∠DBAと∠EBAは等しいので、∠EBAは１５°となる。
三角形AEBは二等辺三角形なことから、∠EABは１５°である。
∠EABと∠EACは等しいので、∠Xは３０°であることがわかる。
∠X=３０°
◆和歌山県 たまはち さんからの解答。
「まず、辺BCに平行で点Dを通る直線」と「辺BDに平行で点Cを通る直線」を引く。
それら2直線の交点をEとすると、□DBCEは正方形となるため、
DB=BC=CE=ED、∠ADB=∠DBC＝∠BCE=∠CED＝90°である。
次に点Eと点Aを結ぶ。
∠ABC＝∠ACB（∵△ABCは二等辺三角形）であることから、
△ADBと△AECは合同となる。
（∵辺DB＝辺EC、辺AB=辺AC、
∠DBA=「90°−∠ABC」＝「90°−∠ACB」＝∠ACE）
よって辺AD=辺AE＝辺DEであるから、△ADEは正三角形。
よって∠ADE=∠AED=∠EAD=60°。
よって∠ADB=∠AEC＝150°となり、
△ADBと△AECは二等辺三角形であることから、
∠DAB=∠DBA=∠EAC=∠ECA＝15°。
よって、X＝60°−（15°×2）＝30°。
◆東京都 甘泉法師 さんからの解答。
点Ｄと、辺ＡＢに対して対称な点Ｅをとると△ＥＢＣは正三角形。
四角形ＡＢＥＣにおいて
∠ＢＥＣ＝６０°＝∠ＢＡＣ+∠ＡＣＥ+∠ＡＢＥ＝２ｘ
よってｘ＝３０°
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
以下、青い補助線を引いた下図を参照してください。
薄黄色の部分は明らかに正三角形ゆえ、■■ は３０°です。
これは、■ の２倍でもあります。
一方、求める角度は ■ の２倍です。
ところが、互いに錯角のため、■＝■ です。
よって、求める角度は ■■ と等しく３０°です。